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\title{BANQUE COMMUNE D'EPREUVES \\
 CONCOURS D'ADMISSION DE 2010 }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

\section*{OPTION SCIENTIFIQUE}
MATHEMATIQUES

Mardi 4 mai 2010, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à 2 , et \(\mathbb{R}^{n}\) est muni de sa structure euclidienne canonique. Le produit scalaire et la norme associée sont notés respectivement <, > et \(\|\|\). Pour tous vecteurs \(x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) et \(y=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on note \(x \geqslant y\) si pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), on a : \(x_{i} \geqslant y_{i}\).\\
Le vecteur nul de \(\mathbb{R}^{n}\) est noté \(\overrightarrow{0}\) et le vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) dont toutes les composantes sont égales à 1 est noté \(\overrightarrow{1}\).\\
On rappelle ou on admet les deux résultats suivants :

\begin{itemize}
  \item une partie \(K\) non vide de \(\mathbb{R}^{n}\) est convexe si pour tout couple ( \(u, v\) ) de vecteurs de \(K^{2}\) et pour tout réel \(t\) de \([0,1]\), le vecteur \(t u+(1-t) v\) appartient à \(K\);
  \item l'image réciproque par une fonction continue de \(\mathbb{R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}\) d'un intervalle fermé de \(\mathbb{R}\), est un fermé de \(\mathbb{R}^{n}\).
\end{itemize}

On dit qu'un vecteur \(h\) de \(\mathbb{R}^{n}\) sépare deux convexes \(K_{1}\) et \(K_{2}\), s'il existe un réel \(c\) qui vérifie, pour tous vecteurs \(u\) de \(K_{1}\) et \(v\) de \(K_{2}\), l'encadrement : \(\langle h, u\rangle<c<\langle h, v\rangle\).\\
Si \(K\) est une partie non vide et convexe de \(\mathbb{R}^{n}\), et \(x\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\), on appelle projection de \(x\) sur \(K\) et on note \(p(x)\) s'il existe, tout vecteur \(y\) de \(K\) qui vérifie, pour tout vecteur \(z\) de \(K:\|x-y\| \leqslant\|x-z\|\), c'est-à-dire tel que \(\|x-y\|=\min _{z \in K}\|x-z\|\).

\section*{Partie I. Projection sur un convexe fermé}
\begin{enumerate}
  \item Exemple 1. Soit \(K\) le sous-ensemble de \(\mathbb{R}^{2}\) défini par : \(K=\left\{\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} / z_{1} \leqslant 1\right.\) et \(\left.z_{2} \leqslant 1\right\}\), et \(x=\left(x_{1}, x_{2}\right)\) un vecteur donné de \(\mathbb{R}^{2}\) n'appartenant pas à \(K\) tel que \(x_{1}>0\) et \(x_{2}>0\).\\
a) Montrer que l'ensemble \(K\) est convexe et fermé. \(K\) est-il borné?\\
b) Établir l'existence et l'unicité de la projection \(p(x)\) de \(x\) sur \(K\). Déterminer cette projection.\\
c) Faire une figure représentant le convexe \(K\), un vecteur \(x\) et la projection \(p(x)\).\\
d) Écrire une fonction Pascal d'en-tête distance(x1,x2 : real) : real qui à tout vecteur \(x=\left(x_{1}, x_{2}\right)\) de \(\mathbb{R}^{2}\) n'appartenant pas à \(K\) et tel que \(x_{1}>0, x_{2}>0\), associe le réel \(\|x-p(x)\|\).\\
e) Vérifier que pour tout vecteur \(z\) de \(K\), on a : \(\langle z-p(x), x-p(x)\rangle \leqslant 0\).\\
f) Montrer qu'il existe un réel \(c\) qui vérifie, pour tout vecteur \(z\) de \(K:\langle x-p(x), z\rangle<c<\langle x-p(x), x\rangle\).
  \item Exemple 2. Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{n}\), différent de \(\{\overrightarrow{0}\}\) et de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
a) Montrer que \(E\) est une partie convexe de \(\mathbb{R}^{n}\). On admet qu'elle est fermée.\\
b) Dans cette question, \(E\) est l'ensemble des vecteurs \(w=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}\right)\) de \(\mathbb{R}^{4}\) qui vérifient l'équation : \(w_{1}+w_{2}-w_{3}-w_{4}=0\). Soit \(x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{4}\) n'appartenant pas à \(E\). Déterminer \(\min _{w \in E}\|x-w\|\) et le vecteur \(p(x)\).
\end{enumerate}

\section*{Cas général : soit \(K\) une partie convexe, fermée et non vide de \(\mathbb{R}^{n}\), et \(x\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) qui n'appartient pas à \(K\).}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(f\) la fonction à valeurs réelles définie sur \(K\) par : pour tout \(z\) de \(K, f(z)=\|x-z\|\).\\
a) Justifier la continuité de la fonction \(f\).\\
b) Soit \(z_{0}\) un vecteur quelconque de \(K\). On considère la boule fermée \(B_{0}\) de centre \(x\) et de rayon \(\left\|x-z_{0}\right\|\). On pose : \(K^{\prime}=B_{0} \cap K\). Justifier que \(K^{\prime}\) est une partie fermée et bornée de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
c) En déduire que \(f\) admet un minimum sur \(K^{\prime}\). Soit \(\hat{z}\) tel que \(f(\hat{z})=\min _{z \in K^{\prime}} f(z)\).\\
d) Montrer que l'inégalité \(\|x-z\| \geqslant\|x-\hat{z}\|\) est satisfaite pour tout vecteur \(z\) de \(K\). Conclure.
  \item a) Vérifier pour tous vecteurs \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{R}^{n}\), l'identité : \(\left\|x-\frac{a+b}{2}\right\|^{2}+\frac{1}{4}\|a-b\|^{2}=\frac{1}{2}\|x-a\|^{2}+\frac{1}{2}\|x-b\|^{2}\).\\
b) On pose : \(d=\min _{z \in K}\|x-z\|\). Soit \(u\) et \(v\) deux vecteurs de \(K\) vérifiant \(d=\|x-u\|=\|x-v\|\).
\end{enumerate}

À l'aide de la question précédente, montrer que \(u=v\). Conclure.\\
5. On rappelle que \(p(x)\) désigne la projection du vecteur \(x\) sur \(K\).\\
a) Établir pour tout vecteur \(z\) de \(K\) et pour tout réel \(t\) de \([0,1]\), l'inégalité :

\[
\|x-p(x)\|^{2} \leqslant\|x-(t z+(1-t) p(x))\|^{2}
\]

b) En déduire pour tout \(z\) de \(K\), l'inégalité : \(\langle z-p(x), x-p(x)\rangle \leqslant 0\).\\
c) Réciproquement, on suppose qu'il existe un vecteur \(y\) de \(K\) tel que pour tout vecteur \(z\) de \(K\), on a : \(\langle z-y, x-y\rangle \leqslant 0\). Montrer que \(y=p(x)\). Conclure.\\
d) Établir l'inégalité : \(\langle x-p(x), p(x)\rangle\langle\langle x-p(x), x\rangle\). Montrer que \(x-p(x)\) sépare les ensembles \(K\) et \(\{x\}\).

\section*{Partie II. Un cas particulier}
Soit \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\), des réels strictement positifs. On pose : \(K=\left\{z=\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} / \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} z_{i}^{2} \leqslant 1\right\}\).\\
6. Montrer que \(K\) est un sous-ensemble convexe, fermé et borné de \(\mathbb{R}^{n}\).

Soit \(x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) un vecteur donné de \(\mathbb{R}^{n}\) n'appartenant pas à \(K\) et vérifiant pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), \(x_{i}>0\). On pose : \(K_{0}=\left\{z \in K / \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} z_{i}^{2}=1\right\}\) et \(K_{1}=\left\{z \in K / \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} z_{i}^{2}<1\right\}\).\\
7. Soit \(f\) la fonction à valeurs réelles définie sur \(K\) par : \(f(z)=\|x-z\|^{2}\).\\
a) Montrer que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur l'ouvert \(K_{1}\).\\
b) La restriction de \(f\) à \(K_{1}\) admet-elle des points critiques? En déduire que \(p(x)\) appartient à \(K_{0}\).\\
c) Montrer que les coordonnées de \(p(x)\) sont positives ou nulles, non toutes nulles.\\
8. On définit l'ouvert \(\Omega\) par : \(\Omega=\left\{\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n-1}\right) / \forall i \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket\right.\), \(z_{i}>0\) et \(\left.\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n-1}, 0\right) \in K_{1}\right\}\).

Soit \(\Psi\) et \(H\) les fonctions à valeurs réelles définies sur \(\Omega\) par : \(\Psi\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n-1}\right)=\sqrt{\frac{1}{\alpha_{n}}\left(1-\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_{i} z_{i}^{2}\right)}\) et \(H\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n-1}\right)=\sum_{i=1}^{n-1}\left(x_{i}-z_{i}\right)^{2}+\left(x_{n}-\Psi\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n-1}\right)\right)^{2}\).\\
On suppose que ( \(z_{1}^{*}, z_{2}^{*}, \ldots, z_{n-1}^{*}\) ) est un point critique de \(H\).\\
On note \(z_{n}^{*}=\Psi\left(z_{1}^{*}, z_{2}^{*}, \ldots, z_{n-1}^{*}\right)\) et \(z^{*}=\left(z_{1}^{*}, z_{2}^{*}, \ldots, z_{n-1}^{*}, z_{n}^{*}\right)\).\\
a) Montrer que \(z_{n}^{*}\) est strictement positif et que le vecteur \(z^{*}\) appartient à \(K_{0}\).\\
b) On pose : \(\lambda=\frac{1}{\alpha_{n}}\left(\frac{x_{n}}{z_{n}^{*}}-1\right)\). Montrer que pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), on a : \(z_{i}^{*}=\frac{x_{i}}{1+\lambda \alpha_{i}}\).\\
c) On pose : \(\beta=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left(\frac{-1}{\alpha_{i}}\right)\). Montrer que \(\lambda>\beta\).\\
d) Étudier la fonction définie sur \(] \beta,+\infty\left[\operatorname{par} y \mapsto \sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_{i} x_{i}^{2}}{\left(1+\alpha_{i} y\right)^{2}}\right.\). En déduire l'existence d'un unique réel \(\lambda_{0}\) vérifiant \(\sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_{i} x_{i}^{2}}{\left(1+\lambda_{0} \alpha_{i}\right)^{2}}=1\). Montrer que \(\lambda_{0}\) est strictement positif.\\
Expliciter les coordonnées du vecteur \(z^{*}\) en fonction de \(\lambda_{0}\) et des réels \(\alpha_{i}\) et \(x_{i}(i \in \llbracket 1, n \rrbracket)\).\\
9. a) Établir pour tout \(z\) de \(K\), l'inégalité : \(\left\langle z-z^{*}, x-z^{*}\right\rangle \leqslant 0\). En déduire que \(z^{*}=p(x)\).\\
b) Montrer que le réel \(c=\frac{\lambda_{0}}{2}\left(1+\sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_{i} x_{i}^{2}}{1+\lambda_{0} \alpha_{i}}\right)\) vérifie pour tout \(z\) de \(K:\langle x-p(x), z\rangle<c<\langle x-p(x), x\rangle\).

\section*{Partie III. Une séparation de deux convexes}
On admet la proposition suivante : si \(K_{1}\) et \(K_{2}\) sont deux convexes fermés de \(\mathbb{R}^{n}\) tels que \(K_{1} \cap K_{2}=\left\{x_{0}\right\}\) ( \(x_{0} \in \mathbb{R}^{n}\) ), alors il existe un vecteur \(h\) non nul de \(\mathbb{R}^{n}\) et un réel \(c\) tels que, pour tout \(x\) de \(K_{1}\), pour tout \(y\) de \(K_{2}\), on a : \(\langle h, x\rangle \leqslant c \leqslant\langle h, y\rangle\).\\
On note \(\mathcal{B}_{n}\) l'ensemble des parties \(K\) de \(\mathbb{R}^{n}\) qui vérifient les trois conditions suivantes :\\
i) \(K\) est convexe, fermée, bornée et contenue dans \(\left\{x \in \mathbb{R}^{n} / x \geqslant \overrightarrow{0}\right\}\);\\
ii) il existe un vecteur \(x\) de \(K\) dont toutes les coordonnées sont strictement positives ;\\
iii) pour tout \(x\) de \(K\) et tout \(y\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on a : \([x \geqslant y \geqslant \overrightarrow{0}] \Rightarrow y \in K\).\\
10. Dessiner dans \(\mathbb{R}^{2}\) un exemple d'élément \(K\) de \(\mathcal{B}_{2}\).

Dans toute la suite de cette partie, on se donne un élément \(K\) de \(\mathcal{B}_{n}\).\\
11. On dit qu'une fonction \(f: \mathbb{R}^{+*} \rightarrow \mathbb{R}\) est strictement concave si, pour tout couple ( \(a, b\) ) de \(\mathbb{R}^{+*} \times \mathbb{R}^{+*}\) vérifiant \(a<b\), pour tout réel \(t\) de \(] 0,1[\), on a : \(f(t a+(1-t) b)>t f(a)+(1-t) f(b)\).\\
Montrer que la fonction ln est strictement concave sur \(\mathbb{R}^{+*}\).\\
12. Soit \(g\) la fonction à valeurs réelles définie sur \(K\) par : \(g(x)=g\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n} x_{i}\).\\
a) Justifier que \(g\) admet un maximum sur \(K\).\\
b) Soit \(u\) un vecteur de \(K\) tel que \(g(u)=\max _{x \in K} g(x)\). Montrer que pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), on a : \(u_{i}>0\).\\
c) Établir l'unicité du vecteur \(u\) de \(K\) tel que \(g(u)=\max _{x \in K} g(x)\).\\
(on pourra raisonner par contraposée et utiliser la question 11)\\
13. On note \(\phi^{\star}(K)=\left(\phi_{1}^{\star}(K), \phi_{2}^{\star}(K), \ldots, \phi_{n}^{\star}(K)\right)\) l'unique vecteur de \(K\) en lequel la fonction \(g\) atteint son maximum.\\
On pose : \(F=\left\{\left(\frac{x_{1}}{\phi_{1}^{\star}(K)}, \frac{x_{2}}{\phi_{2}^{\star}(K)}, \ldots, \frac{x_{n}}{\phi_{n}^{\star}(K)}\right) \in \mathbb{R}^{n},\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in K\right\}\).\\
a) Montrer que \(F\) est un élément de \(\mathcal{B}_{n}\).\\
b) Montrer que pour tout vecteur \(y\) de \(F\), on a : \(\prod_{i=1}^{n} y_{i} \leqslant 1\).\\
14. On pose : \(A=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} / x \geqslant \overrightarrow{0}\right.\) et \(\left.\prod_{i=1}^{n} x_{i} \geqslant 1\right\}\).\\
a) Montrer que \(A\) est fermé.\\
b) En utilisant la question 11, montrer que \(A\) est convexe.\\
15. Établir l'égalité : \(A \cap F=\{\overrightarrow{1}\}\). En déduire l'existence d'un vecteur non nul \(h\) de \(\mathbb{R}^{n}\) vérifiant, pour tout \(x\) de \(A\) et tout \(y\) de \(F:\langle h, y\rangle \leqslant\langle h, \overrightarrow{1}\rangle \leqslant\langle h, x\rangle\).\\
16. On veut montrer dans cette question que les coordonnées de \(h\) sont toutes strictement positives.\\
a) On fait l'hypothèse selon laquelle \(\overrightarrow{0} \geqslant h\). Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), on pose : \(v_{k}=\langle h, k \overrightarrow{1}\rangle\).

Montrer que \(\lim _{k \rightarrow+\infty} v_{k}=-\infty\). En déduire que l'hypothèse faite est contredite et qu'il existe donc un entier \(i_{0}\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\) tel que \(h_{i_{0}}>0\).\\
b) On suppose qu'il existe un entier \(i_{1}\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\) tel que \(h_{i_{1}} \leqslant 0\). Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on note \(w^{(k)}\) le vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) défini par : \(w_{i_{0}}^{(k)}=\frac{1}{k}, w_{i_{1}}^{(k)}=k\) et, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\) avec \(i \neq i_{0}\) et \(i \neq i_{1}, w_{i}^{(k)}=1\).\\
Soit \(\left(z_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\) la suite réelle définie par : pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}, z_{k}=\left\langle h, w^{(k)}\right\rangle\).\\
Étudier la convergence de la suite \(\left(z_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\). En déduire que l'hypothèse faite est contredite et qu'en conséquence, pour tout \(i\) de \(\llbracket 1, n \rrbracket\), on a : \(h_{i}>0\).\\
17. En utilisant un raisonnement semblable à celui des questions précédentes, montrer que toutes les coordonnées du vecteur \(h\) sont égales. En déduire que pour tout \(x\) de \(A\) et tout \(y\) de \(F\), on a : \(\sum_{i=1}^{n} y_{i} \leqslant n \leqslant \sum_{i=1}^{n} x_{i}\).

\section*{Partie IV. La solution de Nash}
Un élément \(K\) de \(\mathcal{B}_{n}\) est interprété comme un problème de négociation. Les éléments de \(K\) représentent différents accords auxquels sont susceptibles d'aboutir \(n\) personnes. Pour \(x\) dans \(K\), \(x_{i}\) est une mesure du "gain" de la personne \(i\). Le statu quo en cas de désaccord est le vecteur nul.\\
Pour \(x \in \mathbb{R}^{n}\) et \((i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^{2}\) avec \(i \neq j\), on note \(x[i, j]\) le vecteur déduit de \(x\) en échangeant les coordonnées de rangs \(i\) et \(j: x[i, j]_{i}=x_{j}, x[i, j]_{j}=x_{i}\) et \(x[i, j]_{k}=x_{k}\) si \(k \notin\{i, j\}\).\\
Pour \(K \subset \mathbb{R}^{n}\) et \((i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^{2}\) avec \(i \neq j\), on note \(K[i, j]\) l'ensemble \(\left\{x \in \mathbb{R}^{n} / x[i, j] \in K\right\}\).\\
Pour \((a, x) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n}\), on note \(a \otimes x \in \mathbb{R}^{n}\) le vecteur \(\left(a_{1} x_{1}, \ldots, a_{n} x_{n}\right)\). Pour \(a \in \mathbb{R}^{n}, K \subset \mathbb{R}^{n}\), on note \(a \otimes K\) l'ensemble \(\{a \otimes x / x \in K\}\).\\
Une règle de partage est une application \(\phi: \mathcal{B}_{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) qui associe à tout problème de négociation \(K\) de \(\mathcal{B}_{n}\), un vecteur \(\phi(K)\) de \(\mathbb{R}^{n}\). On s'intéresse aux règles \(\phi\) qui vérifient les propriétés suivantes :\\
P1 : Pour tout \(K \in \mathcal{B}_{n}, \phi(K) \in K\) et il n'existe pas de point \(x \in K\) tel que \(x \neq \phi(K)\) et \(x \geqslant \phi(K)\).\\
P2 : Pour tout \(K \in \mathcal{B}_{n}\) et \(a \in \mathbb{R}^{n}\) tel que \(a_{i}>0\) pour tout \(i \in \llbracket 1, n \rrbracket\), on a : \(\phi(a \otimes K)=a \otimes \phi(K)\).\\
P3 : Pour tous \(K \in \mathcal{B}_{n}\) et \(K^{\prime} \in \mathcal{B}_{n}\) tels que \(K \subset K^{\prime}\) et \(\phi\left(K^{\prime}\right) \in K\), on a : \(\phi\left(K^{\prime}\right)=\phi(K)\).\\
P4 : Pour tout \(K \in \mathcal{B}_{n}\) et pour tout couple ( \(i, j\) ) d'entiers distincts de \(\llbracket 1, n \rrbracket^{2}\), on a : \(\phi(K[i, j])=(\phi(K))[i, j]\).\\
18. Les quatre propriétés \(\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 2, \mathrm{P} 3\) et P 4 ont chacune une interprétation en terme de symétrie, ou d'optimalité, ou d'invariance par changement d'échelle ou d'invariance par élimination d'options non pertinentes (dans le désordre).\\
Quelle interprétation peut-on associer à chacune d'elles? Justifier très brièvement votre réponse.\\
19. Montrer que \(\phi^{\star}\), définie dans la question 13, vérifie les propriétés P1, P2, P3 et P4.\\
20. Soit \(\phi\) une règle satisfaisant à \(\mathrm{P} 1, \mathrm{P} 2, \mathrm{P} 3\) et P 4 .\\
a) On pose : \(K_{0}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} / x \geqslant \overrightarrow{0}\right.\) et \(\left.\sum_{i=1}^{n} x_{i} \leqslant n\right\}\). A l'aide de P1 et P4, montrer que \(\phi\left(K_{0}\right)=\overrightarrow{1}\).\\
b) Soit \(K\) un élément de \(\mathcal{B}_{n}\). On considère l'ensemble \(F\) défini dans la question 13 .

À l'aide de P3 et de la question 17, montrer que \(\phi(F)=\overrightarrow{1}\). En déduire que \(\phi(K)=\phi^{\star}(K)\). Conclure.


\end{document}