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\title{Conception : HEC Paris }

\author{OPTION SCIENTIFIQUE}
\date{}


\begin{document}
\maketitle


\section*{MATHÉMATIQUES}
Mercredi 26 avril 2017, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.\\
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

\section*{Dans tout le problème :}
\begin{itemize}
  \item pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathbf{R}_{n}[X]\) l'espace vectoriel des polynômes à cœfficients réels de degré inférieur ou égal à \(n\);
  \item on identifie le polynôme \(P=\sum_{k=0}^{n} \lambda_{k} X^{k}\) de \(\mathbf{R}_{n}[X]\) avec la fonction polynomiale \(x \longmapsto \sum_{k=0}^{n} \lambda_{k} x^{k}\), avec la convention \(0^{0}=1\);
  \item on rappelle la formule de Stirling : \(n\) ! est équivalent à \(n^{n} \mathrm{e}^{-n} \sqrt{2 \pi n}\) lorsque l'entier \(n\) tend vers \(+\infty\).
\end{itemize}

Le problème a pour objet l'approximation d'une fonction réelle par des fonctions polynomiales.\\
Dans la partie I, on étudie le cas des polynômes de Bernstein. Les parties II et III sont consacrées aux polynômes d'interpolation de Lagrange.\\
Les parties II et III sont indépendantes de la partie I.

\section*{Partie I. Quelques propriétés des polynômes de Bernstein}
Pour tout entier \(n \in \mathbf{N}^{*}\) et tout entier \(k \in \llbracket 0, n \rrbracket\), on note \(B_{n, k}\) le polynôme de \(\mathbf{R}_{n}[X]\) défini par :

\[
B_{n, k}(X)=\binom{n}{k} X^{k}(1-X)^{n-k}
\]

On pose pour tout \(k \in \llbracket 0, n \rrbracket, A_{k}=X^{k}\) et on note \(\mathcal{C}_{n}=\left(A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{n}\right)\) la base canonique de \(\mathbf{R}_{n}[X]\).\\
Soit \(T_{n}\) l'application définie sur \(\mathbf{R}_{n}[X]\) telle que : \(\forall P \in \mathbf{R}_{n}[X],\left(T_{n}(P)\right)(X)=\sum_{k=0}^{n} P\left(\frac{k}{n}\right) B_{n, k}(X)\).

\begin{enumerate}
  \item Dans cette question uniquement, on choisit \(n=2\).\\
a) Déterminer la matrice \(K_{2}\) de la famille ( \(B_{2,0}, B_{2,1}, B_{2,2}\) ) dans la base \(\mathcal{C}_{2}\).\\
b) En déduire que la famille ( \(B_{2,0}, B_{2,1}, B_{2,2}\) ) est une base de \(\mathbf{R}_{2}[X]\).\\
c) Calculer \(T_{2}\left(A_{0}\right), T_{2}\left(A_{1}\right)\) et \(T_{2}\left(A_{2}\right)\); déterminer la matrice \(H_{2}\) de \(T_{2}\) dans la base \(\mathcal{C}_{2}\). Préciser les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(T_{2}\).
  \item On revient au cas général où \(n\) est un entier supérieur ou égal à 1.\\
a) Montrer que la famille ( \(B_{n, 0}, B_{n, 1}, \ldots, B_{n, n}\) ) est libre; en déduire que cette famille est une base de \(\mathbf{R}_{n}[X]\).\\
b) Montrer que l'application \(T_{n}\) est un automorphisme de \(\mathbf{R}_{n}[X]\).\\
c) Calculer \(T_{n}\left(A_{0}\right)\) et montrer que \(T_{n}\left(A_{1}\right)=A_{1}\).\\
d) Montrer que pour tout \(k \in \llbracket 0, n \rrbracket\), le degré du polynôme \(T_{n}\left(A_{k}\right)\) est égal à \(k\).
\end{enumerate}

Pour établir ce résultat, on pourra utiliser la propriété suivante que l'on ne demande pas de démontrer :

\[
\forall k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket,\left(T_{n}\left(A_{k+1}\right)\right)(X)=\frac{1}{n} X(1-X)\left(T_{n}\left(A_{k}\right)\right)^{\prime}(X)+X\left(T_{n}\left(A_{k}\right)\right)(X)
\]

où \(\left(T_{n}\left(A_{k}\right)\right)^{\prime}\) est le polynôme dérivé de \(T_{n}\left(A_{k}\right)\).\\
e) Pour tout \(k \in \llbracket 0, n \rrbracket\), soit \(\alpha_{k}\) le cœfficient de \(X^{k}\) du polynôme \(T_{n}\left(A_{k}\right)\). Calculer \(\alpha_{k}\) en fonction de \(k\) et \(n\). L'automorphisme \(T_{n}\) est-il diagonalisable?\\
3. Soit \(f\) une fonction continue sur [ 0,1 ]. On pose: \(\forall n \in \mathbf{N}^{*}\) et \(\forall z \in[0,1], f_{n}(z)=\sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) B_{n, k}(z)\).

Soit \(z \in[0,1]\). Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})\) un espace probabilisé et pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), soit \(Z_{n}\) une variable aléatoire définie sur cet espace suivant la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(z\). Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose: \(\bar{Z}_{n}=\frac{Z_{n}}{n}\).\\
a) Montrer que la suite de variables aléatoires \(\left(\bar{Z}_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) converge en probabilité vers le réel \(z\).\\
b) Justifier l'existence de \(M=\max _{[0,1]}|f|\).\\
c) Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif. Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), soit \(U_{n}\) l'événement : \(U_{n}=\left[\left|f\left(\bar{Z}_{n}\right)-f(z)\right|>\varepsilon\right]\).

On note \(\mathbf{1}_{U_{n}}\) la variable indicatrice de l'événement \(U_{n}\) et \(\bar{U}_{n}\) l'événement contraire de \(U_{n}\). Établir l'inégalité : \(\left|f\left(\bar{Z}_{n}\right)-f(z)\right| \leqslant 2 M \times \mathbf{1}_{U_{n}}+\varepsilon \times \mathbf{1}_{\bar{U}_{n}}\).\\
d) Montrer que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbf{E}\left(f\left(\bar{Z}_{n}\right)\right)=f(z)\). En déduire que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(z)=f(z)\).\\
4.a) Compléter le code Scilab suivant afin qu'un appel à la fonction binom ( \(n, z\) ) renvoie une réalisation d'une loí binomiale de paramètres \(n\) et \(z\).

\begin{verbatim}
function Z=binom(n,z)
    Z= .........
endfunction
\end{verbatim}

b) Soit une fonction Scilab \(f\) et une variable \(z\) définies par:

\begin{verbatim}
function }\mp@subsup{y}{}{=f}(x
    if x=m=0 then y=0, else y=-x*log(x), end
endfunction
z=0.4
\end{verbatim}

On considère le code Scilab suivant :

\begin{verbatim}
n=100; N=1000
S=0
for k=1:N
    S=S+f(binom(n,z)/n)
end
disp(S/N)
\end{verbatim}

Ce code affiche une valeur approchée d'une certaine quantité. Laquelle?\\
Cette valeur affichée est le résultat de la mise en œuvre de certaines méthodes. Lesquelles?

\section*{Partie II. Les polynômes d'interpolation de Lagrange}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Soit \(n \in \mathbf{N}^{*}\) et \(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\) des réels deux à deux distincts. Soit \(\Phi\) l'application de \(\mathbf{R}_{n}[X]\) dans \(\mathbf{R}^{n+1}\) telle que: \(\forall P \in \mathbf{R}_{n}[X], \Phi(P)=\left(P\left(x_{0}\right), P\left(x_{1}\right), \ldots, P\left(x_{n}\right)\right)\).\\
a) Montrer que l'application \(\Phi\) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.\\
b) On note ( \(e_{0}, e_{1}, \ldots, e_{n}\) ) la base canonique de \(\mathbf{R}^{n+1}\) avec \(e_{0}=(1,0,0, \ldots, 0), e_{1}=(0,1,0, \ldots, 0), \ldots \ldots\) et \(e_{n}=(0,0,0, \ldots, 1)\). Pour tout \(i \in \llbracket 0, n \rrbracket\), on note \(L_{i}\) le polynôme de \(\mathbf{R}_{n}[X]\) tel que \(\Phi\left(L_{i}\right)=e_{i}\).\\
Montrer que pour tout \(i \in \llbracket 0, n \rrbracket\), on a : \(L_{i}(X)=\prod_{\substack{k \in[0, n] \\ k \neq i}} \frac{X-x_{k}}{x_{i}-x_{k}}\).\\
c) Soit \(\Psi\) l'application définie sur \(\left(\mathbf{R}_{n}[X]\right)^{2}\) par : \(\forall(P, Q) \in\left(\mathbf{R}_{n}[X]\right)^{2}, \Psi(P, Q)=\sum_{k=0}^{n} P\left(x_{k}\right) Q\left(x_{k}\right)\).
\end{enumerate}

Vérifier que \(\Psi\) est un produit scalaire sur \(\mathbf{R}_{n}[X]\). On munit alors \(\mathbf{R}_{n}[X]\) de ce produit scalaire.\\
Montrer que ( \(L_{0}, L_{1}, \ldots, L_{n}\) ) est une base orthonormée de \(\mathbf{R}_{n}[X]\).\\
d) Expliciter la matrice \(A\) de passage de la base \(\left(L_{0}, L_{1}, \ldots, L_{n}\right)\) à la base canonique \(\mathcal{C}_{n}\) de \(\mathbf{R}_{n}[X]\).\\
e) Soit \(f\) une fonction continue sur \(\mathbf{R}\) à valeurs réelles.

Montrer que pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), il existe un unique polynôme de \(\mathbf{R}_{n}[X]\), noté \(P_{f}\), vérifiant les relations :

\[
P_{f}\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right), P_{f}\left(x_{1}\right)=f\left(x_{1}\right), \ldots, P_{f}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{n}\right)
\]

On dit que \(P_{f}\) est le polynôme d'interpolation de la fonction \(f\) aux points \(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\).\\
Exprimer \(P_{f}\) dans la base \(\left(L_{0}, L_{1}, \ldots, L_{n}\right)\).\\
6. Soit \(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\) des réels appartenant à un intervalle \([a, b](a<b)\) tels que \(a \leqslant x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \leqslant b\).

Soit \(f\) une fonction de classe \(C^{n+1}\) sur \([a, b]\) et \(\bar{x}\) un réel de \([a, b]\) différent de \(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\).\\
On note \(P_{f}\) le polynôme d'interpolation de la fonction \(f\) aux points \(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\) et \(Q_{f}\) le polynôme d'interpolation de la fonction \(f\) aux points \(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}, \bar{x}\). On pose : \(w(X)=\prod_{k=0}^{n}\left(X-x_{k}\right)\).\\
a) Établir l'existence d'un réel \(\delta\) tel que pour tout \(t \in[a, b]\), on a : \(Q_{f}(t)-P_{f}(t)=\delta \times w(t)\).\\
b) Soit \(h\) la fonction définie sur \([a, b]\) par: \(\forall t \in[a, b], h(t)=f(t)-Q_{f}(t)\).

Montrer que la fonction \(h\) s'annule en les ( \(n+2\) ) points \(\bar{x}, x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\) et en déduire l'existence d'un réel \(\theta \in] a, b\left[\right.\) tel que \(h^{(n+1)}(\theta)=0\).\\
c) Établir l'égalité : \(f(\bar{x})-P_{f}(\bar{x})=\frac{1}{(n+1)!} \times f^{(n+1)}(\theta) \times w(\bar{x})\).\\
d) En déduire que pour tout \(t \in[a, b]\), on a : \(\left|f(t)-P_{f}(t)\right| \leqslant \frac{1}{(n+1)!} \times|w(t)| \times \sup _{[a, b]}\left|f^{(n+1)}\right|\).

\section*{Partie III. Exemple d'interpolation et phénomène de Runge}
Dans cette partie, on suppose que l'entier \(n\) appartient à \(\mathrm{N}^{*}\) et n'est plus fixé.\\
Pour tout \(k \in \llbracket 0, n \rrbracket\), on pose : \(x_{k, n}=-1+\frac{2 k}{n}\).\\
Pour tout réel \(\rho>0\), on note \(f_{\rho}\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}\) telle que : \(\forall x \in \mathbf{R}, f_{\rho}(x)=\frac{1}{x^{2}+\rho^{2}}\).\\
Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\) et pour tout \(\rho>0\), on note \(P_{f_{\rho}, n}\) le polynôme d'interpolation aux points \(x_{0, n}, x_{1, n}, \ldots, x_{n, n}\) de la fonction \(f_{\rho}\).\\
Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose : \(w_{n}(X)=\prod_{k=0}^{n}\left(X-x_{k, n}\right)\).

Cette partie se propose de mettre en évidence des conditions suffisantes de convergence de la suite \(\left(P_{f_{p}, n}(x)\right)_{n \geqslant 1}\) vers \(f_{\rho}(x)\) pour \(x\) appartenant à un intervalle \(I \subset \mathbf{R}\).\\
7.a) Justifier que la fonction \(f_{\rho}\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbf{R}\).\\
b) Montrer que pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\) et pour tout \(x \in \mathbf{R}\), on a : \(\left|f_{\rho}^{(n)}(x)\right|=\left|f_{\rho}^{(n)}(-x)\right|\).\\
c) Montrer que pour tout réel \(x\) vérifiant \(|x|<\rho\), on a : \(\frac{1}{x^{2}+\rho^{2}}=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{\rho^{2 k+2}} x^{2 k}\).\\
8. Dans cette question, on admet le résultat qui suit.

Pour tout \(k \in \mathbf{N}\), soit \(A_{k}\) la fonction définie sur \(\mathbf{R}\) par : \(A_{k}(t)=t^{k}\). Soit \(R\) un réel strictement positif.\\
Soit \(\left(u_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) une suite réelle. On suppose que pour tout \(\left.t \in\right]-R, R\left[\right.\), la série de terme général \(u_{k} \times A_{k}(t)\) est convergente ; on note \(\varphi(t)\) sa somme.\\
Alors, la fonction \(\varphi\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(]-R, R[\) et \(\forall t \in]-R, R\left[\right.\) et \(\forall n \in \mathrm{~N}^{*}\), on a \(: \varphi^{(n)}(t)=\sum_{k=0}^{+\infty} u_{k} \times A_{k}^{(n)}(t)\).\\
Soit \(\rho>0\). On pose: \(\forall x \in]-\rho, \rho\left[, v(x)=\frac{\rho^{2}}{\rho^{2}-x^{2}}\right.\).\\
a) Déterminer les réels \(p\) et \(q\) pour lesquels on a : \(\forall x \in]-\rho, \rho\left[, v(x)=\frac{p}{\rho-x}+\frac{q}{\rho+x}\right.\).\\
b) Comparer pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\) et pour tout \(\left.n \in\right]-\rho, \rho\left[,\left|v^{(n)}(x)\right|\right.\) et \(\left|v^{(n)}(-x)\right|\).\\
c) Montrer que pour tout \(x \in]-\rho, \rho\left[\right.\) et pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on a : \(\left|f_{\rho}^{(n)}(x)\right| \leqslant \frac{1}{\rho^{2}} \times\left|v^{(n)}(x)\right|\).\\
d) On suppose que \(\rho>1\). Montrer que pour tout \(x \in[-1,1]\) et pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on a :

\[
\left|f_{p}^{(n)}(x)\right| \leqslant \frac{1}{\rho} \times \frac{n!}{(\rho-1)^{n+1}} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item Pour \(x \in[-1,1]\) avec \(x \notin\left\{x_{0, n}, x_{1, n}, \ldots, x_{n, n}\right\}\), soit \(k\) l'entier de \([0, n-1]\) tel que \(\left.x \in\right] x_{k, n}, x_{k+1, n}[\).\\
a) Établir les inégalités : \(\left|w_{n}(x)\right| \leqslant\left(\frac{2}{n}\right)^{n+1} \times(k+1)!(n-k)!\leqslant\left(\frac{2}{n}\right)^{n+1} \times n!\).\\
b) À l'aide de la formule de Stirling (rappelée dans le préambule du problème), montrer qu'il existe un entier \(n_{0}\) tel que pour tout \(n \geqslant n_{0}\), on a pour tout \(x \in\left[-1_{1} 1\right]:\left|w_{n}(x)\right| \leqslant\left(\frac{2}{\mathrm{e}}\right)^{n+1}\).\\
c) Déduire des questions 6.d), 8.d) et 9.b) qu'une condition suffisante pour que \(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left|f_{\rho}(x)-P_{f_{\rho} n}(x)\right|=0\) pour tout \(x \in[-1,1]\), est : \(\rho>1+\frac{2}{\mathrm{e}}\).\\
10.a) On pose : \(\forall \rho>0, H(\rho)=\frac{1}{4} \int_{-1}^{1} \ln \left(t^{2}+\rho^{2}\right) \mathrm{d} t\). À l'aide d'une intégration par parties, calculer \(H(\rho)\).
\end{enumerate}

Montrer que la fonction \(H\) est prolongeable par continuité en 0 . On note encore \(H\) la fonction prolongée.\\
b) Montrer que la fonction \(H\) réalise une bijection strictement croissante de \(\mathbf{R}_{+}\)sur un intervalle à déterminer.\\
c) Montrer qu'il existe un unique réel \(\rho_{0}>0\) tel que \(H\left(\rho_{0}\right)=\ln 2-1\). Montrer que \(\rho_{0}<1\) (on donne \(\ln 2 \simeq 0.693\) ).\\
d) On note \(i\) le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\frac{\pi}{2}\) et \(|i \rho|\) le module du nombre complexe \(i \rho\). Vérifier que pour tout \(\rho>0\), on a : \(\left|w_{n}(i \rho)\right|>0\). Montrer alors que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \ln \left|w_{n}(i \rho)\right|=H(\rho)\).\\
11. La fonction Arctan est codée dans le langage Scilab par atan.

Le programme suivant renvoie une valeur approchée d'un réel \(s_{0}\) à 0.001 près.

\begin{verbatim}
function z=G(x); z=(1/2)*(log((1+x-2)/4))+x*(atan(1/x)); endfunction
u=0.25; v=1;
while (v-u)>0.001 do
    if G((u+v)/2)>Q then v=(u+v)/2; and
    if G((u+v)/2)<0 then u=(u+v)/2; end
    if G((u+v)/2)=x 0 then v=(u+v)/2;u=(u+v)/2; end
end
disp ((u+v)/2)
\end{verbatim}

a) Quelle est la méthode mise en ceuvre dans ce programme? Donner une équation vérifiée par \(s_{0}\).\\
b) Comparer \(s_{0}\) et \(\rho_{0}\).\\
12. Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose : \(S_{n}(X)=1-\left(X^{2}+\rho^{2}\right) P_{f_{p}, n}(X)\).\\
a) Montrer que le polynôme \(w_{n}\) divise le polynôme \(S_{n}\).\\
b) Montrer que le polynôme \(P_{f_{\beta}, n}\) est pair.\\
c) Pour tout \(n \in \mathbf{N}^{*}\), on pose : \(y_{n}=1-\frac{1}{n}\). Exprimer \(\left|w_{n}\left(y_{n}\right)\right|\) en fonction de \(n\).

Trouver un équivalent de \(\left|w_{n}\left(y_{n}\right)\right|\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), de la forme \(\frac{\tau}{n} \times \sigma^{n}\), où \(\tau\) et \(\sigma\) sont des réels strictement positifs que l'on déterminera.\\
d) On admet sans démonstration que : \(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\ln \left|w_{n}(i \rho)\right|-n H(\rho)\right)=0\).

Déduire de ce résultat admis et de la question 12.c), un équivalent de \(\left|\frac{w_{n}\left(y_{n}\right)}{w_{n}(i \rho)}\right|\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\). Dans les questions 19 et 14, on suppose que \(n\) est impair.\\
13.a) Montrer que \(w_{n}(i \rho) \in \mathbf{R}^{*}\) et exprimer \(S_{n}(X)\) en fonction de \(w_{n}(X)\) et \(w_{n}(i \rho)\).\\
b) En déduire que pour tout \(x \in[-1,1]\), on a : \(\left|f_{\rho}(x)-P_{f_{\rho}, n}(x)\right|=f_{\rho}(x) \times\left|\frac{w_{n}(x)}{w_{n}(i \rho)}\right|\).\\
14. On suppose que \(0<\rho<\rho_{0}\).\\
a) Déterminer \(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left|f_{\rho}\left(y_{n}\right)-P_{f_{\rho} n}\left(y_{n}\right)\right|\).\\
b) En déduire que \(\lim _{n \rightarrow+\infty} \sup _{[-1,1]}\left|f_{\rho}(x)-P_{f_{\rho}, n}(x)\right|=+\infty\) (phénomène de Runge).


\end{document}