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\begin{document}
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\section*{EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC}
\section*{MATHE MATIQUES 2}
\section*{Durée : 4 heures}
\section*{L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont indépendants}
$* * *$\\
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

\section*{PROBLEME I - ETUDE D'UN WATTMETRE ELECTRONIQUE}
On se propose d'étudier le fonctionnement d'un wattmètre constitué de deux amplificateurs logarithmiques, d'un amplificateur exponentiel et d'un additionneur.

\section*{1. Caractéristique d'une diode}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{2025_09_04_755fa0856c6f7a2a4c12g-1}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{Figure 1}
\end{center}
\end{figure}

Dans tout le problème, les amplificateurs qui vont être étudiés utilisent une diode, schématisée sur la figure 1 , dont la caractéristique courant-tension a pour équation :

\[
i=I_{O}\left(\mathrm{e}^{v / V_{o}}-1\right)
\]

où $i$ est l'intensité de courant traversant la diode, $v$ la tension aux bornes, et $I_{o}$ et $V_{o}$ sont des constantes positives.

Pour les applications numériques, on prendra : $I_{o}=10 \mu \mathrm{~A}$ et $V_{o}=25 \mathrm{mV}$.

Tracer qualitativement l'allure de la courbe $i(v)$.

\section*{2. Amplificateur logarithmique}
On réalise le montage de la figure 2 :

\begin{figure}[h]
\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{2025_09_04_755fa0856c6f7a2a4c12g-2(1)}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{Figure 2}
\end{center}
\end{figure}

L'amplificateur opérationnel (A.O.) est supposé idéal et on note $V_{\text {sat }}$ sa tension de saturation égale à $\pm 20 \mathrm{~V}$; les sources de polarisation ne figurent pas sur les schémas.\\
2.1. L'amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, déterminer $v_{s}(t)$ en fonction de $v_{e}(t), V_{o}, I_{o}$ et $R$.\\
2.2. On suppose que $v_{e}(t)=\mathrm{V}_{\mathrm{e}} \sqrt{2} \sin (\omega t)$ et que $\mathrm{V}_{\mathrm{e}} \sqrt{2}>R I_{o}$ et on remarquera que $V_{s a t} \gg V_{o}$. Pour $0<\omega t<\pi$, et compte-tenu des signes de $v_{e}$ et de $v_{s}$, justifier s'il y aura ou non saturation de l'amplificateur.\\
Répondre à la même question pour $\pi<\omega t<2 \pi$.\\
2.3. Tracer l'allure des courbes $v_{e}(t)$ et $v_{s}(t)$, en fonction du temps, sur une période complète, pour $\mathrm{V}_{\mathrm{e}} \sqrt{2}>R I_{0}$.

\section*{3. Amplificateur exponentiel}
On réalise le montage de la figure 3 :

\begin{figure}[h]
\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{2025_09_04_755fa0856c6f7a2a4c12g-2}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{Figure 3}
\end{center}
\end{figure}

3.1. L'amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, déterminer $v_{s}(t)$ en fonction de $v_{e}(t), V_{o}, I_{o}$ et $R$.\\
3.2. On suppose que $v_{e}(t)=\mathrm{V}_{\mathrm{e}} \sqrt{2} \sin (\omega t)$; pour $0<\omega t<\pi$, donner la condition que $v_{e}(t)$ doit satisfaire pour que l'amplificateur soit effectivement en régime linéaire; calculer la valeur numérique de la limite trouvée pour $v_{e}(t)$ à partir des valeurs suivantes : $R=10^{6} \Omega$ et $V_{\text {sat }}=20 \mathrm{~V}$.\\
3.3. Obtenir la condition entre $V_{\text {sat }}$ et $R I_{o}$ nécessaire pour que l'amplificateur opérationnel soit en régime linéaire lorsque $\pi<\omega t<2 \pi$, quelle que soit la valeur de $\mathrm{V}_{\mathrm{e}}$.

\section*{4. Wattmètre électronique}
On réalise maintenant le montage de la figure 4, dans lequel les amplificateurs opérationnels sont en régime linéaire :\\
\includegraphics[max width=\textwidth, center]{2025_09_04_755fa0856c6f7a2a4c12g-3(1)}\\
4.1. Exprimer $v_{s 3}$ en fonction de $v_{s 1}$ et $v_{s 2}$, puis en fonction de $v_{1}$ et $v_{2}$ et des éléments du montage.\\
4.2. En déduire la caractéristique de transfert $v_{s}=\mathrm{f}\left(v_{1}, v_{2}\right)$ de ce montage, en fonction de $I_{o}$ et $R$.\\
4.3. On considère que les tensions d'entrée sont de la forme :

\[
v_{1}(t)=\mathrm{V}_{1} \sqrt{2} \cos (\omega t) \text { et } \quad v_{2}(t)=\mathrm{V}_{2} \sqrt{2} \cos (\omega t-\varphi)
\]

Déterminer l'expression de la valeur moyenne dans le temps de la tension de sortie, notée $<v_{s}>$.\\
4.4. Proposer un moyen pour mesurer $<v_{s}>$.\\
4.5. On considère un dipôle constitué de résistances, bobines et condensateurs, d'impédance complexe équivalente $\underline{Z}_{e ́ q}=R_{e ́ q}+j X_{e ́ q}$ et alimenté par une tension $v(t)=\mathrm{V} \sqrt{2} \cos (\omega t)$ (fig.5).

\begin{figure}[h]
\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{2025_09_04_755fa0856c6f7a2a4c12g-3}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{Figure 5}
\end{center}
\end{figure}

Exprimer la valeur moyenne $P$ de la puissance instantanée reçue par le dipôle en fonction de $\mathrm{V}, R_{\text {éq }}$ et $X_{\text {éq }}$, dite aussi «puissance active».

On veut mesurer cette puissance avec le montage de la figure 4, noté $\mathbf{W}$; on réalise dans ce but le montage de la figure 6, alimenté par la tension $v(t)=\mathrm{V} \sqrt{2} \cos (\omega t)$ :

\begin{figure}[h]
\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{2025_09_04_755fa0856c6f7a2a4c12g-4}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{Figure 6}
\end{center}
\end{figure}

On considère que les intensités dans les deux entrées du wattmètre $\mathbf{W}$ sont nulles.\\
4.6. Quel est le rôle de la résistance $r$ dans le montage ? Comment doit-on choisir la valeur de celle-ci ?\\
4.7. Montrer que la puissance moyenne totale mesurée par le wattmètre est de la forme :

\[
P^{\prime}=k<v_{s}>
\]

Expliciter la constante $k$ et exprimer $P^{\prime}$ en fonction de $\mathrm{V}, R_{e ́ q}, r$ et $X_{e q}$.\\
4.8. Déterminer l'expression de l'erreur systématique relative $\varepsilon_{r}=\frac{\left|P^{\prime}-P\right|}{P}$ et montrer qu'elle est majorée par $r / R_{e ́ q}$.\\
4.9. On veut éliminer l'erreur introduite par la résistance $r$; on considère alors le montage de la figure 7 :

\begin{figure}[h]
\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{2025_09_04_755fa0856c6f7a2a4c12g-4(1)}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{Figure 7}
\end{center}
\end{figure}

Calculer la résistance d'entrée $\mathrm{r}_{\mathrm{e}}=v_{e} / i$ de ce montage.\\
4.10. Proposer un montage utilisant le circuit de la figure 7 qui permette de mesurer la puissance $P$ reçue par le dipôle, sans l'erreur systématique $\varepsilon_{r}$ introduite par la présence de $r$.

Le problème de la conception d'un écran électromagnétique est un problème de champ en régime quasi-stationnaire. La pénétration du champ électromagnétique dans le domaine qui doit être écranté dépend de la fréquence $f$, de la conductivité électrique $\sigma$ de l'écran, aussi bien que de la géométrie de celui-ci.

On considère le domaine à écranter situé entre deux plaques métalliques parallèles d'extension infinie, d'épaisseur $d$ et distantes de $2 D$ (fig. 1). Les deux plaques sont planes, homogènes et isotropes, de conductivité électrique $\sigma$ et de constantes $\varepsilon_{o}$ et $\mu_{o}$ égales à celles du vide.

On rappelle leurs valeurs numériques : $\varepsilon_{0}=\frac{1}{36 \pi 10^{9}} \mathrm{Fm}^{-1}$ et $\mu_{o}=4 \pi 10^{-7} \mathrm{Hm}^{-1}$

\begin{figure}[h]
\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{2025_09_04_755fa0856c6f7a2a4c12g-6}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{Figure 1}
\end{center}
\end{figure}

Dans le domaine extérieur, $x \in]-\infty,-D-d[\cup] D+d,+\infty[$, règne un champ magnétique uniforme et variable dans le temps :

\[
\vec{B}_{e}(t)=B_{o} \sqrt{2} \cos (\omega t) \vec{u}_{z}
\]

Par ailleurs, on appelle :\\
$\vec{B}_{i}=B_{i}(x, t) \vec{u}_{z} \quad$ le champ magnétique entre les deux plaques\\
$\vec{E}_{i}=E_{i}(x, t) \vec{u}_{y}$ le champ électrique entre les deux plaques\\
$\vec{B}=B(x, t) \vec{u}_{z} \quad$ le champ magnétique dans les plaques\\
$\vec{E}=E(x, t) \vec{u}_{y} \quad$ le champ électrique dans les plaques.

Tous ces champs sont des fonctions harmoniques du temps $t$ (régime sinusoïdal), de pulsation $\omega$.

\section*{1. Approximation de l'effet de peau dans un conducteur}
1.1. L'une des équations de Maxwell s'écrit : $\operatorname{rot} \vec{B}=\mu_{o}\left(\vec{j}+\varepsilon_{o} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)$

De quelle équation de Maxwell s'agit-il ? Pourquoi est-elle nommée ainsi ? Comment appelle-t-on $\vec{j}$ ? Quelle est son unité ?\\
1.2.Donner l'expression de la loi d'Ohm locale. Est-elle valable quelle que soit la fréquence? Justifier qualitativement la réponse.\\
On admettra la validité de cette loi dans toute la suite.\\
1.3. On pose $\vec{j}_{d}=\varepsilon_{o} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$. Exprimer le rapport des amplitudes $\frac{j_{d}}{j}$ en fonction de $\sigma$ et de la fréquence $f$, en un point quelconque de la plaque.\\
Tracer l'allure de la courbe représentative $\frac{j_{d}}{j}$ en fonction de $f$.\\
Application numérique : dans le cas de l'aluminium, $\sigma=36.10^{6} \mathrm{~S} . \mathrm{m}^{-1}$; donner la condition vérifiée par la fréquence $f$ pour avoir $\frac{j_{d}}{j} \leq 10^{-6}$.\\
Dans toute la suite du problème, on négligera $\vec{j}_{d}$ devant $\vec{j}$ à l'intérieur des plaques métalliques; il s'agit de l'approximation de l'effet de peau.

\section*{2. Champ électromagnétique dans les plaques}
2.1. Une autre équation de Maxwell s'écrit röt $\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$.

Comment la nomme-t-on ? Pourquoi ?\\
2.2. Ecrire les deux autres équations de Maxwell.\\
2.3. On rappelle que : $\operatorname{rot}(\operatorname{rot} \vec{B})=\operatorname{grad}(\operatorname{div} \vec{B})-\Delta \vec{B}$

Donner l'équation aux dérivées partielles satisfaite par le champ $\vec{B}(x, t)$.\\
2.4. En régime sinusoïdal, à $B(x, t)=B(x) \sqrt{2} \cos (\omega t+\varphi(x))$, on associe l'image complexe suivante : $\underline{B}(x)=B(x) \mathrm{e}^{j \varphi(x)}$\\
On note $\underline{\gamma}^{2}=j \omega \mu_{O} \sigma \quad$ avec $\sqrt{\underline{\gamma}^{2}}= \pm \alpha(1+j)= \pm \underline{\gamma}$\\
Expliciter $\alpha$ en fonction de $\omega, \mu_{o}, \sigma$.\\
2.5. Ecrire l'équation différentielle satisfaite par $\underline{B}(x)$ avec $\underline{\gamma}$ comme paramètre.\\
2.6. Résoudre cette équation pour $x \in] D, D+d[$, en donnant l'expression de $\underline{B}(x)$ en fonction de deux constantes $\underline{A}_{1}$ et $\underline{A}_{2}$, que l'on ne cherchera pas à déterminer dans cette question.\\
2.7. En exploitant la symétrie du système, justifier qu'il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation différentielle de $\underline{B}(x)$ dans le domaine $]-D-d,-D[$.\\
2.8. A partir de l'une des équations de Maxwell judicieusement choisie, exprimer l'image complexe $\underline{E}(x)$ du champ électrique pour $x \in] D, D+d\left[\right.$ avec $\mu_{0}, \gamma, \sigma, \underline{A}_{1}$ et $\underline{A}_{2}$ comme paramètres.

\section*{3. Expression du champ électromagnétique entre les deux plaques}
3.1. Ecrire sans approximation les équations de Maxwell dans le vide entre les deux plaques.\\
3.2. En déduire l'équation différentielle satisfaite par $\underline{B}_{i}(x)$.\\
3.3. Montrer que l'expression suivante est solution de cette équation :\\
$\underline{B}_{i}(x)=\underline{A}_{3} \cos \left(\frac{2 \pi}{\lambda_{o}} x\right)+\underline{A}_{3}^{\prime} \sin \left(\frac{2 \pi}{\lambda_{o}} x\right) \quad$ où $\underline{A}_{3}$ et $A_{3}^{\prime}$ sont des constantes, que l'on ne cherchera pas à déterminer ici.\\
Donner l'expression de $\lambda_{o}$ en fonction de $\varepsilon_{o}, \mu_{o}$ et $f$.\\
3.4. Dans quelle condition, l'approximation de régime quasi-stationnaire est-elle justifiée dans le vide, entre les deux plaques ?

Calculer $\lambda_{o}$ pour $f=100 \mathrm{kHz}$ et conclure.\\
Que peut-on dire alors de $\underline{B}_{i}(x)$ dans le domaine intérieur $-D \leq x \leq D$ avec $D=10 \mathrm{~cm}$ ?\\
3.5. Déterminer l'image complexe $\underline{E}_{i}(x)$ du champ électrique en fonction de $\underline{A}_{3}$ et d'une autre constante $\underline{A}_{4}$ comme paramètre.\\
On prendra $\underline{B}_{i}=\underline{A}_{3}$.\\
3.6. Comparer la symétrie de $\vec{E}$ à celle de $\vec{B}$ par rapport au plan $O y z$. En déduire la valeur de $\underline{E}_{i}(x=0)$, puis la valeur de $\underline{A}_{4}$.

\section*{4. Calcul des constantes et du facteur d'atténuation}
4.1. Il n'y a ni charge surfacique ni courant surfacique en $x=D$ et en $x=D+d$. Justifier pourquoi.\\
4.2. Donner les relations de passage du champ magnétique et du champ électrique en $x=D$.\\
4.3. En déduire $\underline{A}_{1}$ et $\underline{A}_{2}$ en fonction de $\underline{A}_{3}$. On rappelle que $\underline{\gamma}^{2}=j \omega \mu_{0} \sigma$\\
4.4. Donner la relation de passage du champ magnétique en $x=D+d$. En déduire $\underline{B}_{i}$, donc $\underline{A}_{3}$, en fonction de $\underline{\gamma}, D, d$ et $B_{o}$.\\
4.5. La valeur efficace $B_{i e f f}$ du champ $B_{i}(x, t)$ est donnée par le module de l'image complexe $\underline{B}_{i}$. Exprimer $B_{\text {ieff }}$ en fonction de $\alpha, D, d$ et $B_{o}$, dans l'hypothèse double $\alpha D \gg 1$ et $\alpha d \gg 1$.\\
4.6. Les plaques utilisées sont en aluminium :

\[
\sigma=36.10^{6} \mathrm{~S} . \mathrm{m}^{-1} \text { et } \mu \cong \mu_{o}=4 \pi 10^{-7} \mathrm{Hm}^{-1}
\]

et les autres grandeurs ont les valeurs suivantes : $f=100 \mathrm{kHz}$ et $D=10 \mathrm{~cm}$.\\
Calculer la valeur du paramètre $\alpha$, ainsi que la profondeur de pénétration $\delta=\frac{1}{\alpha}$ ( $\delta$ sera donnée en mm).\\
4.7. On définit le facteur d'atténuation $a$ comme étant le rapport des valeurs efficaces :

\[
a=B_{\text {ieff }} / B_{O}
\]

Exprimer $a$ en fonction de $\alpha, D$ et $d$.\\
Calculer l'épaisseur $d$ d'un écran pour avoir $a=10^{-5}$.\\
L'hypothèse faite à la question 4.5. est-elle justifiée?\\
4.8. Nature du métal : les applications ont concerné des plaques en aluminium. Ces applications auraient-elles pu être effectuées sur des plaques en cuivre ? en fer ? Justifier la réponse.

\section*{Fin de l'énoncé}

\end{document}