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\title{MATHÉMATIQUES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{CONCOURS D'ADMISSION 2001}
\section*{Option économique}
Mardi 24 avril 2001 de 8 h 00 à 12 h 00

Durée : 4 heures

\section*{Aucun instrument de calcul n'est autorisé. Aucun document n'est autorisé.}
L'énoncé comporte 5 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.

\section*{1. EXERCICE.}
Dans cet exercice on étudie l'évolution au cours du temps d'un titre dans une bourse de valeurs.\\
1.1. Le but de la première partie est de calculer les puissances successives de la matrice :

\[
M(a)=\left(\begin{array}{ccc}
1-2 a & a & a \\
a & 1-2 a & a \\
a & a & 1-2 a
\end{array}\right)
\]

où \(a\) représente un nombre réel.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tous réels \(a, b\), on a : \(M(a) \cdot M(b)=M(a+b-3 a b)\)
  \item En déduire les valeurs de \(a\) pour lesquelles la matrice \(M(a)\) est inversible et exprimer son inverse.
  \item Justifier le fait que \(M(a)\) est diagonalisable.
  \item Déterminer le réel \(a_{0}\) non nul, tel que :
\end{enumerate}

\[
\left[M\left(a_{0}\right)\right]^{2}=M\left(a_{0}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item On considère les matrices :
\end{enumerate}

\[
P=M\left(a_{0}\right) \text { et } Q=I-P
\]

où \(I\) désigne la matrice carrée unité d'ordre 3.\\
a. Montrer qu'il existe un réel \(\alpha\), que l'on exprimera en fonction de \(a\), tel que :

\[
M(a)=P+\alpha Q
\]

b. Calculer \(P^{2}, Q P, P Q, Q^{2}\).\\
c. Pour tout entier naturel \(n\), non nul, montrer que \([M(a)]^{n}\) s'écrit comme combinaison linéaire de \(P\) et \(Q\).\\
d. Expliciter alors la matrice \([M(a)]^{n}\).

\subsection*{1.2. Evolution d'un titre boursier au cours du temps.}
Dans la suite de l'exercice, on suppose que \(a \in] 0, \frac{2}{3}[\)

\begin{enumerate}
  \item On définit des suites \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}},\left(q_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}},\left(r_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), par leur premier terme \(p_{1}, q_{1}, r_{1}\), et les relations de récurrence :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
p_{n+1}=(1-2 a) p_{n}+a q_{n}+a r_{n} \\
q_{n+1}=a p_{n}+(1-2 a) q_{n}+a r_{n} \\
r_{n+1}=a p_{n}+a q_{n}+(1-2 a) r_{n}
\end{array}\right.
\]

a. Exprimer \(p_{n}, q_{n}, r_{n}\) en fonction de \(n, p_{1}, q_{1}, r_{1}\)\\
b. Etudier la convergence de ces suites.\\
2. Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester stable, ou baisser.

Dans un modèle mathématique, on considère que :

\begin{itemize}
  \item le premier jour le titre est stable.
  \item si un jour \(n\), le titre monte, le jour \(n+1\), il montera avec la probabilité \(\frac{2}{3}\), restera stable avec la probabilité \(\frac{1}{6}\), et baissera avec la probabilité \(\frac{1}{6}\).
  \item si un jour \(n\), le titre est stable, le jour \(n+1\), il montera avec la probabilité \(\frac{1}{6}\), restera stable avec la probabilité \(\frac{2}{3}\), et baissera avec la probabilité \(\frac{1}{6}\).
  \item si un jour \(n\), le titre baisse, le jour \(n+1\), il montera avec la probabilité \(\frac{1}{6}\), restera stable avec la probabilité \(\frac{1}{6}\), et baissera avec la probabilité \(\frac{2}{3}\).\\
On note \(M_{n}\) (respectivement \(S_{n}\), respectivement \(B_{n}\) ) l'événement "le titre donné monte (respectivement reste stable, respectivement baisse) le jour \(n\) ".\\
a. Exprimer les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jour \(n+1\) en fonction de ces mêmes probabilités au jour \(n\).\\
b. En déduire les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jour \(n\).\\
c. Quelles sont les limites de ces probabilités lorsque \(n\) tend vers l'infini ?
\end{itemize}

\section*{2. EXERCICE.}
Un système est constitué de \(n\) composants. On suppose que les variables aléatoires \(T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{n}\) mesurant le temps de bon fonctionnement de chacun des \(n\) composants sont indépendantes, de même loi, la loi exponentielle de paramètre \(\lambda>0\).

\subsection*{2.1. Calcul du nombre moyen de composants défaillants entre les instants 0 et t}
On note \(N_{t}\) la variable aléatoire égale au nombre de composants défaillants entre les instants 0 et t avec \(t \geqslant 0\).

\begin{enumerate}
  \item Pour tous les entiers \(i\) de \(\{1,2, \ldots, n\}\), calculer la probabilité de l'événement \(\left\{T_{i}<t\right\}\).
  \item Montrer que \(N_{t}\) suit une loi binômiale. Préciser ses paramètres et son espérance \(E\left(N_{t}\right)\).
  \item A partir de quel instant \(t_{o}\) le nombre moyen de composants défaillants dépasse-t-il la moitié du nombre de composants?
\end{enumerate}

\subsection*{2.2. Montage en série.}
On suppose que le système fonctionne correctement si tous les composants eux-mêmes fonctionnent correctement et note \(S_{n}\) la variable aléatoire mesurant le temps de bon fonctionnement du système.

\begin{enumerate}
  \item Pour \(t \in \mathbb{R}\), exprimer l'événement \(\left\{S_{n}>t\right\}\) en fonction des événements :
\end{enumerate}

\[
\left\{T_{1}>t\right\},\left\{T_{2}>t\right\}, \ldots,\left\{T_{n}>t\right\}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Déterminer alors la fonction de répartition \(F_{n}\) de \(S_{n}\) puis définir sa densité \(f_{n}\).
  \item Reconnaître la loi de \(S_{n}\) et donner sans calcul l'espérance \(E\left(S_{n}\right)\) et la variance \(V\left(S_{n}\right)\) de \(S_{n}\).
\end{enumerate}

\subsection*{2.3. Montage en parallèle.}
On suppose maintenant que le système fonctionne correctement si l'un au moins des composants fonctionne correctement et note \(U_{n}\) la variable aléatoire mesurant le temps de bon fonctionnement du système.

\begin{enumerate}
  \item Exprimer \(\left\{U_{n}<t\right\}\) en fonction des événements \(\left\{T_{1}<t\right\},\left\{T_{2}<t\right\}, \ldots,\left\{T_{n}<t\right\}\).
  \item Déterminer alors la fonction de répartition \(G_{n}\) de \(U_{n}\) puis montrer que sa densité \(g_{n}\) est définie par :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{c}
g_{n}(t)=n \lambda\left(1-e^{-\lambda t}\right)^{n-1} e^{-\lambda t}, \quad t \geqslant 0 \\
g_{n}(t)=0, \quad t<0
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer l'existence de l'espérance \(E\left(U_{n}\right)\) de \(U_{n}\) et prouver que :
\end{enumerate}

\[
E\left(U_{n}\right)=\frac{1}{\lambda} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{k}}{k+1} C_{n}^{k+1}
\]

puis, que pour tous entiers naturels \(n\),

\[
E\left(U_{n+1}\right)-E\left(U_{n}\right)=\frac{1}{\lambda(n+1)}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Par sommation de la relation précédente, et en utilisant l'équivalent simple :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \ln n
\]

donner un équivalent simple de \(E\left(U_{n}\right)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

\section*{3. EXERCICE.}
On désigne par \(n\) un entier naturel non nul et \(a\) un réel strictement positif. On se propose d'étudier les racines de l'équation :

\[
\left(E_{n}\right): \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\cdots+\frac{1}{x+2 n}=a
\]

À cet effet, on introduit la fonction \(f_{n}\) de la variable réelle \(x\) définie par :

\[
f_{n}(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\cdots+\frac{1}{x+2 n}-a
\]

\subsection*{3.1. Etude d'un cas particulier}
Pour cette question seulement, on prend \(a=\frac{11}{6}\) et \(n=1\).

\begin{enumerate}
  \item Représenter la fonction \(f_{1}\) relativement à un repère orthonormal du plan. (unité graphique 2 cm )
  \item Calculer \(f_{1}(1)\), puis déterminer les racines de \(\left(E_{1}\right)\). (On donne \(\sqrt{37}=6,08\) à \(10^{-2}\) près par défaut)
\end{enumerate}

\subsection*{3.2. Dénombrement des racines de ( \(E_{n}\) )}
\begin{enumerate}
  \item Dresser le tableau de variations de \(f_{n}\).
  \item Justifier l'existence de racines de l'équation ( \(E_{n}\) ) et en déterminer le nombre.
\end{enumerate}

\subsection*{3.3. Equivalent de la plus grande des racines quand \(\mathbf{n}\) tend vers \(+\infty\)}
On note \(x_{n}\) la plus grande des racines de \(\left(E_{n}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(x_{n}>0\).
  \item Démontrer que pour tout réel \(x>1\) :
\end{enumerate}

\[
\frac{1}{x}<\ln \frac{x}{x-1}<\frac{1}{x-1}
\]

En déduire que pour \(x\) réel strictement positif :

\[
f_{n}(x)-\frac{1}{x}+a<\ln \left(1+\frac{2 n}{x}\right)<f_{n}(x)-\frac{1}{x+2 n}+a
\]

puis, que :

\[
a-\frac{1}{x_{n}}<\ln \left(1+\frac{2 n}{x_{n}}\right)<a-\frac{1}{x_{n}+2 n}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que pour tout \(n\) entier naturel, non nul :
\end{enumerate}

\[
x_{n}>\frac{2 n}{\exp a-1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Quelle est la limite de \(x_{n}\), puis la limite de \(\ln \left(1+\frac{2 n}{x_{n}}\right)\), lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) ?
  \item Prouver enfin l'existence d'un réel \(\delta\), que l'on exprimera en fonction de \(a\), tel que l'on ait, au voisinage de l'infini, l'équivalent suivant :
\end{enumerate}

\[
x_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \delta . n
\]


\end{document}