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\title{MATHÉMATIQUES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{CONCOURS D'ADMISSION 2002}
\section*{option économique}
mercredi 22 mai 2002 de 8 h 00 à 12 h 00\\
durée : 4 heures

Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
Aucun document n'est autorisé.\\
L'énoncé comporte 6 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.

\section*{1. EXERCICE}
Dans l'ensemble \(M_{3}(\mathbb{R})\) des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels, on considère le sousensemble \(E\) des matrices \(M(a, b)\) définies par :

\[
M(a, b)=\left(\begin{array}{ccc}
b & a & b \\
a & b & b \\
b & b & a
\end{array}\right)
\]

Ainsi :

\[
E=\{M(a, b) \quad a, b \in \mathbb{R}\}
\]

On note \(f_{a, b}\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) représenté par la matrice \(M(a, b)\) dans la base canonique \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) de \(\mathbb{R}^{3}\).

\subsection*{1.1. Structure de \(E\).}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_{3}(\mathbb{R})\).
  \item Donner une base de \(F\), ainsi que sa dimension.
\end{enumerate}

\subsection*{1.2. Etude d'un cas particulier.}
On pose \(A=M(1,0)\).

\begin{enumerate}
  \item Calculer \(A^{2}\). En déduire que \(A\) est une matrice inversible et exprimer \(A^{-1}\) en fonction de A.
  \item Déterminer les valeurs propres de \(A\).
  \item Trouver une base de \(\mathbb{R}^{3}\) dans laquelle la matrice de \(f_{1,0}\) est :
\end{enumerate}

\[
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right)
\]

\subsection*{1.3. Diagonalisation des éléments de \(E\) et application.}
On considère les vecteurs de \(\mathbb{R}^{3}\) suivants :

\[
\vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(1,-1,0), \vec{w}=(1,1,-2)
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier que les matrices de l'ensemble \(E\) sont diagonalisables.
  \item Montrer que \(\mathcal{C}=(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).
  \item On note \(P\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{C}\). Ecrire \(P\).
  \item Déterminer \(F^{-1}\).
  \item Exprimer les vecteurs \(f_{a, b}(\vec{u}), f_{a, b}(\vec{v}), f_{a, b}(\vec{w})\) en fonction de \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\).
  \item En déduire l'expression de la matrice \(D_{a, b}\) de \(f_{a, b}\) dans la base \(\mathcal{C}\).
  \item Justifier l'égalité :
\end{enumerate}

\[
P^{-1} M_{a, b} P=D_{a, b}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur \(a\) et \(b\) pour que \(D_{a, b}\) soit inversible.
  \item Cette condition étant réalisée, déterminer la matrice inverse de \(D_{a, b}\).
  \item Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur \(a\) et \(b\) pour que \(M_{a, b}\) soit inversible.
\end{enumerate}

\section*{2. EXERCICE.}
On considère la famille de fonctions \(\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définies sur \(]-1,+\infty[\) par :

\[
f_{n}(x)=x^{n} \ln (1+x)
\]

\subsection*{2.1. Etude des fonctions \(f_{n}\).}
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(h_{n}\) la fonction définie sur \(]-1,+\infty[\) par :

\[
h_{n}(x)=n \ln (1+x)+\frac{x}{1+x}
\]

\begin{enumerate}
  \item Etudier le sens de variation des fonctions \(h_{n}\).
  \item Calculer \(h_{n}(0)\), puis en déduire le signe de \(h_{n}\).
  \item Etude du cas particulier \(n=1\).\\
a. Après avoir justifié la dérivabilité de \(f_{1}\) sur \(]-1,+\infty\left[\right.\), exprimer \(f_{1}^{\prime}(x)\) en fonction de \(h_{1}(x)\).\\
b. En déduire les variations de la fonction \(f_{1}\) sur \(]-1,+\infty[\).
  \item Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}-\{1\}\)\\
a. Justifier la dérivabilité de \(f_{n}\) sur \(]-1,+\infty\left[\right.\) et exprimer \(f_{n}^{\prime}(x)\) en fonction de \(h_{n}(x)\).\\
b. En déduire les variations de \(f_{n}\) sur \(]-1,+\infty[\). (On distinguera les cas \(n\) pair et \(n\) impair). On précisera les limites aux bornes sans étudier les branches infinies.
\end{enumerate}

\subsection*{2.2. Etude d'une suite.}
On considère la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par :

\[
U_{n}=\int_{0}^{1} f_{n}(x) d x
\]

\subsection*{2.2.1. Calcul de \(U_{1}\).}
\begin{enumerate}
  \item Prouver l'existence de trois réels \(a, b, c\) tels que :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in[0,1] \quad \frac{x^{2}}{x+1}=a x+b+\frac{c}{1+x}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En déduire la valeur de l'intégrale:
\end{enumerate}

\[
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x+1} d x
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que \(U_{1}=\frac{1}{4}\).\\
2.2.2. Convergence de la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
  \item Montrer que la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est monotone.
  \item Justifier la convergence de la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\). (on ne demande pas sa limite).
  \item Démontrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*} \quad 0 \leqslant U_{n} \leqslant \frac{\ln 2}{n+1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item En déduire la limite de la suite \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
\end{enumerate}

\subsection*{2.2.3. Calcul de \(U_{n}\) pour \(n \geqslant 2\).}
Pour \(x \in[0,1]\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}-\{1\}\), on pose :

\[
S_{n}(x)=1-x+x^{2}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} x^{k}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que :
\end{enumerate}

\[
S_{n}(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{(-1)^{n} x^{n+1}}{1+x}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En déduire que :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k+1}=\ln 2+(-1)^{n} \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{1+x} d x
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Fin utilisant une intégration par parties dans le calcul de \(U_{n}\), montrer que :
\end{enumerate}

\[
U_{n}=\frac{\ln 2}{n+1}+\frac{(-1)^{n}}{n+1}\left[\ln 2-\left(1-\frac{1}{2}+\cdots+\frac{(-1)^{k}}{k+1}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1}\right)\right]
\]

\section*{3. EXERCICE.}
Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules étant indiscernables au toucher.\\
On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée, on note sa couleur, et on la remet dans l'urne avec \(c\) boules de la couleur de la boule tirée. On répète cette épreuve, on réalise ainsi une succession de \(n\) tirages ( \(n \geqslant 2\) ).

\subsection*{3.1. Etude du cas \(c=0\).}
On effectue donc ici \(n\) tirages successifs avec remise de la boule dans l'urne.\\
On note \(X\) la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des \(n\) tirages et \(Y\) la variable aléatoire réelle définie par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
Y=k \text { si l'on obtient une boule blanche pour la première fois au } k^{i e ̀ m e} \text { tirage. } \\
Y=0 \text { si les n boules tirées sont noires. }
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la loi de \(X\). Donner la valeur de \(E(X)\) et de \(V(X)\).
  \item Pour \(k \in\{1, \ldots, n\}\), déterminer la probabilité \(P(Y=k)\) de l'événement \((Y=k)\), puis déterminer \(P(Y=0)\).
  \item Vérifier que :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=0}^{n} P(Y=k)=1
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Pour \(x \neq 1\) et \(n\) entier non nul, montrer que :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=1}^{n} k x^{k}=\frac{n x^{n+2}-(n+1) x^{n+1}+x}{(1-x)^{2}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item En déduire \(F(Y)\).
\end{enumerate}

\subsection*{3.2. Etude du cas \(c \neq 0\).}
On considère les variables aléatoires \(\left(X_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) définies par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
X_{i}=1 \text { si on obtient une boule blanche au } i^{\text {ème }} \text { tirage. } \\
X_{i}=0 \text { sinon. }
\end{array}\right.
\]

On définit alors, pour \(2 \leqslant p \leqslant n\), la variable aléatoire \(Z_{p}\), par :

\[
Z_{p}=\sum_{i=1}^{p} X_{i}
\]

\begin{enumerate}
  \item Que représente la variable \(Z_{p}\) ?
  \item Donner la loi de \(X_{1}\) et l'espérance \(E\left(X_{1}\right)\) de \(X_{1}\).
  \item Déterminer la loi du couple ( \(X_{1}, X_{2}\) ). En déduire la loi de \(X_{2}\) puis l'espérance \(E\left(X_{2}\right)\).
  \item Déterminer la loi de probabilité de \(Z_{2}\).
  \item Déterminer l'univers image \(Z_{p}(\Omega)\) de \(Z_{p}\).
  \item Soit \(p \leqslant n-1\).\\
a. Déterminer \(P\left(X_{p+1}=1 / Z_{p}=k\right)\) pour \(k \in Z_{p}(\Omega)\).\\
b. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
\end{enumerate}

\[
P\left(X_{p+1}=1\right)=\frac{1+c E\left(Z_{p}\right)}{2+p c}
\]

c. En déduire que \(X_{p}\) est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{2}\).\\
(On raisonnera par récurrence sur \(p\) : les variables \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{p}\) étant supposées suivre une loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{2}\), et on calculera \(E\left(Z_{p}\right)\) ).


\end{document}