\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{ECRICOME 2003 \\
 option ECONOMIQUE \\
 EXERCICE 1}
On considère l'espace vectoriel \(E=\mathbb{R}^{3}\) et \(f\) l'endomorphisme de \(E\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathcal{B}=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right)\) est la matrice \(A\) :

\[
A=\left(\begin{array}{lll}
3 & -2 & 3 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)
\]

\section*{1. Calcul des puissances de \(A\)}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer les valeurs propres \(\lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\) de l'endomorphisme \(f\), avec \(\lambda_{1}<\lambda_{2}\)
  \item La matrice \(A\) est-elle inversible ? (On ne demande pas la matrice \(A^{-1}\) ).
  \item Déterminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres de \(f\).
  \item Justifier que \(f\) n'est pas diagonalisable.
  \item Déterminer le vecteur \(\overrightarrow{u_{1}}\) de \(E\) vérifiant :
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item \(\overrightarrow{u_{1}}\) est un vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda_{1}\)
  \item la première composante de \(\overrightarrow{u_{1}}\) est 1 .
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Déterminer le vecteur \(\overrightarrow{u_{2}}\) de \(E\) vérifiant :
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item \(\overrightarrow{u_{2}}\) est un vecteur propre de \(f\) associe à la valeur propre \(\lambda_{2}\)
  \item la deuxième composante de \(\overrightarrow{u_{2}}\) est 1 .
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Soit \(\overrightarrow{u_{3}}=(1,1,1)\). Montrer que \(\mathcal{C}=\left(\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}, \overrightarrow{u_{3}}\right)\) est une basede \(E\).
  \item Déterminer la matrice de passage \(P\) de la la base \(\mathcal{B}\) dans la base \(\mathcal{C}\) puis la matrice de passage de la base \(\mathcal{C}\) à la base \(\mathcal{B}\).
  \item Montrer que: \(f\left(\overrightarrow{u_{3}}\right)=\overrightarrow{u_{2}}+2 \overrightarrow{u_{3}}\)
  \item En déduire que la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{C}\) est la matrice:
\end{enumerate}

\[
T=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{10}
  \item Rappeler la relation matricielle entre \(A\) et \(T\).
  \item Prouver que pour tout élément \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) il existe un réel \(\alpha_{n}\) tel que :
\end{enumerate}

\[
T^{n}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2^{n} & \alpha_{n} \\
0 & 0 & 2^{n}
\end{array}\right)
\]

On donnera le réel \(\alpha_{1}\) ainsi qu'une relation entre \(\alpha_{n+1}\) et \(\alpha_{n}\)\\
13. Montrer que :

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \alpha_{n}=n 2^{n-1}
\]

En déduire l'écriture matricielle de \(A^{n}\) en fonction de \(n\).

\section*{2. Matrices commutant avec \(A\).}
\(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) désignant l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 , on considère le sous-ensemble \(C(A)\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) des matrices \(M\) telles que :

\[
A M=M A
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(C(A)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\)
  \item Pour \(M\) appartenant à \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) on pose \(M^{\prime}=P^{-1} M P\).
\end{enumerate}

Montrer que :

\[
A M=M A \Longleftrightarrow T M^{\prime}=M^{\prime} T
\]

( \(T\) est définie dans la question 1.10)\\
3. Montrer qu'une matrice \(M^{\prime}\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) ) vérifie \(T M^{\prime}=M^{\prime} T\) si et seulement si \(M^{\prime}\) est de la forme \(\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & 0 \\ 0 & b & c \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)\) où \(a, b, c\) sont trois réels.\\
4. En déduire que \(M\) appartient à \(C(A)\) si et seulement si il existe des réels \(a, b, c\) tels que :

\[
M=\left(\begin{array}{ccc}
-a+2 b & 2 a-2 b & -a+b+2 c \\
-a+b & 2 a-b & -a+b+c \\
0 & 0 & b
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Déterminer alors une base de \(C(A)\) ainsi que la dimension de \(C(A)\).
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 2}
On considère les fonctions \(c h\) et \(s h\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\operatorname{ch}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \quad \operatorname{sh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
\]

ainsi que la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
f(x)=\frac{x}{\operatorname{sh}(x)} \text { si } x \neq 0 \\
f(0)=1
\end{array}\right.
\]

On s'intéresse dans cet exercice à la convergence de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par la relation de récurrence :

\[
\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=1 \\
\forall n \in \mathbb{N} \quad u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)
\end{array}\right.
\]

\section*{1. Etude des fonctions \(c h\), sh, et \(f\).}
\begin{enumerate}
  \item Etudier la parité des fonctions ch et sh.
  \item Dresser le tableau de variations de la fonction sh, puis en déduire le signe de \(\operatorname{sh}(x)\) pour \(x\) appartenant à \(\mathbb{R}\).
  \item Déterminer un équivalent en \(+\infty\) de \(\operatorname{sh}(x)\). En déduire l'allure de la courbe représentative de la fonction sh en \(+\infty\).
  \item Montrer que la fonction sh réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\)
  \item Etudier les variations de la fonction ch.
  \item Montrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \operatorname{ch}(x)>\operatorname{sh}(x)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Donner sur un méme graphique l'allure des courbes représentatives des fonctions ch et sh.
  \item Etudier la parité de la fonction \(f\).
  \item Déterminer le développement limité d'ordre 3 en 0 de la fontion \(s h\).
  \item En déduire que la fonction \(f\) est continue en 0 , dérivable en 0 et déterminer \(f^{\prime}(0)\).
  \item Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\) et calculer \(f^{\prime}(x)\) pour \(x \in \mathbb{R}^{*}\)
  \item On pose :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbb{R}^{+}, \quad h(x)=\operatorname{sh} x-x \operatorname{ch}(x)
\]

Etudier les variations de \(h\), puis en déduire le signe de \(h(x)\).\\
13. Déterminer les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{+}\)et donner l'allure de la courbe représentative de la fonction \(f\). (On ne cherchera pas les points d'inflexion).

\section*{2. Etude de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).}
On donne :

\[
\begin{aligned}
f(0.8) & \simeq 0.9, \quad f(1) \simeq 0.85 \\
\operatorname{sh}(0.6) & \simeq 0.64, \quad \operatorname{sh}(0.8) \simeq 0.89, \quad \operatorname{sh}(1) \simeq 1.18, \quad \operatorname{sh}(1.2) \simeq 1.51
\end{aligned}
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(f([0.8,1]) \subset[0.8,1]\), puis que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n} \in[0.8,1]
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Montrer que l'équation \(f(x)=x\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\) (on pourra utiliser la question 1.4, sans cherche à déterminer \(\alpha\) ).
  \item Donner um encadrement de \(\alpha\) et justifier que :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in[0.8,1], \quad \frac{h(1)}{s h^{2}(0.8)} \leq f^{\prime}(x) \leq \frac{h(0.8)}{s h^{2}(1)}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item On donne :
\end{enumerate}

\[
\frac{h(1)}{s h^{2}(0.8)} \simeq-0.47 \text { et } \frac{h(0.8)}{s h^{2}(1)} \simeq-0.13
\]

Montrer que :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad\left|u_{n+1}-\alpha\right| \leq 0.5\left|u_{n}-\alpha\right|
\]

Puis que :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad\left|u_{n}-\alpha\right| \leq 0.2(0.5)^{n}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item En déduire la limite de la suite ( \(u_{n}\) ) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
  \item Ecrire un programme en Turbo-Pascal permettant de calculer et d'afficher \(u_{10}\)
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 3}
Sous diverses hypothèses, l'exercice étudie différentes situations probabilistes concernant une entreprise de construction produisant des objets sur deux chaînes de montage \(A\) et \(B\) qui fonctionnent indépendemment l'une de l'autre.\\
Pour une chaîne donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes.

\section*{Partie 1.}
On suppose que \(A\) produit \(60 \%\) des objets et \(B\) produit \(40 \%\) des objets. La probabilité qu'un objet construit par la chaine \(A\) soit défectueux est 0.1 alors que la probabilité pour qu'un objet construit par la chaine \(B\) soit défectueux est 0.2 .

\begin{enumerate}
  \item On choisit au hasard un objet à la sortie de l'entreprise. On constate que cet objet est défectueux. Calculer la probabilité de l'événement "l'objet provient de la chaîne A".
  \item On suppose de plus que le nombre d'objets produits en une heure par \(A\) est une variable aléatoire \(Y\) qui suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda=20\).\\
On considère la variable aléatoire \(X\) représentant le nombre d'objets défectueux produits par la chaîne \(A\) en une heure.\\
a) Rappeler la loi de \(Y\) ainsi que la valeur de l'espérance et de la variance de \(Y\).\\
b) Soient \(k\) et \(n\) deux entiers naturels, déterminer la probabilité conditionnelle \(P[X=k / Y=n]\). (On distinguera les cas \(k \leq n\) et \(k>n\) ).\\
c) En déduire, en utilisant le système complet d'événements \((Y=i)_{i \in \mathbb{N}}\), que \(X\) suit une loi de Poisson de paramètre 2 .
\end{enumerate}

\section*{Partie 2.}
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\left\{\begin{array}{cc}
f(t)=\frac{2}{(1+t)^{3}} & \text { si } t \geq 0 \\
f(t)=0 & \text { si } t<0
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) est une densité d'une variable aléatoire \(Z\)
  \item Déterminer la fonction de répartition \(F_{Z}\) de \(Z\).
  \item Justifier la convergence de l'intégrale :
\end{enumerate}

\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{2 t}{(1+t)^{3}} d t
\]

La calculer en effectuant le changement de variable \(u=t+1\).\\
4. Prouver que \(Z\) admet une espérance et la déterminer.\\
5. \(Z\) admet-elle une variance?\\
6. Dans cette partie, on suppose que le temps de fabrication, exprimé en minutes d'un pièce par la chaîne \(A\) (respectivement \(B\) ) est une variable aléatoire \(Z_{1}\) ( respectivement \(Z_{2}\) ) où \(Z_{1}\) et \(Z_{2}\) sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que que \(Z\).\\
a) On considère les événements :\\
\(C=\) "le temps de fabrication d'une pièce sur la chaine \(B\) est supérieur à 2 minutes".\\
\(D=\) "le temps de fabrication d'une pièce sur la chaîne \(B\) est inférieur à 3 minutes".\\
Calculer les probabilités suivante : \(P(C), P(D), P(D / C)\).\\
b) On note \(T=\max \left(Z_{1}, Z_{2}\right)\) et \(G_{T}\) la fonction de répartition de \(T\).\\
i. Exprimer l'événement ( \(T \leq x\) ) en fonction des événements ( \(Z_{1} \leq x\) ) et ( \(Z_{2} \leq x\) )\\
ii. Montrer que :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad G_{T}(x)=\left[F_{Z}(x)\right]^{2}
\]

c) En déduire que \(T\) est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité.

\section*{Partie 3.}
On suppose maintenant que pour qu'une pièce soit terminée, il faut qu'elle passe par la chaîne \(A\) puis par la chaîne \(B\).\\
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne \(A\) est une variable aléatoire \(M\) suivant une loi exponentielle de paramètre 2 .\\
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne \(B\) est une variable aléatoire \(N\) suivant une loi uniforme sur \([0,1]\)\\
Les variables \(M\) et \(N\) sont indépendantes.

\begin{enumerate}
  \item Rappeler l'expression d'une densité de probabilité \(v\) de \(M\) et d'une densité \(w\) de \(N\).
  \item On note \(S\) la variable aléatoire représentant le temps total de fabrication d'une pièce.
\end{enumerate}

Exprimer \(S\) en fonction de \(M\) et de \(N\) et déterminer le temps moyen de fabrication d'une pièce.


\end{document}