\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\begin{document}
\section*{ECRICOME 2005 Option Economique}
\section*{1 EXERCICE}
On considère, pour tout entier naturel \(n\), l'application \(\varphi_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \varphi_{n}(x)=(1-x)^{n} e^{-2 x}
\]

ainsi que l'intégrale :

\[
I_{n}=\int_{0}^{1} \varphi_{n}(x) d x
\]

On se propose de démontrer l'existence de trois réels, \(a, b, c\) tels que :

\[
I_{n}=a+\frac{b}{n}+\frac{c}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}} \varepsilon(n) \quad \text { avec } \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} \varepsilon(n)=0
\]

\begin{enumerate}
  \item Calculer \(I_{0}, I_{1}\).
  \item Etudier la monotonie de la suite \(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
  \item Déterminer le signe de \(I_{n}\) pour tout entier naturel \(n\)
  \item Qu'en déduit-on pour la suite \(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\)
  \item Majorer la fonction \(g: x \rightarrow e^{-2 x}\) sur [ 0,1 ]
  \item En déduire que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad 0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n+1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Déterminer la limite de la suite \(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) lorsque \(n\) tend vers l'infini.
  \item A l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad 2 I_{n+1}=1-(n+1) I_{n}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item En déduire la limite de la suite \(\left(n I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) lorsque \(n\) tend vers l'infini.
  \item Déterminer la limite de la suite \(\left(n\left(n I_{n}-1\right)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) lorsque \(n\) tend vers l'infini.
  \item Donner alors les valeurs de \(a, b, c\).
\end{enumerate}

\section*{2 EXERCICE.}
On considère la fonction \(f\) définie par :

\[
\left\{\begin{aligned}
\forall x \in \mathbb{R}^{+*}, & f(x)=x^{2}-x \ln (x)-1 \\
& f(0)=-1
\end{aligned}\right.
\]

le tableau de valeurs de \(f\),

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\(x\) & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 \\
\hline
\(f(x)\) & \(-0,5\) & 0 & 0,6 & 1,6 & 3 & 4,7 & 6,9 & 9,5 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

ainsi que les fonctions \(\varphi\) et \(g\) définies par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}^{+*}, \quad \varphi(x)=\frac{2}{x}+\ln (x), \quad \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad g(x, y)=x e^{y}-y e^{x}
\]

\subsection*{2.1 Etude de deux suites associées à \(f\).}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^{+}\).
  \item Etudier la dérivabilité de la fonction \(f\) en 0 . En donner une interprétation graphique.
  \item Etudier la convexité de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\), puis dresser son tableau de variations en précisant la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers l'infini.
  \item Etudier la nature de la branche infinie.
  \item Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}^{+*}\) sur un intervalle \(J\) que l'on précisera.
  \item Quel est le sens de variation de \(f^{-1}\) ? Déterminer la limite de \(f^{-1}(x)\) lorsque \(x\) tend vers l'infini.
  \item Justifier que pour tout entier naturel \(k\), il existe un unique réel \(x_{k}\) positif tel que :
\end{enumerate}

\[
f\left(x_{k}\right)=k
\]

a) Donner la valeur de \(x_{0}\).\\
b) Utiliser le tableau de valeurs de \(f\) pour déterminer un encadrement de \(x_{1}\) et \(x_{2}\).\\
c) Exprimer \(x_{k}\) à l'aide de \(f^{-1}\) puis justifier que la suite ( \(x_{k}\) ) est croissante et déterminer sa limite lorsque \(k\) tend vers l'infini.\\
8. On définit la suite ( \(u_{n}\) ) par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=\frac{2}{3} \\
\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1}=\varphi\left(u_{n}\right)
\end{array}\right.
\]

a) Etudier les variations de \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\).\\
b) On donne \(\varphi\left(\frac{3}{2}\right) \simeq 1,73\) et \(\varphi(2) \simeq 1,69\). Montrer que \(\varphi\left(\left[\frac{3}{2}, 2\right]\right) \subset\left[\frac{3}{2}, 2\right]\)\\
c) En étudiant les variations de \(\varphi^{\prime}\), montrer que :

\[
\forall x \in\left[\frac{3}{2}, 2\right] \quad\left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq \frac{2}{9}
\]

d) Montrer que les équations \(x=\varphi(x)\) et \(f(x)=1\) sont équivalentes. En déduire que le réel \(x_{1}\) est l'unique solution de l'équation :

\[
x=\varphi(x)
\]

e) Montrer successivement que pour tout entier \(n\) :

\[
\begin{aligned}
\frac{3}{2} & \leq u_{n} \leq 2 \\
\left|u_{n+1}-x_{1}\right| & \leq \frac{2}{9}\left|u_{n}-x_{1}\right| \\
\left|u_{n}-x_{1}\right| & \leq\left(\frac{2}{9}\right)^{n}
\end{aligned}
\]

f) En déduire la limite de la suite ( \(u_{n}\) ).

\subsection*{2.2 Recherche d'extremum éventuel de \(g\).}
\begin{enumerate}
  \item Calculer les dérivées partielles premières de la fonction \(g\).
  \item Montrer que si \(g\) admet un extremum local en \((a, b)\) de \(\mathbb{R}^{2}\) alors :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{c}
a b=1 \\
a=e^{a-\frac{1}{a}}
\end{array}\right.
\]

En déduire que nécessairement :

\[
\left\{\begin{array}{c}
a>0 \\
a b=1 \\
f(a)=0
\end{array}\right.
\]

et donc que le seul point où \(g\) peut admettre un extremum est le couple \((1,1)\)\\
3. Calculer les réels :

\[
r=\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(1,1), \quad s=\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}(1,1), \quad t=\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}(1,1)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item La fonction \(g\) admet-elle un extremum local sur \(\mathbb{R}^{2}\) ?
\end{enumerate}

\section*{3 EXERCICE}
On effectue une suite de lancers d'une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et qu'à chaque lancer, la pièce donne pile avec la probabilité \(p(0<p<1)\) et face avec la probabilité \(q=1-p\).\\
On s'intéresse dans cet exercice à l'apparition de deux piles consécutifs.\\
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(A_{n}\) l'événement :"deux piles consécutifs sont réalisés pour la première fois aux lancers numéro \(n\) et \(n+1\) ".\\
On définit alors la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) des probabilités des événements \(A_{n}\) par :

\begin{itemize}
  \item Pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(a_{n}=p\left(A_{n}\right)\)
  \item avec la convention \(a_{0}=0\)
\end{itemize}

\subsection*{3.1 Encadrement des racines de l'équation caractéristique.}
On considère la fonction polynomiale \(f\) de la variable réelle \(x\) définie par :

\[
f(x)=x^{2}-q x-p q
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'équation \(f(x)=0\) possède deux racines réelles distinctes \(r_{1}\) et \(r_{2}\left(r_{1}<r_{2}\right)\). Exprimer \(r_{1}+r_{2}, r_{1} r_{2}\) en fonction de \(p\) et \(q\).
  \item Calculer \(f(1), f(-1), f(0)\).
  \item En déduire l'encadrement suivant :
\end{enumerate}

\[
\left|r_{1}\right|<\left|r_{2}\right|<1
\]

\subsection*{3.2 Equivalent de \(a_{n}\) quand \(n\) tend vers l'infini.}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer \(a_{1}, a_{2}\) et \(a_{3}\) en fonction de \(p\) et \(q\).
  \item En remarquant que l'événement \(A_{n+2}\) est réalisé si et seulement si :
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item on a obtenu pile au premier tirage, face au deuxième tirage, et à partir de ce moment, \(A_{n}\) est réalisé\\
ou
  \item on a obtenu face au premier tirage, et à partir de ce moment, \(A_{n+1}\) est réalisé.\\
montrer que l'on a, pour tout entier naturel \(n\),
\end{itemize}

\[
a_{n+2}-q a_{n+1}-p q a_{n}=0
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Ecrire un programme, en langage Pascal, permettant de calculer \(a_{n}\), l'entier \(n\), les réels \(p\) et \(q\) étant donnés par l'utilisateur.
  \item Montrer que pour tout entier, naturel \(n\),
\end{enumerate}

\[
a_{n}=\frac{p^{2}}{r_{2}-r_{1}}=\left[r_{2}^{n}-r_{1}^{n}\right]
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Donner un équivalent de \(a_{n}\) lorsque \(n\) tend vers plus l'infini.
\end{enumerate}

\subsection*{3.3 Expression de \(a_{n}\) en fonction de \(n\) par une méthode matricielle.}
On définit les matrices \(A\) et \(P\) par :

\[
A=\left(\begin{array}{cc}
r_{1}+r_{2} & -r_{1} r_{2} \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad P=\left(\begin{array}{cc}
r_{1} & r_{2} \\
1 & 1
\end{array}\right)
\]

ainsi que les matrices unicolonnes \(X_{n}\) par :

\[
\text { Pour tout entier naturel } n: \quad X_{n}=\binom{a_{n+1}}{a_{n}}
\]

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
X_{n+1}=A X_{n}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Montrer que les matrices \(A-r_{1} I\) et \(A-r_{2} I\) ne sont pas inversibles. ( \(I\) désigne la matrice carrée unité d'ordre 2).
  \item En déduire que \(A\) est diagonalisable.
  \item Montrer que \(P\) est inversible et déterminer \(P^{-1}\).
  \item Calculer la matrice \(D=P^{-1} A P\). (Les coefficients de la matrice \(D\) seront exprimés en fonction de \(r_{2}\) et \(r_{1}\) seulement).
  \item Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
X_{n}=P D^{n} P^{-1} X_{0}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Retrouver ainsi l'expression de \(a_{n}\) en fonction de \(r_{2}, r_{1}, P\) et \(n\).
\end{enumerate}

\subsection*{3.4 Etude du temps d'attente du premier double pile.}
On désigne par \(T\) l'application associant à toute suite de lancers successifs le numéro du lancer où pour la première fois on obtient un double pile.\\
Ainsi, pour tout entier naturel \(n\),

\[
p[T=n+1]=a_{n}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(T\) est une variable aléatoire, c'est-à-dire que :
\end{enumerate}

\[
\sum_{n=1}^{+\infty} p[T=n+1]=1
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Prouver que \(T\) admet une espérance \(E(T)\) et que:
\end{enumerate}

\[
E(T)=\frac{1+p}{p^{2}}
\]


\end{document}