\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{ECRICOME 2006 \\
 Option Economique}
\section*{1 EXERCICE}
. On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par :

\[
f(x)=x+1+2 e^{x}
\]

ainsi que la fonction \(g\) des deux variables réelles \(x\) et \(y\) définie par :

\[
g(x, y)=e^{x}\left(x+y^{2}+e^{x}\right)
\]

\subsection*{1.1 Recherche d'extremum local de \(g\).}
\begin{enumerate}
  \item Etudier les variations de \(f\) et donner les limites de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) et \(-\infty\).
  \item Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de \(-\infty\) et donner la position de la courbe représentative de \(f\) par rapport à cette asymptote.
  \item Déduire des variations de \(f\) l'existence d'un unique réel \(\alpha\), élément de l'intervalle \([-2,-1]\) tel que \(f(\alpha)=0\). ( on rappelle que \(e \simeq 2,7\) )
  \item Déterminer le seul point critique de \(g\), c'est-à-dire le seul couple de \(\mathbb{R}^{2}\), en lequel \(g\) est susceptible de présenter un extremum.
  \item Vérifier que \(g\) présente un extremum relatif \(\beta\) en ce point. Est-ce un maximum ou un minimum?
  \item Montrer que l'on a :
\end{enumerate}

\[
4 \beta+\alpha^{2}-1=0
\]

\subsection*{1.2 Etude d'une suite réelle.}
On s'intéresse à la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par son premier terme \(u_{0}=-1\) et par la relation

\[
\forall n \in \mathbb{N} \quad u_{n+1}=u_{n}-\frac{f\left(u_{n}\right)}{f^{\prime}\left(u_{n}\right)}
\]

\begin{enumerate}
  \item Prouver que \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). En déduire que que pour tous réels \(x\) et \(t\) :
\end{enumerate}

\[
f(x)+(t-x) f^{\prime}(x) \leq f(t)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En déduire l'inégalité suivante :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N} \quad \alpha \leq u_{n+1}
\]

Puis que pour tout entier naturel n. :

\[
\alpha \leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq-1
\]

En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est convergente vers un réel à préciser\\
3. On admet que pour tout \(x\) de l'intervalle \([-2,-1]\) :

\[
0 \leq(x-\alpha) f^{\prime}(x)-f(x) \leq \frac{(x-\alpha)^{2}}{e}
\]

a) Prouver alors que pour tout entier naturel \(n\) :

\[
0 \leq u_{n+1}-\alpha \leq \frac{\left(u_{n}-\alpha\right)^{2}}{e}
\]

b) Puis démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[
0 \leq u_{n}-\alpha \leq \frac{1}{e^{2^{n}-1}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Écrire un programme en langage Pascal permettant, lorsque l'entier naturel \(p\) est donné par l'utilisateur, de calculer une valeur approchée de \(\alpha\), de telle sorte que l'on ait :
\end{enumerate}

\[
0 \leq u_{n}-\alpha \leq 10^{-p}
\]

\section*{2 EXERCICE}
Pour tout entier naturel \(n\), on définit la fonction \(f_{n}\) de la variable réelle \(x\) par :

\[
f_{n}(x)=x^{n} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(f_{n}(x)\) est négligeable devant \(\frac{1}{x^{2}}\) au voisinage de \(+\infty\).
  \item Prouver la convergence de l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} f_{n}(x) d x\)
  \item On pose \(I_{n}=\int_{0}^{+\infty} f_{n}(x) d x\)\\
a) A l'aide d'une intégration par parties portant sur des intégrales définies sur le segment \([0, A]\) avec \(A \geq 0\), prouver que pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
I_{n+2}=(n+1) I_{n}
\]

b) En utilisant la loi normale centrée réduite, justifier que :

\[
I_{0}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]

c) Donner la valeur de \(I_{1}\)\\
d) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[
\begin{aligned}
I_{2 n} & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{(2 n)!}{2^{n} n!} \\
I_{2 n+1} & =2^{n} n!
\end{aligned}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{cc}
f(x)=f_{1}(x) & \text { si } x \geq 0 \\
f(x)=0 & \text { si } x<0
\end{array}\right.
\]

a) Démontrer que \(f\) est une densité de probabilité.\\
b) Soit \(X\) une variable aléatoire réelle qui admet \(f\) pour densité de probabilité.\\
i. Justifier que \(X\) admet une espérance \(E(X)\), et préciser sa valeur\\
ii. Justifier que \(X\) admet une variance \(V(X)\), et préciser sa valeur.\\
5. On désigne par \(F\) et \(G\) les fonctions de répartitions respectives de \(X\) et de \(Y=X^{2}\)\\
a) Exprimer \(G(x)\) en fonction de \(F(x)\) en distinguant les deux cas : \(x<0\) et \(x \geq 0\)\\
b) En déduire que \(Y\) est une variable à densité. Reconnaître la loi de \(Y\) et donner la valeur de \(E(Y)\) et \(V(Y)\)

\section*{3 EXERCICE.}
\(E\) désigne l'espace des fonctions polynômes à coefficients réels, dont le degré est inférieur ou égal à l'entier naturel 2.

\section*{3.1 Étude d'un endomorphisme de \(E\).}
On considère l'application \(f\) qui, à tout élément \(P\) de \(E\), associe la fonction polynôme \(Q\) telle que :

\[
\text { pour tout } x \text { réel : } \quad Q(x)=(x-1) P^{\prime}(x)+P(x)
\]

et \(\mathcal{B}=\left(P_{0}, P_{1}, P_{2}\right)\) la base canonique de \(E\) définie par :

\[
\text { pour tout réel } x: \quad P_{0}(x)=1, P_{1}(x)=x \text { et } P_{2}(x)=x^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(E\).
  \item Vérifier que la matrice \(A\) de \(f\) dans \(\mathcal{B}\), s'écrit sous la forme :
\end{enumerate}

\[
A=\left(\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Quelles sont les valeurs propres de \(f\) ? \(f\) est-il diagonalisable? \(f\) est-il un automorphisme de \(E\) ?
  \item Déterminer l'image par \(f\) des fonctions polynômes \(R_{0}, R_{1}, R_{2}\) définies par:
\end{enumerate}

\[
\text { pour tout réel } x: \quad R_{0}(x)=1, R_{1}(x)=x-1 \text { et } R_{2}(x)=(x-1)^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Montrer que \(\mathcal{B}^{\prime}=\left(R_{0}, R_{1}, R_{2}\right)\) est une base de vecteurs propres de \(f\). Écrire la matrice de passage \(P\) de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}^{\prime}\) ainsi que la matrice \(D\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}^{\prime}\).
  \item Vérifier que pour tout réel \(x\) :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{c}
R_{2}(x)+2 R_{1}(x)+R_{0}(x)=P_{2}(x) \\
R_{1}(x)+R_{0}(x)=P_{1}(x)
\end{array}\right.
\]

En déduire la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}^{\prime}\) à la base \(\mathcal{B}\)\\
7. Écrire \(A^{-1}\) en fonction de \(D^{-1}\). Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[
\left[A^{-1}\right]^{n}=P\left[D^{-1}\right]^{n} P^{-1}
\]

et expliciter la troisième colonne de la matrice \(\left[A^{-1}\right]^{n}\)

\subsection*{3.2 Suite d'épreuves aléatoires.}
On dispose d'une urne qui contient trois boules numérotées de 0 à 2 .\\
On s'intéresse à une suite d'épreuves définies de la manière suivante :

\begin{itemize}
  \item La première épreuve consiste à choisir au hasard une boule dans cette urne.
  \item Si \(j\) est le numéro de la boule tirée, on enlève de l'urne toutes les boules dont le numéro est strictement supérieur à \(j\), le tirage suivant se faisant alors dans l'urne ne contenant plus que les boules numérotées de 0 à \(j\).\\
On considère alors la variable aléatoire réelle \(X_{k}\) égale au numéro de la boule obtenue à la \(k^{\text {ème }}\) épreuve ( \(k \geq 0\) )\\
On note alors \(U_{k}\) la matrice unicolonne définie par :
\end{itemize}

\[
U_{k}=\left(\begin{array}{l}
\mathrm{P}\left[X_{k}=0\right] \\
\mathrm{P}\left[X_{k}=1\right] \\
\mathrm{P}\left[X_{k}=2\right]
\end{array}\right)
\]

où \(\mathrm{P}\left[X_{k}=j\right]\) est la probabilité de tirer la boule numéro \(j\) à la \(k^{\text {ème }}\) épreuve.\\
On convient de définir la matrice \(U_{0}\) par :

\[
U_{0}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la loi de \(X_{2}\) (On pourra s'aider d'un arbre). Calculer l'espérance et la variance de \(X_{2}\)
  \item Par utilisation de la formule des probabilités totales, prouver que pour tout entier naturel \(k\) :
\end{enumerate}

\[
U_{k+1}=A^{-1} U_{k}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Écrire \(U_{k}\) en fonction de \(A^{-1}\) et \(U_{0}\)
  \item Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), donner la loi de \(X_{k}\) et vérifier que l'on a :
\end{enumerate}

\[
\lim _{k \rightarrow+\infty} \mathrm{P}\left[X_{k}=0\right]=1, \quad \lim _{k \rightarrow+\infty} \mathrm{P}\left[X_{k}=1\right]=0, \quad \lim _{k \rightarrow+\infty} \mathrm{P}\left[X_{k}=2\right]=0
\]


\end{document}