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\begin{document}
\section*{2}
\section*{Mathématiques Option Economique}
\section*{Mercredi 18 avril 2007 de 8 h 00 à 12 h 00}
\section*{Durée : 4 heures}
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":\\
\(8 h 00-13 h 20\)

Aucun document n'est autorisé.\\
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
L'énoncé comporte 6 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

\section*{1. EXERCICE.}
Soit a un réel strictement positif. On considère la fonction \(f_{a}\) définie pour tout réel \(t\) strictement positif par :

\[
f_{a}(t)=\frac{1}{2}\left(t+\frac{a^{2}}{t}\right)
\]

ainsi que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de nombre réels déterminée par son premier terme \(u_{0}>0\) et par la relation de récurrence:

\[
\forall n \in \mathbb{N} \quad u_{n+1}=f_{a}\left(u_{n}\right)
\]

\subsection*{1.1. Etude des variations de la fonction \(f_{a}\).}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de \(f_{a}(t)\) lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\). Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\) et donner la position de la courbe représentative de \(f_{a}\) par rapport à cette asymptote.
  \item Déterminer la limite de \(f_{a}(t)\) lorsque \(t\) tend vers 0 par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite.
  \item Donner l'expression de la fonction dérivée de \(f_{a}\) sur \(\mathbb{R}^{*+}\) et dresser le tableau de variation de \(f_{a}\).
  \item En déduire que :
\end{enumerate}

\[
\forall t>0 \quad f_{a}(t) \geqslant a
\]

\subsection*{1.2. Etude de la convergence de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).}
\begin{enumerate}
  \item Que dire de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \epsilon \mathbb{N}}\) dans le cas particulier où \(u_{0}=a\) ?
  \item Dans la suite on revient au cas général \(u_{0}>0\).
\end{enumerate}

Démontrer que :

\[
\forall t>a \quad 0<f_{a}^{\prime}(t)<\frac{1}{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que pour tout entier \(n\), non nul :
\end{enumerate}

\[
u_{n} \geqslant a
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Prouver alors que pour tout entier \(n\) non nul :
\end{enumerate}

\[
0 \leqslant u_{n+1}-a \leqslant \frac{1}{2}\left(u_{n}-a\right)
\]

Puis que :

\[
\left|u_{n}-a\right| \leqslant\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left|u_{1}-a\right|
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item En déduire la convergence de la suite ( \(u_{n}\) ) et indiquer sa limite.
  \item En utilisant ce qui précède, écrire un programme en langage Pascal permettant d'afficher les 100 premiers termes d'une suite \(\left(u_{n}\right)\), de premier terme 1 , convergeant vers \(\sqrt{2}\).
\end{enumerate}

\subsection*{1.3. Recherche d'extremum d'une fonction à deux variables.}
On considère, sur \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}\), la fonction \(g\) définie par :

\[
g(x, y)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(1+x)(1+y)
\]

\begin{enumerate}
  \item Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 et 2 de \(g\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}\).
  \item Montrer que \(g\) admet un extremum local sur \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}\) dont on précisera la nature.
  \item Vérifier que :
\end{enumerate}

\[
g(x, y)=1+f_{1}(x)+f_{1}(y)+f_{1}\left(\frac{x}{y}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item En déduire que l'extremum local est un extremum global de \(g\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}\).
\end{enumerate}

\section*{2. EXERCICE.}
\(M_{2}(\mathbb{R})\) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. La matrice \(A\) suivante étant donnée

\[
A=\left(\begin{array}{ll}
3 & -1 \\
6 & -2
\end{array}\right)
\]

on définit l'application \(\phi_{A}\) par:

\[
\begin{aligned}
\phi_{A}: & M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) \\
& M \mapsto \phi_{A}(M)=A M-M A
\end{aligned}
\]

\subsection*{2.1. Diagonalisation de A.}
\begin{enumerate}
  \item Vérifier que \(A^{2}=A\). En déduire les valeurs propres possibles de \(A\).
  \item Prouver que la matrice \(A\) est diagonalisable et déterminer une matrice \(P\) inversible de \(M_{2}(\mathbb{R})\) et une matrice diagonale \(D\) de \(M_{2}(\mathbb{R})\) dont la première colonne est nulle vérifiant la relation :
\end{enumerate}

\[
A=P D P^{-1}
\]

Donner l'écriture matricielle de \(P^{-1}\).

\subsection*{2.2. Diagonalisation de \(\phi_{A}\).}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\phi_{A}\) est un endomorphisme de \(M_{2}(\mathbb{R})\).
  \item Etablir que \(X^{3}-X\) est un polynôme annulateur de \(\phi_{A}\). En déduire les valeurs propres possibles de \(\phi_{A}\).
  \item Montrer que la matrice \(M\) est un vecteur propre de \(\phi_{A}\) associée à la valeur propre \(\lambda\) si et seulement si la matrice \(N=P^{-1} M P\) est non nulle et vérifie l'équation matricielle :
\end{enumerate}

\[
D N-N D=\lambda N
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item On pose \(N=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\).\\
a. Trouver l'ensemble des matrices \(N\) telles que \(D N-N D=0\).\\
b. En déduire que la famille \(\left(A, M_{1}\right)\) avec \(M_{1}=\left(\begin{array}{ll}-2 & 1 \\ -6 & 3\end{array}\right)\) est une base du sous-espace propre \(\operatorname{Ker} \phi_{A}\) associé à la valeur propre 0.\\
c. Déterminer les deux autres valeurs propres non nulles \(\lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\) de \(\phi_{A}\) et caractériser les matrices \(N\) associées.\\
d. En déduire une base de chaque sous-espace propre \(E_{\lambda_{1}}\) et \(E_{\lambda_{1}}\) associé aux valeurs propres \(\lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\).
  \item L'endomorphisme \(\phi_{A}\) est-il diagonalisable?
\end{enumerate}

\section*{3. EXERCICE.}
Soucieux d'améliorer le flux de sa clientèle lors du passage en caisse, un gérant de magasin a réalisé les observations suivantes :

\subsection*{3.1. Mode de paiement de la clientèle.}
\begin{enumerate}
  \item L'étude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis-d'établir les probabilités suivantes :
\end{enumerate}

\[
\begin{aligned}
& P[S=0 \cap U=0]=0.4 \\
& P[S=0 \cap U=1]=0.3 \\
& P[S=1 \cap U=0]=0.2 \\
& P[S=1 \cap U=1]=0.1
\end{aligned}
\]

où \(S\) représente la variable aléatoire prenant la valeur 0 si le montant des achats est inférieur ou égal à 50 euros, prenant la valeur 1 sinon, et \(U\) la variable aléatoire prenant la valeur 0 si la somme est réglée par carte bancaire, prenant la valeur 1 sinon.\\
a. Déterminer les lois de \(S\) et \(U\) et vérifier que la probabilité que le client règle par carte bancaire est égale à \(p=\frac{3}{5}\).\\
b. Calculer la covariance du couple ( \(S, U\) ). Les variables \(S\) et \(U\) sont-elles indépendantes?\\
c. Quelle est la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à 50 euros sachant que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?\\
2. On suppose que les modes de règlement sont indépendants entre les individus.

Une caissière reçoit \(n\) clients dans sa journée ( \(n \geqslant 2\) ).\\
On définit trois variables aléatoires \(C_{n}, L_{1}, L_{2}\) par:

\begin{itemize}
  \item \(C_{n}\) comptabilise le nombre de clients qui paient par carte bancaire.\\
\(-L_{1}\) (resp. \(L_{2}\) ) est égale au rang du \(1^{e r}\) (resp.du \(2^{e}\) ème) client utilisant la carte bancaire comme moyen de paiement, s'il y en a au moins un (\href{http://resp.au}{resp.au} moins deux) et à zéro sinon.\\
a. Reconnaître la loi de \(C_{n}\), rappeler la valeur de l'espérance et de la variance de cette variable aléatoire.\\
b. Déterminer la loi de \(L_{1}\) et vérifier que :
\end{itemize}

\[
\sum_{k=0}^{n} P\left[L_{1}=k\right]=1
\]

c. Déterminer la loi de \(L_{2}\).

\subsection*{3.2. Etude du temps moyen de passage en caisse.}
Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoire \(T\) dont une densité de probabilité est donnée par la fonction \(f\) définie par :

\[
\begin{cases}f(x)=x e^{-x} & \text { si } x \geqslant 0 \\ f(x)=0 & \text { si } x<0\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
  \item Rappeler la définition d'une densité de probabilité d'une variable aléatoire \(X\) suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda=1\). Donner la valeur de l'espérance et de la variance de \(X\).
  \item Utiliser la question précédente pour vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité, puis montrer que \(T\) admet une espérance que l'on déterminera.\\
Quel est le temps moyen de passage en caisse ?
  \item a. Démontrer que la fonction de répartition de \(T\), notée \(F_{T}\) est définie par :
\end{enumerate}

\[
\begin{array}{ll}
\forall x<0 & F_{T}(x)=0 \\
\forall x \geqslant 0 & F_{T}(x)=1-(x+1) e^{-x}
\end{array}
\]

b. Montrer que la probabilité que le temps de passage en caisse soit inférieur à deux unités(de temps) sachant qu'il est supérieur à une unité est égale à \(\frac{2 e-3}{2 e}\).\\
4. Un jour donné, trois clients \(A, B, C\) se présentent simultanément devant deux caisses libres. Par courtoisie, \(C\) décide de laisser passer \(A\) et \(B\) et de prendre la place du premier d'entre eux qui aura terminé. On suppose que les variables \(T_{A}\) et \(T_{B}\) correspondant au temps de passage en caisse de \(A\) et \(B\) sont indépendantes.\\
a. \(M\) désignant le temps d'attente du client \(C\) exprimer \(M\) en fonction de \(T_{A}\) et \(T_{B}\).\\
b. Montrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire \(M\) est donnée par :

\[
\begin{cases}\forall t \in \mathbb{R}^{+} & P[M \leqslant t]=1-(1+t)^{2} e^{-2 t} \\ \forall t \in \mathbb{R}^{-*} & P[M \leqslant t]=0\end{cases}
\]

c. Prouver que \(M\) est une variable à densité et expliciter une densité de \(M\).


\end{document}