\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{1. EXERCICE.}
A tout couple \((a, b)\) de deux réels, on associe la matrice \(M(a, b)\) définie par :

\[
M(a, b)=\left(\begin{array}{ccc}
a+2 b & -b & -2 b \\
2 b & a-b & -4 b \\
-b & b & a+3 b
\end{array}\right)
\]

On désigne par \(E\) l'ensemble des matrices \(M(a, b)\) où \(a\) et \(b\) décrivent \(\mathbb{R}\). Ainsi :

\[
E=\{M(a, b) \backslash a, b \text { réels }\}
\]

On note \(I\) la matrice identité \(M(1,0)\) et \(A\) la matrice suivante :

\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & -2 \\
2 & -1 & -4 \\
-1 & 1 & 3
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) des matrices carrées d'ordre 3.
  \item Donner une base de \(E\) ainsi que sa dimension.
  \item Vérifier que les réels 1 et 2 sont deux valeurs propres de \(A\).
\end{enumerate}

Donner les dimensions des sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.\\
En déduire que la matrice \(A\) est diagonalisable.\\
4. Déterminer deux matrices \(P\) et \(D\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) vérifiant les conditions suivantes :

\begin{itemize}
  \item \(P\) est inversible et ses trois éléments diagonaux sont égaux à 1 .
  \item \(D=\left(d_{i, j}\right)\) est diagonale avec \(d_{1,1}=2\).
  \item \(D=P^{-1} A P\).
\end{itemize}

Donner l'expression de la matrice \(P^{-1}\).\\
5. Prouver que la matrice \(D(a, b)=P^{-1} M(a, b) P\) est une matrice diagonale.\\
6. Montrer que \(M(a, b)\) est inversible si et seulement si \(D(a, b)\) est inversible.

En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur \(a\) et \(b\) pour que \(M(a, b)\) soit inversible.\\
7. Prouver que \([M(a, b)]^{2}=I\) si et seulement si \([D(a, b)]^{2}=I\).

En déduire l'existence de quatre matrices \(M(a, b)\) que l'on déterminera, vérifiant \([M(a, b)]^{2}=I\).

\section*{2. EXERCICE.}
On considère les fonctions suivantes :

\[
\begin{aligned}
& g(x, y)=1+\ln (x+y) \quad \text { (fonction des variables réelles } x \text { et } y) \\
& \text { et pour } p \in \mathbb{N}^{*}\left\{\begin{array}{l}
f_{p}(x)=g(x, p) \\
h_{p}(x)=x-f_{p}(x)
\end{array} \quad \text { (familles de fonctions de la variable réelle } x\right)
\end{aligned}
\]

On note ( \(C_{p}\) ) la courbe représentative de la fonction \(f_{p}\).

\subsection*{2.1. Recherche d'extremum éventuel de la fonction \(g\).}
\begin{enumerate}
  \item Représenter, relativement à un repère orthonormé du plan, le domaine de définition \(D\) de la fonction \(g\). On hachurera \(D\). On admet que cet ensemble est un ouvert de \(\mathbb{R}^{2}\).
  \item Déterminer sur \(D\) les dérivées partielles premières de \(g\). La fonction \(g\) admet-elle un extremum sur \(D\) ?
\end{enumerate}

\subsection*{2.2. Etude de la fonction \(f_{1}\).}
\begin{enumerate}
  \item Donner le domaine de définition de \(f_{1}\).
  \item Déterminer le développement limité en 0 , à l'ordre 2 , de la fonction \(f_{1}\).
  \item En déduire une équation de la tangente à \(C_{1}\) au point d'abscisse 0 , et la position locale de la courbe \(C_{1}\) par rapport à cette tangente.
  \item Déterminer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f_{1}(x), \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f_{1}(x)}{x}\). Donner une interprétation graphique de ces limites.
\end{enumerate}

\subsection*{2.3. Etude d'une suite \(\left(\alpha_{p}\right)_{p \in \mathbb{N}^{*}}\).}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'équation \(f_{p}(x)=x\) admet une unique solution \(\alpha_{p}\) sur l'intervalle \(] 0,+\infty\left[\right.\). (On ne cherchera pas à calculer \(\alpha_{p}\) ).
  \item Déterminer le signe de \(h_{p}\left(\alpha_{p+1}\right)\) et en déduire que la suite \(\left(\alpha_{p}\right)_{p \geqslant 1}\) est monotone.
  \item Prouver que l'on a :
\end{enumerate}

\[
\forall p \in \mathbb{N}^{*}, \quad \alpha_{p} \geqslant 1+\ln p .
\]

Quel est le comportement de la suite \(\left(\alpha_{p}\right)_{p \geqslant 1}\) lorsque \(p\) tend vers \(+\infty\) ?

\subsection*{2.4. Valeur approchée de \(\alpha_{1}\).}
On admet que le réel \(\alpha_{1}\) appartient à l'intervalle [ 1,3 ].\\
On définit la suite ( \(u_{n}\) ) par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=1 \\
\forall n \in \mathbb{N}
\end{array} \quad u_{n+1}=f_{1}\left(u_{n}\right) .\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
u_{n} \geqslant 1 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Appliquer à \(f_{1}\) l'inégalité des accroissements finis entre \(\alpha_{1}\) et \(u_{n}\) et en déduire que pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
\left|u_{n}-\alpha_{1}\right| \leqslant\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Déterminer un entier naturel \(n_{0}\) de telle sorte que si l'entier \(n\) est supérieur ou égal à \(n_{0}\) alors \(\left|u_{n}-\alpha_{1}\right|\) est inférieur ou égal à \(10^{-4}\).
  \item Ecrire un programme en langage Pascal permettant d'obtenir les valeurs de \(n_{0}\) et de \(u_{n_{0}}\).
\end{enumerate}

\section*{3. EXERCICE.}
On s'intéresse dans cet exercice à l'étude de trois jeux présents dans une fête foraine.

\subsection*{3.1. Premier jeu.}
Pour ce premier jeu de hasard, la mise pour chaque partie est de 1 euro. L'observation montre qu'une partie est gagnée avec la probabilité \(\frac{1}{10}\), perdue avec la probabilité \(\frac{9}{10}\). Toute partie gagnée rapporte 3 euros. Les différentes parties sont indépendantes. Une personne décide de jouer \(N\) parties \((N \geqslant 2)\). On note \(X_{N}\) la variable aléatoire représentant le nombre de parties gagnées et \(Y_{N}\) la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

\begin{enumerate}
  \item Donner la loi de \(X_{N}\), ainsi que la valeur de l'espérance et de la variance de cette variable.
  \item Exprimer \(Y_{N}\) en fonction de \(X_{N}\). En déduire la valeur de l'espérance et de la variance de \(Y_{N}\).
  \item La personne décide de jouer 60 parties. On admet que l'on peut approcher \(X_{60}\) par une loi de Poisson.\\
a. Donner le paramètre de cette loi de Poisson.\\
b. A l'issue des 60 parties, quelle est la probabilité que le joueur perde moins de 50 euros? (Cette probabilité sera impérativement calculée en utilisant l'annexe située à la fin de l'exercice).
\end{enumerate}

\subsection*{3.2. Deuxième jeu.}
Pour ce deuxième jeu, le participant lance trois fléchettes dans une cible circulaire de centre O et de rayon 1 . Pour \(1 \leqslant i \leqslant 3\), on note \(X_{i}\) la variable aléatoire égale à la distance du point d'impact au centre O de la \(i^{\text {ème }}\) fléchette. Ces trois variables \(X_{1}, X_{2}, X_{3}\), de même loi, indépendantes, sont des variables à densité dont une densité \(f\) est définie par :

\[
f(x)=\left\{\begin{array}{c}
2 x \text { si } x \in[0,1] \\
0 \text { si } x \notin[0,1]
\end{array}\right.
\]

Le joueur gagne si la fléchette la plus proche du centre O se trouve à distance inférieure à \(\frac{1}{5}\) de ce centre. Enfin on note \(M\) la variable aléatoire représentant la plus petite des trois distances \(X_{1}, X_{2}, X_{3}\).

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que \(f\) est une densité de probabilité et déterminer la fonction de répartition \(F\) de \(X_{i}\).
  \item Déterminer l'espérance de \(X_{i}\).
  \item Exprimer l'événement \([M>t]\) à l'aide des événements \(\left[X_{1}>t\right],\left[X_{2}>t\right]\), \(\left[X_{3}>t\right]\) pour tout \(t\) réel.
  \item Déterminer la fonction de répartition \(F_{M}\) de \(M\) et montrer que \(M\) est une variable à densité et en donner une densité notée \(f_{M}\).
  \item Quelle est la probabilité de l'événement \(G=\) "le joueur gagne la partie"?
\end{enumerate}

\subsection*{3.3. Troisième jeu.}
Pour ce dernier jeu, le participant lance successivement \(n\) boules au hasard dans \(N\) cases numérotées de 1 à \(N\) avec \(N \geqslant 2\). On suppose que les différents lancers de boules sont indépendants et que la probabilité pour qu'une boule quelconque tombe dans une case donnée est \(\frac{1}{N}\). Une case peut contenir plusieurs boules.\\
Le gain étant fonction du nombre de cases atteintes, on étudie la variable aléatoire \(T_{n}\) égale au nombre de cases non vides à l'issue des \(n\) lancers.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer en fonction de \(n\) et \(N\) les valeurs prises par \(T_{n}\).
  \item Donner les lois de \(T_{1}\) et de \(T_{2}\).
  \item Déterminer, lorsque \(n \geqslant 2\), la probabilité des événements \(\left[T_{n}=1\right],\left[T_{n}=2\right],\left[T_{n}=n\right]\). (pour la dernière probabilité on distinguera deux cas \(n>N\) et \(n \leqslant N\) ).
  \item A l'aide de la formule des probabilités totales, justifier l'égalité ( \(I\) ) suivante, pour tout entier \(k\) tel que \(1 \leqslant k \leqslant n\).
\end{enumerate}

\[
P\left(\left[T_{n+1}=k\right]\right)=\frac{k}{N} P\left(\left[T_{n}=k\right]\right)+\frac{N-k+1}{N} P\left(\left[T_{n}=k-1\right]\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Afin de calculer l'espérance \(E\left(T_{n}\right)\) de la variable \(T_{n}\), on considère la fonction polynomiale \(G_{n}\) définie par :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad G_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} P\left(\left[T_{n}=k\right]\right) x^{k}
\]

a. Quelle est la valeur de \(G_{n}(1)\) ?\\
b. Exprimer \(E\left(T_{n}\right)\) en fonction de \(G_{n}^{\prime}(1)\).\\
c. En utilisant la relation (I), montrer que :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad G_{n+1}(x)=\frac{1}{N}\left(x-x^{2}\right) G_{n}^{\prime}(x)+x G_{n}(x) .
\]

d. En dérivant l'expression précédente, en déduire que :

\[
E\left(T_{n+1}\right)=\left(1-\frac{1}{N}\right) E\left(T_{n}\right)+1
\]

e. Prouver enfin que l'espérance de la variable \(T_{n}\) est donnée par :

\[
E\left(T_{n}\right)=N\left[1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^{n}\right] .
\]

Table ae Polsson aomnant les probabilies cumaulees i e- i \(\frac{\lambda}{i!}\)

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
k & \(\lambda=3\) & \(\lambda=4\) & \(\lambda=5\) & \(\lambda=6\) & \(\lambda=7\) \\
\hline
0 & 0,0498 & 0,0183 & 0,0067 & 0,0025 & 0,0009 \\
\hline
1 & 0,1991 & 0,0916 & 0,0404 & 0,0174 & 0,0073 \\
\hline
2 & 0,4232 & 0,2381 & 0,1247 & 0,0620 & 0,0296 \\
\hline
3 & 0,6472 & 0,4335 & 0,2650 & 0,1512 & 0,0818 \\
\hline
4 & 0,8153 & 0,6288 & 0,4405 & 0,2851 & 0,1730 \\
\hline
5 & 0,9161 & 0,7851 & 0,6160 & 0,4457 & 0,3007 \\
\hline
6 & 0,9665 & 0,8893 & 0,7622 & 0,6063 & 0,4497 \\
\hline
7 & 0,9881 & 0,9489 & 0,8666 & 0,7440 & 0,5987 \\
\hline
8 & 0,9962 & 0,9786 & 0,9319 & 0,8472 & 0,7291 \\
\hline
9 & 0,9989 & 0,9919 & 0,9682 & 0,9161 & 0,8305 \\
\hline
10 & 0,9997 & 0,9972 & 0,9863 & 0,9574 & 0,9015 \\
\hline
11 & 0,9999 & 0,9991 & 0,9945 & 0,9799 & 0,9467 \\
\hline
12 & 1,0000 & 0,9997 & 0,9980 & 0,9912 & 0,9730 \\
\hline
13 &  & 0,9999 & 0,9993 & 0,9964 & 0,9872 \\
\hline
14 &  & 1,0000 & 0,9998 & 0,9986 & 0,9943 \\
\hline
15 &  &  & 0,9999 & 0,9995 & 0,9976 \\
\hline
16 &  &  & 1,0000 & 0,9998 & 0,9990 \\
\hline
17 &  &  &  & 0,9999 & 0,9996 \\
\hline
18 &  &  &  & 1,0000 & 0,9999 \\
\hline
19 &  &  &  &  & 1,0000 \\
\hline
20 &  &  &  &  &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\end{document}