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\title{Mathématiques }

\author{Option Économique}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{ecricome}
CONCOURS D'ADMISSION 2009



\section*{Jeudi 14 mai 2009 de 8h00 à 12h00}
\section*{Durée : 4 heures}
Candidats bénéficiant de la mesure «Tiers-temps » : 8h00-13h20

\section*{Aucun document n'est autorisé.}
Aucun intrument de calcul n'est autorisé.\\
L'énoncé comporte 7 pages. (dans la version d'origine, pas celle-ci)\\
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

\section*{1. EXERCICE.}
À tout triplet ( \(a, b, c\) ) de réels, on associe la matrice \(M(a, b, c)\) définie par :

\[
M(a, b, c)=\left(\begin{array}{lll}
a & a & a \\
0 & b & b \\
0 & 0 & c
\end{array}\right)
\]

On désigne par \(E\) l'ensemble des matrices \(M(a, b, c)\) ou \(a, b, c\) sont des réels. Ainsi :

\[
E=\{M(a, b, c) \text { avec } a, b, c \text { réels }\}
\]

\subsection*{1.1. Recherche d'une base de \(E\).}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) des matrices carrées réelles d'ordre 3 .
  \item Donner une base de \(E\) ainsi que sa dimension.
\end{enumerate}

\subsection*{1.2. Cas particulier de la matrice \(M(1,2,3)\).}
\begin{enumerate}
  \item Donner les valeurs propres de \(M(1,2,3)\).
  \item Déterminer une matrice \(P\) inversible to une matrice \(D\) diagonalisable de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) telles que :
\end{enumerate}

\[
D=P^{-1} M(1,2,3) P
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Donner l'expression de \(P^{-1}\) et en déduire la matrice \(A^{n}\) en fonction de l'entier naturel \(n\).\\
1.3. Cas particulier de la matrice \(M(1,1,1)\).
\end{enumerate}

On pose \(J=M(1,1,1)-I_{3}\), la matrice \(I_{3}\) représentant la matrice unité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).

\begin{enumerate}
  \item Calculer les matrices \(J^{2}, J^{3}\). En déduire, sans démonstration, l'expression de \(J^{n}\), pour tout entier naturel \(n \geqslant 3\).
  \item Montrer que our tout entier naturel \(n \geqslant 2\) :
\end{enumerate}

\[
[M(1,1,1)]^{n}=I_{3}+n J+\frac{n(n-1)}{2} J^{2}
\]

L'écriture obtenue est-elle encore valable pour les entiers \(n=0\) et \(n=1\) ?\\
3. En déduire l'écriture matricielle de \([M(1,1,1)]^{n}\).\\
1.4. Cas particulier de la matrice \(M(1,1,2)\).

On note \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) est la matrice \(M(1,1,2)\). On définit la famille de vecteurs \(\mathcal{C}=(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\) par :

\[
\vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,1,0), \vec{w}=(2,1,1) .
\]

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que \(\mathcal{C}\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}\).
  \item Prouver que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont deux vecteurs propres de \(f\) associés à deux valeurs propres que l'on précisera.
  \item Exprimer \(f(\vec{v})\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). En déduire la matrice \(T\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{C}\).
  \item Montrer que pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
T^{n}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & n & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2^{n}
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Montrer que la matrice de passage \(R\) de la base canonique à la base \(\mathcal{C}\) a pour matrice inverse la matrice \(Q=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\).
  \item Donner une relation reliant les matrices \(M(1,1,2), Q, R\) et \(T\).
  \item Sans l'expliciter, écrire \([M(1,1,2)]^{n}\) en fonction de \(n, Q, R, T\).
\end{enumerate}

\section*{2. EXERCICE.}
On considère l'application \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}^{+*}\) par :

\[
\varphi(x)=2 \ln \frac{x}{2}+\frac{1}{x}
\]

ainsi que la fonction numérique \(f\) des variables réelles \(x\) et \(y\) définie par :

\[
\forall(x, y) \in] 0,+\infty[\times] 0,+\infty\left[, f(x, y)=e^{x+4 y} \ln (x y)\right.
\]

\section*{2.1. Étude des zéros de \(\varphi\).}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0 par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite.
  \item Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), ainsi que la limite de \(\frac{\varphi(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). Interpréter graphiquement cette limite.
  \item Justifier la dérivabilité de \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\), déterminer sa dérivée.
  \item Dresser le tableau de variation de \(\varphi\), faire apparaître les limites de \(\varphi\) en \(0^{+}\)et \(+\infty\).
  \item On rappelle que \(\ln 2 \simeq 0,7\). Montrer l'existence de deux réels positifs \(\alpha\) et \(\beta\) tels que :
\end{enumerate}

\[
\begin{gathered}
\varphi(\alpha)=\varphi(\beta)=0 \\
\text { avec } 0<\alpha<\frac{1}{2} \text { et } \frac{1}{2}<\beta
\end{gathered}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Proposer un programme en Pascal permettant d'encadrer \(\alpha\) dans un intervalle d'amplitude \(10^{-2}\).
\end{enumerate}

\subsection*{2.2. Extrema de \(f\) sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\).}
\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\).
  \item Calculer les dérivées partielles premières et prouver que pour \(x\) et \(y\) strictement positifs :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=f(x, y)+\frac{1}{x} e^{x+4 y} \\
\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=4 f(x, y)+\frac{1}{y} e^{x+4 y}
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que les points de coordonnées respectives \(\left(\alpha, \frac{\alpha}{4}\right)\) et \(\left(\beta, \frac{\beta}{4}\right)\) sont des points critiques de \(f\) sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\).
  \item Calculer les dérivées partielles secondes sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\) et établir que :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\left(\alpha, \frac{\alpha}{4}\right)=\frac{\alpha-1}{\alpha^{2}} e^{2 \alpha} \\
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\left(\alpha, \frac{\alpha}{4}\right)=16 \frac{\alpha-1}{\alpha^{2}} e^{2 \alpha} \\
\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\left(\alpha, \frac{\alpha}{4}\right)=\frac{4}{\alpha} e^{2 \alpha}
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item La fonction \(f\) présente-t-elle un extremum local sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\) au point de coordonnées \(\left(\alpha, \frac{\alpha}{4}\right)\) ? Si oui, en donner sa nature (maximum ou minimum).
  \item De même, la fonction \(f\) présente-t-elle un extremum local sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\) au point de coordonnées \(\left(\beta, \frac{\beta}{4}\right)\) ?
\end{enumerate}

\section*{3. EXERCICE.}
\subsection*{3.1. Liminaire.}
Soient \(x\) un réel dans l'intervalle \(\left[0,1\left[, n\right.\right.\) un entier naturel non nul et \(S_{n}\) la fonction définie par :

\[
S_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} x^{k}
\]

\begin{enumerate}
  \item Calculer la somme \(S_{n}(x)\).
  \item Dériver l'égalité obtenue et montrer que :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=1}^{n} k x^{k-1}=\frac{n x^{n+1}-(n+1) x^{n}+1}{(1-x)^{2}}
\]

Une municipalité a lancé une étude concernant les problèmes liés au transport.

\subsection*{3.2. Partie 1.}
Sur une ligne de bus, une enquête a permis de révéler que le retard (ou l'avance) sur l'horaire officiel du bus à une station donnée peut être représenté(e) par une variable aléatoire réelle, notée \(X\), exprimée en minutes, qui suit une loi normale \(\mathcal{N}\left(m, \sigma^{2}\right)\).\\
On admet de plus que la probabilité que le retard soit inférieur à 7 minutes est égale à \(p=0,8413\) et que l'espérance de \(X\) est de 5 minutes.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la valeur de \(\sigma\) en utilisant la table jointe en annexe.
  \item Quelle est la probabilité que le retard soit supérieur à 9 minutes?
  \item Sachant que le retard est supérieur à 3 minutes, quelle est la probabilité que le retard soit inférieur à 7 minutes? (On exprimera cette probabilité à l'aide de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, puis on utilisera la table jointe en annexe).
  \item Monsieur Thierex fréquente cette ligne de bus tous les jours pendant 10 jours. On suppose que les retards journaliers sont indépendants.\\
a. On désigne par \(Y\) la variable aléatoire réelle égale au nombre de jours où Monsieur Thierex a attendu moins de 7 minutes.\\
Déterminer la loi de \(Y\), donner sans calcul son espérance et sa variance.\\
b. On définit par \(Z\) la variable aléatoire discrète réelle indiquant le rang \(k\) du jour où pour la première fois Monsieur Thierex attend plus de 7 minutes si cet événement se produit. Dans le cas contraire, si le temps d'attente est inférieur à 7 minutes pendant les dix jours, \(Z\) prend la valeur 0 .\\
Déterminer en fonction de \(p\) la probabilité des événements \([Z=0]\), puis \([Z=k]\) pour \(1 \leqslant k \leqslant 10\).\\
Utiliser le liminaire pour calculer l'espérance de \(Z\) en fonction de \(p\).
  \item Lassé des retards de son bus, Monsieur Thurman décide de prendre le bus ou le métro selon le protocole suivant :
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item Le premier jour, il prend le bus.
  \item Si le jour \(n\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)\) il attend plus de 7 minutes pour prendre le bus, le jour \(n+1\) il prend le métro, sinon il prend de nouveau le bus.
  \item Si le jour \(n\) il prend le métro, le jour \(n+1\) il prend le métro ou le bus de façon équiprobable.
\end{itemize}

On note \(p_{n}\) la probabilité de l'événement \(A_{n}=\) «Monsieur Thurman prend le bus le jour \(n\) ».\\
a. Justifier que pour tout entier naturel \(n\) non nul :

\[
p_{n+1}=\left(p-\frac{1}{2}\right) p_{n}+\frac{1}{2}
\]

b. Soit \(\alpha\) le réel vérifiant :

\[
\alpha=\left(p-\frac{1}{2}\right) \alpha+\frac{1}{2}
\]

Déterminer \(\alpha\) en fonction de \(p\), puis montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul :

\[
p_{n}=\left(p-\frac{1}{2}\right)^{n-1}(1-\alpha)+\alpha
\]

c. La suite \(\left(p_{n}\right)\) est-elle convergente ? Si oui quelle est sa limite ?

\subsection*{3.3. Partie 2.}
\begin{enumerate}
  \item Le nombre d'appels reçus par le standard d'une société de taxis pendant une période de durée \(t\) suit une loi de Poisson \(Y_{t}\) de paramètre \(\lambda t, \lambda\) étant une constante strictement positive. Une origine de temps étant choisie, on note \(T\) la variable aléatoire réelle représentant le temps d'attente du premier appel vers ce standard. Par convention \(P[T \leqslant t]=0\) pour \(t<0\).\\
a. Pour tout entier naturel \(k\), rappeler la valeur de la probabilité de l'événement \(\left[Y_{t}=k\right]\), ainsi que l'espérance et la variance de \(Y_{t}\).\\
b. Que peut-on dire des événements \(\left[Y_{t}=0\right]\) et \([T>t]\) pour \(t>0\) ? En déduire la probabilité des événements \([T>t]\) et \([T \leqslant t]\) pour \(t>0\).\\
c. Expliciter la fonction de répartition \(F_{T}\) de \(T\). Réconnaître la loi de \(T\) et donner son espérance et sa variance.
  \item La durée, exprimée en heures, du transport d'un client par la société est une variable aléatoire \(U\) à densité dont une densité est donnée par :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
g(t)=t e^{-t} \text { si } t \geqslant 0 \\
g(t)=0 \text { si } t<0
\end{array}\right.
\]

a. Vérifier que \(g\) est bien une densité de probabilité.\\
b. Montrer que \(U\) admet une espérance que l'on déterminera. Que représente cette espérance?

\section*{Table}
La table ci-dessous comporte les valeurs de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, à savoir les valeurs de :

\[
\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} \exp \left(-\frac{t^{2}}{2}\right) \mathrm{d} t
\]

Par exemple \(\Phi(0,67)=0,7468\)

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
 & 0.00 & 0.01 & 0.02 & 0.03 & 0.04 & 0.05 & 0.06 & 0.07 & 0.08 & 0.09 \\
\hline
0.0 & 0.5000 & 0.5040 & 0.5080 & 0.5120 & 0.5160 & 0.5199 & 0.5239 & 0.5279 & 0.5319 & 0.5359 \\
\hline
0.1 & 0.5398 & 0.5438 & 0.5478 & 0.5517 & 0.5557 & 0.5596 & 0.5636 & 0.5675 & 0.5714 & 0.5753 \\
\hline
0.2 & 0.5793 & 0.5832 & 0.5871 & 0.5910 & 0.5948 & 0.5987 & 0.6026 & 0.6064 & 0.6103 & 0.6141 \\
\hline
0.3 & 0.6179 & 0.6217 & 0.6255 & 0.6293 & 0.6331 & 0.6368 & 0.6406 & 0.6443 & 0.6480 & 0.6517 \\
\hline
0.4 & 0.6554 & 0.6591 & 0.6628 & 0.6664 & 0.6700 & 0.6736 & 0.6772 & 0.6808 & 0.6844 & 0.6879 \\
\hline
0.5 & 0.6915 & 0.6950 & 0.6985 & 0.7019 & 0.7054 & 0.7088 & 0.7123 & 0.7157 & 0.7190 & 0.7224 \\
\hline
0.6 & 0.7257 & 0.7291 & 0.7324 & 0.7357 & 0.7389 & 0.7422 & 0.7454 & 0.7486 & 0.7517 & 0.7549 \\
\hline
0.7 & 0.7580 & 0.7611 & 0.7642 & 0.7673 & 0.7704 & 0.7734 & 0.7764 & 0.7794 & 0.7823 & 0.7852 \\
\hline
0.8 & 0.7881 & 0.7910 & 0.7939 & 0.7967 & 0.7995 & 0.8023 & 0.8051 & 0.8079 & 0.8106 & 0.8133 \\
\hline
0.9 & 0.8159 & 0.8186 & 0.8212 & 0.8238 & 0.8264 & 0.8289 & 0.8315 & 0.8340 & 0.8365 & 0.8389 \\
\hline
1.0 & 0.8413 & 0.8437 & 0.8461 & 0.8485 & 0.8508 & 0.8531 & 0.8554 & 0.8577 & 0.8599 & 0.8621 \\
\hline
1.1 & 0.8643 & 0.8665 & 0.8686 & 0.8708 & 0.8729 & 0.8749 & 0.8770 & 0.8790 & 0.8810 & 0.8830 \\
\hline
1.2 & 0.8849 & 0.8869 & 0.8888 & 0.8906 & 0.8925 & 0.8943 & 0.8962 & 0.8980 & 0.8997 & 0.9015 \\
\hline
1.3 & 0.9032 & 0.9049 & 0.9066 & 0.9082 & 0.9099 & 0.9115 & 0.9131 & 0.9147 & 0.9162 & 0.9177 \\
\hline
1.4 & 0.9192 & 0.9207 & 0.9222 & 0.9236 & 0.9251 & 0.9265 & 0.9279 & 0.9292 & 0.9306 & 0.9319 \\
\hline
1.5 & 0.9332 & 0.9345 & 0.9357 & 0.9370 & 0.9382 & 0.9394 & 0.9406 & 0.9418 & 0.9429 & 0.9441 \\
\hline
1.6 & 0.9452 & 0.9463 & 0.9474 & 0.9484 & 0.9495 & 0.9505 & 0.9515 & 0.9525 & 0.9535 & 0.9545 \\
\hline
1.7 & 0.9554 & 0.9564 & 0.9573 & 0.9582 & 0.9591 & 0.9599 & 0.9608 & 0.9616 & 0.9625 & 0.9633 \\
\hline
1.8 & 0.9641 & 0.9648 & 0.9656 & 0.9664 & 0.9671 & 0.9678 & 0.9686 & 0.9693 & 0.9699 & 0.9706 \\
\hline
1.9 & 0.9713 & 0.9719 & 0.9726 & 0.9732 & 0.9738 & 0.9744 & 0.9750 & 0.9756 & 0.9761 & 0.9767 \\
\hline
2.0 & 0.9772 & 0.9778 & 0.9783 & 0.9788 & 0.9793 & 0.9798 & 0.9803 & 0.9808 & 0.9812 & 0.9817 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\end{document}