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\title{Mathématiques }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Option Economique

Mercredi 21 avril 2010 de 8h00 à 12h00

\section*{Durée : 4 heures}
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":\\
\(8 h 00-13 h 20\)

Aucun document n'est autorisé.\\
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
L'énoncé comporte 5 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

\section*{EXERCICE 1.}
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) une base de \(E\). Pour tout réel \(a\), on considère l'endomorphisme \(f_{a}\) de l'espace vectoriel \(E\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) est donnée par :

\[
M_{a}=\left(\begin{array}{ccc}
a+2 & -(2 a+1) & a \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right) .
\]

ainsi que la fonction polynômiale \(Q\) qui à tout réel \(x\) associe le réel :

\[
Q(x)=x^{3}-(a+2) x^{2}+(2 a+1) x-a .
\]

\section*{I. Recherche des valeurs propres de \(f_{a}\).}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que le réel \(\lambda\) est une valeur propre de \(f_{a}\) si et seulement si \(\lambda\) est racine du polynôme \(Q\).
  \item Vérifier que le réel \(\lambda=1\) est racine de \(Q\).
  \item En déduire les racines de \(Q\) ainsi que leur nombre en fonction de \(a\).
  \item Lorsque \(a=1\), l'endomorphisme \(f_{1}\) est-il diagonalisable?
\end{enumerate}

\section*{II. Réduction de la matrice \(M_{a}\).}
Dans toute la suite de l'exercice on suppose a différent de 1 .\\
Soit \(\mathcal{B}^{\prime}=\left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\right)\) la famille de vecteurs de \(E\) définie par:

\[
\left\{\begin{array}{l}
e_{1}^{\prime}=a^{2} e_{1}+a e_{2}+e_{3} \\
e_{2}^{\prime}=e_{1}+e_{2}+e_{3} \\
e_{3}^{\prime}=2 e_{1}+e_{2} .
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Prouver que \(\mathcal{B}^{\prime}\) est une base de \(E\).
\end{enumerate}

On note \(P_{a}\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}^{\prime}\).\\
2. Montrer que \(e_{1}^{\prime}\) est un vecteur propre de \(f_{a}\).\\
3. Vérifier que le sous-espace vectoriel \(F\) engendré par les vecteurs \(e_{2}^{\prime}\) et \(e_{3}^{\prime}\) est stable par \(f_{a}\) c'est-à-dire :

\[
f_{a}(F) \subset F .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Donner l'expression de la matrice \(T_{a}\) de l'endomorphisme \(f_{a}\) dans la nouvelle base \(\mathcal{B}^{\prime}\).
  \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
\begin{aligned}
T_{a}^{n} & =\left(\begin{array}{ccc}
a^{n} & 0 & 0 \\
0 & 1 & n \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \\
\text { où, par convention, on pose } T_{a}^{0} & =\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]

\section*{III. Etude d'une suite récurrente linéaire.}
Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite de nombres réels définie par la relation de récurrence suivante :

\[
\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=1, \quad u_{1}=-1, \quad u_{2}=0 \\
\text { Pour tout entier naturel } n: \quad u_{n+3}=4 u_{n+2}-5 u_{n+1}+2 u_{n} .
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
\left(\begin{array}{c}
u_{n+3} \\
u_{n+2} \\
u_{n+1}
\end{array}\right)=M_{2}\left(\begin{array}{c}
u_{n+2} \\
u_{n+1} \\
u_{n}
\end{array}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Etablir par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
\left(\begin{array}{c}
u_{n+2} \\
u_{n+1} \\
u_{n}
\end{array}\right)=P_{2} T_{2}^{n} P_{2}^{-1}\left(\begin{array}{c}
u_{2} \\
u_{1} \\
u_{0}
\end{array}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Donner l'expression matricielle de la matrice inverse de \(P_{2}\) puis exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
  \item La suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est-elle convergente?
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 2}
On considère l'application \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad \varphi(x)=\ln (x)-\ln (x+1)+\frac{1}{x} .
\]

I. Résolution de l'équation \(\varphi(x)=1\).

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0 par valeurs positives.
\end{enumerate}

Interpréter graphiquement cette limite.\\
2. Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

Interpréter graphiquement cette limite.\\
3. Prouver que \(\varphi\) est strictement monotone sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).\\
4. Dresser le tableau de variation de \(\varphi\) et y faire apparaître les limites de \(\varphi\) en \(0^{+}\)et \(+\infty\).\\
5. On rappelle que \(\ln (2) \simeq 0,7\) et \(\ln (3) \simeq 1,1\).

Montrer que l'équation \(\varphi(x)=1\) possède une unique solution notée \(\alpha\) et que :

\[
\frac{1}{3}<\alpha<\frac{1}{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Proposer un programme en Pascal permettant d'encadrer \(\alpha\) dans un intervalle d'amplitude \(10^{-2}\).
\end{enumerate}

\section*{II. Une variable à densité.}
Soit \(\alpha\) le réel défini à la question I.5. On considère la variable aléatoire réelle \(X\) dont une densité de probabilité est donnée par :

\[
\begin{cases}f(x)=\frac{1}{x^{2}(x+1)} & \text { si } x>\alpha \\ f(x)=0 & \text { si } x \leqslant \alpha .\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité.
  \item Montrer que \(X\) admet une espérance \(E(X)\).
  \item Démontrer que pour \(x>\alpha\) :
\end{enumerate}

\[
x f(x)=\varphi^{\prime}(x)+\frac{1}{x^{2}} .
\]

En déduire que l'espérance de \(X\) est donnée par :

\[
E(X)=\frac{1-\alpha}{\alpha} .
\]

Donner un encadrement de \(E(X)\) par deux entiers consécutifs.\\
4. La variable aléatoire réelle \(X\) admet-elle une variance?

EXERCICE 3\\
Dans cet exercice, on étudie des situations probabilistes liées à un jeu de dés à six faces.

Pour ce jeu, effectuer une partie consiste à lancer successivement deux dés équilibrés.

On note :

\begin{itemize}
  \item \(D_{1}\) le résultat du premier dé et \(D_{2}\) le résultat du deuxième dé,
  \item \(E_{1}\) l'événement: « \(D_{1}<D_{2}\) », \(E_{2}\) l'événement: « \(D_{1}=D_{2}\) » et \(E_{3}\) l'événement: \(\left\langle D_{1}\right\rangle D_{2}{ }^{-}\).\\
Lors d'une partie,
  \item si l'événement \(E_{1}\) se produit alors le joueur ne marque pas de point,
  \item si l'événement \(E_{2}\) se produit alors le joueur marque 2 points,
  \item si l'événement \(E_{3}\) se produit alors le joueur marque 1 point.
\end{itemize}

\section*{I. Etude de parties successives.}
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Le joueur joue successivement \(n\) parties.\\
Pour tout entier naturel \(i \geqslant 1\), on note:

\begin{itemize}
  \item \(X_{i}\) la variable aléatoire représentant le nombre de points marqués lors de la \(i^{\text {ème }}\) partie;
  \item \(Y_{i}\) le nombre de points marqués après \(i\) parties.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Calculer la probabilité de chacun des événements \(E_{1}, E_{2}\) et \(E_{3}\).
  \item Soit \(i \in\{1,2, \ldots, n\}\), déterminer la loi de la variable aléatoire \(X_{i}\) puis calculer son espérance et sa variance.
  \item Trouver la loi de la variable aléatoire \(Y_{1}\).
  \item Quelle est la loi de la variable aléatoire \(Y_{2}\) ?
  \item (a) Préciser l'ensemble \(Y_{3}(\Omega)\) des valeurs prises par la variable aléatoire \(Y_{3}\).\\
(b) Construire et remplir le tableau de la loi conjointe du couple \(\left(Y_{2}, Y_{3}\right)\). On justifiera précisément une valeur non nulle de ce tableau, les autres pouvant être données directement.\\
(c) En déduire la loi de la variable aléatoire \(Y_{3}\).
  \item (a) Ecrire \(Y_{n}\) en fonction des variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\). En déduire l'espérance mathématique et la variance de \(Y_{n}\).\\
(b) En moyenne, combien de parties au minimum doit faire le joueur pour obtenir plus de 10 points?
\end{enumerate}

\section*{II. Etude du temps d'attente.}
Le joueur joue maintenant jusqu'à ce qu'il dépasse un nombre de points donné. Plus précisément on note :\\
\(T_{1}\) (respectivement \(T_{2}\) ) la variable aléatoire représentant le nombre de parties effectuées par le joueur lorsque le total de ses points est supérieur ou égal à 1 (respectivement 2) pour la première fois (si cet événement se produit).

Par exemple si les points marqués par le joueur sont dans l'ordre :\\
Exemple 1:001012 \(\ldots\). alors \(T_{1}=3\) et \(T_{2}=5\).\\
Exemple 2:000212... alors \(T_{1}=4\) et \(T_{2}=4\).

\begin{enumerate}
  \item (a) Préciser l'ensemble \(T_{1}(\Omega)\) des valeurs prises par la variable aléatoire \(T_{1}\) puis, pour tout \(k\) appartenant à \(T_{1}(\Omega)\), donner la valeur de la probabilité \(P\left(T_{1}=k\right)\).\\
(b) Donner la valeur de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire \(T_{1}\).
  \item (a) Déterminer l'ensemble \(T_{2}(\Omega)\) des valeurs prises par la variable aléatoire \(T_{2}\).\\
(b) Calculer les probabilités \(P\left(T_{2}=1\right)\) et \(P\left(T_{2}=2\right)\).\\
(c) Prouver que, pour \(k \geqslant 3\), on a :
\end{enumerate}

\[
P\left(T_{2}=k\right)=\left(\frac{5}{12}\right)^{k-1} \times \frac{1}{6}+(k-1)\left(\frac{5}{12}\right)^{k-1} \times \frac{7}{12} .
\]

(d) Ce résultat est-il valable pour \(k=1\) et \(k=2\) ?\\
(e) Etablir que : \(\sum_{k=1}^{+\infty} P\left(T_{2}=k\right)=1\).\\
(f) Que peut-on en déduire pour l'événement « le joueur n'obtient jamais un score cumulé supérieur ou égal à 2 » ?\\
(g) Calculer \(E\left(T_{2}\right)\).


\end{document}