\documentclass[10pt]{article} \usepackage[french]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage[version=4]{mhchem} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{bbold} \title{Mathématiques } \author{} \date{} \begin{document} \maketitle Option Economique Mercredi 21 avril 2010 de 8h00 à 12h00 \section*{Durée : 4 heures} Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":\\ \(8 h 00-13 h 20\) Aucun document n'est autorisé.\\ Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\ L'énoncé comporte 5 pages. Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations. \section*{EXERCICE 1.} Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) une base de \(E\). Pour tout réel \(a\), on considère l'endomorphisme \(f_{a}\) de l'espace vectoriel \(E\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) est donnée par : \[ M_{a}=\left(\begin{array}{ccc} a+2 & -(2 a+1) & a \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) . \] ainsi que la fonction polynômiale \(Q\) qui à tout réel \(x\) associe le réel : \[ Q(x)=x^{3}-(a+2) x^{2}+(2 a+1) x-a . \] \section*{I. Recherche des valeurs propres de \(f_{a}\).} \begin{enumerate} \item Montrer que le réel \(\lambda\) est une valeur propre de \(f_{a}\) si et seulement si \(\lambda\) est racine du polynôme \(Q\). \item Vérifier que le réel \(\lambda=1\) est racine de \(Q\). \item En déduire les racines de \(Q\) ainsi que leur nombre en fonction de \(a\). \item Lorsque \(a=1\), l'endomorphisme \(f_{1}\) est-il diagonalisable? \end{enumerate} \section*{II. Réduction de la matrice \(M_{a}\).} Dans toute la suite de l'exercice on suppose a différent de 1 .\\ Soit \(\mathcal{B}^{\prime}=\left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\right)\) la famille de vecteurs de \(E\) définie par: \[ \left\{\begin{array}{l} e_{1}^{\prime}=a^{2} e_{1}+a e_{2}+e_{3} \\ e_{2}^{\prime}=e_{1}+e_{2}+e_{3} \\ e_{3}^{\prime}=2 e_{1}+e_{2} . \end{array}\right. \] \begin{enumerate} \item Prouver que \(\mathcal{B}^{\prime}\) est une base de \(E\). \end{enumerate} On note \(P_{a}\) la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}^{\prime}\).\\ 2. Montrer que \(e_{1}^{\prime}\) est un vecteur propre de \(f_{a}\).\\ 3. Vérifier que le sous-espace vectoriel \(F\) engendré par les vecteurs \(e_{2}^{\prime}\) et \(e_{3}^{\prime}\) est stable par \(f_{a}\) c'est-à-dire : \[ f_{a}(F) \subset F . \] \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3} \item Donner l'expression de la matrice \(T_{a}\) de l'endomorphisme \(f_{a}\) dans la nouvelle base \(\mathcal{B}^{\prime}\). \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \end{enumerate} \[ \begin{aligned} T_{a}^{n} & =\left(\begin{array}{ccc} a^{n} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ \text { où, par convention, on pose } T_{a}^{0} & =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) . \end{aligned} \] \section*{III. Etude d'une suite récurrente linéaire.} Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite de nombres réels définie par la relation de récurrence suivante : \[ \left\{\begin{array}{l} u_{0}=1, \quad u_{1}=-1, \quad u_{2}=0 \\ \text { Pour tout entier naturel } n: \quad u_{n+3}=4 u_{n+2}-5 u_{n+1}+2 u_{n} . \end{array}\right. \] \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) : \end{enumerate} \[ \left(\begin{array}{c} u_{n+3} \\ u_{n+2} \\ u_{n+1} \end{array}\right)=M_{2}\left(\begin{array}{c} u_{n+2} \\ u_{n+1} \\ u_{n} \end{array}\right) . \] \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Etablir par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \end{enumerate} \[ \left(\begin{array}{c} u_{n+2} \\ u_{n+1} \\ u_{n} \end{array}\right)=P_{2} T_{2}^{n} P_{2}^{-1}\left(\begin{array}{c} u_{2} \\ u_{1} \\ u_{0} \end{array}\right) . \] \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item Donner l'expression matricielle de la matrice inverse de \(P_{2}\) puis exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(n\). \item La suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est-elle convergente? \end{enumerate} \section*{EXERCICE 2} On considère l'application \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par : \[ \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad \varphi(x)=\ln (x)-\ln (x+1)+\frac{1}{x} . \] I. Résolution de l'équation \(\varphi(x)=1\). \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0 par valeurs positives. \end{enumerate} Interpréter graphiquement cette limite.\\ 2. Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). Interpréter graphiquement cette limite.\\ 3. Prouver que \(\varphi\) est strictement monotone sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).\\ 4. Dresser le tableau de variation de \(\varphi\) et y faire apparaître les limites de \(\varphi\) en \(0^{+}\)et \(+\infty\).\\ 5. On rappelle que \(\ln (2) \simeq 0,7\) et \(\ln (3) \simeq 1,1\). Montrer que l'équation \(\varphi(x)=1\) possède une unique solution notée \(\alpha\) et que : \[ \frac{1}{3}<\alpha<\frac{1}{2} \] \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{5} \item Proposer un programme en Pascal permettant d'encadrer \(\alpha\) dans un intervalle d'amplitude \(10^{-2}\). \end{enumerate} \section*{II. Une variable à densité.} Soit \(\alpha\) le réel défini à la question I.5. On considère la variable aléatoire réelle \(X\) dont une densité de probabilité est donnée par : \[ \begin{cases}f(x)=\frac{1}{x^{2}(x+1)} & \text { si } x>\alpha \\ f(x)=0 & \text { si } x \leqslant \alpha .\end{cases} \] \begin{enumerate} \item Vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité. \item Montrer que \(X\) admet une espérance \(E(X)\). \item Démontrer que pour \(x>\alpha\) : \end{enumerate} \[ x f(x)=\varphi^{\prime}(x)+\frac{1}{x^{2}} . \] En déduire que l'espérance de \(X\) est donnée par : \[ E(X)=\frac{1-\alpha}{\alpha} . \] Donner un encadrement de \(E(X)\) par deux entiers consécutifs.\\ 4. La variable aléatoire réelle \(X\) admet-elle une variance? EXERCICE 3\\ Dans cet exercice, on étudie des situations probabilistes liées à un jeu de dés à six faces. Pour ce jeu, effectuer une partie consiste à lancer successivement deux dés équilibrés. On note : \begin{itemize} \item \(D_{1}\) le résultat du premier dé et \(D_{2}\) le résultat du deuxième dé, \item \(E_{1}\) l'événement: « \(D_{1}