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\title{Mathématiques }

\author{}
\date{}


\DeclareUnicodeCharacter{2605}{\ifmmode\star\else{$\star$}\fi}

\begin{document}
\maketitle
Option Economique

\section*{Mercredi 20 avril 2011 de 8h00 à 12h00}
\section*{Durée : 4 heures}
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps" :\\
8h00-13h20

Aucun document n'est autorisé.\\
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
L'énoncé comporte 5 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

EXERCICE 1\\
On dit qu'une matrice \(A\) carrée d'ordre \(n\) est une matrice nilpotente s'il existe un entier naturel \(k\) non nul tel que

\[
A^{k-1} \neq 0_{n} \text { et } A^{k}=0_{n}
\]

où \(0_{n}\) représente la matrice carrée nulle d'ordre \(n\).\\
Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(n\), on dit que le couple ( \(\Delta, N\) ) est une décomposition de Dunford de \(A\) lorsque :

\[
\left\{\begin{array}{l}
\Delta \text { est une matrice diagonalisable } \\
N \text { est une matrice nilpotente } \\
\Delta N=N \Delta \text { et } A=N+\Delta
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item On pose:
\end{enumerate}

\[
A=\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad \Delta=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad N=\left(\begin{array}{ll}
0 & 2 \\
0 & 0
\end{array}\right) .
\]

Vérifier que ( \(\Delta, N\) ) est une décomposition de Dunford de \(A\).\\
Dans toute la suite de l'exercice, on pose :

\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -1 \\
-2 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) . \quad \lambda=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right) . \quad \nu=\left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) . \quad D=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item (a) Déterminer les valeurs propres de \(A\).\\
(b) La matrice \(A\) est-elle diagonalisable?
  \item On considère les matrices colonnes
\end{enumerate}

\[
X_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right), \quad X_{2}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad X_{3}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
0
\end{array}\right) .
\]

(a) Calculer les produits \(\Delta X_{1}, \Delta X_{2}\) et \(\Delta X_{3}\).\\
(b) Justifier que la matrice \(\Delta\) est diagonalisable et déterminer une matrice \(P\) inversible telle que : \(P^{-1} \Delta P=D\).\\
(c) Calculer \(P^{-1}\).\\
4. (a) Etablir que \(N\) est une matrice nilpotente.\\
(b) Vérifier que ( \(\Delta, N\) ) est une décomposition de Dunford de la matrice \(A\).\\
(c) En utilisant la formule du binôme de Newton que l'on justifiera, donner l'expression de \(A^{n}\) en fonction des puissances de \(\Delta\), de \(N\) et de \(n\).\\
(d) Etablir que : Pour tout entier naturel \(k \geqslant 1, \quad \Delta^{k} N=N\).\\
(e) Proposer une décomposition de Dunford de \(A^{n}\).

EXERCICE 2\\
On considère l'application \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}\)par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
\varphi(x)=1-x^{2} \ln (x) \quad \text { si } \quad x>0 \\
\varphi(0)=1
\end{array}\right.
\]

ainsi que la fonction numérique \(f\) des variables réelles \(x\) et \(y\) définie par :

\[
\forall(x . y) \in] 0,+\infty[\times] 0 .+\infty[, \quad f(x, y)=x y+\ln (x) \ln (y) .
\]

\section*{PARTIE I. Etude des zéros de \(\varphi\).}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), ainsi que la limite de \(\frac{\varphi(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). Interpréter graphiquement cette limite.
  \item Prouver que \(\varphi\) est continue sur \(\mathbb{R}_{+}\).
  \item Justifier la dérivabilité de \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et calculer sa fonction dérivée.
  \item Montrer que \(\varphi\) est dérivable en 0 . Donner l'allure de la représentation graphique de \(\varphi\) au voisinage du point d'abscisse 0 .
  \item Dresser le tableau de variations de \(\varphi\).
  \item On rappelle que \(\ln (2) \simeq 0.7\). Montrer l'existence d'un unique réel \(\alpha\) tel que : \(\varphi(\alpha)=0\) et justifier que : \(\sqrt{2}<\alpha<2\).
  \item Etablir la convergence de l'intégrale \(I=\int_{0}^{\alpha} \varphi(x) d x\) et vérifier que :
\end{enumerate}

\[
I=\frac{\alpha\left(6+\alpha^{2}\right)}{9} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item On considère les deux suites \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définies par :
\end{enumerate}

\[
\begin{aligned}
& a_{0}=\sqrt{2} \text { et } b_{0}=2, \\
& \forall n \geqslant 0, \quad \text { si } \varphi\left(a_{n}\right) \varphi\left(\frac{a_{n}+b_{n}}{2}\right)<0 \text { alors } a_{n+1}=a_{n} \text { et } b_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2} \\
& \forall n \geqslant 0, \quad \text { si } \varphi\left(a_{n}\right) \varphi\left(\frac{a_{n}+b_{n}}{2}\right) \geqslant 0 \text { alors } a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2} \text { et } b_{n+1}=b_{n}
\end{aligned}
\]

Ecrire un programme en Pascal calculant \(a_{7}\) et \(b_{7}\).

PARTIE II. Extrema de \(f\) sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\).\\
Rappelons que \(\alpha\) est l'unique réel vérifiant \(\varphi(\alpha)=0\).

\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\).
  \item Calculer les dérivées partielles premières et prouver que le point de coordonnées \(\left(\frac{1}{\alpha}: \frac{1}{\alpha}\right)\) est l'unique point critique de \(f\) sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\).
  \item Calculer les dérivées partielles secondes sur \(] 0,+\infty[\times] 0 .+\infty[\) et établir que pour tous réels \(x\) et \(y\) strictement positifs :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x, y)=\left(\frac{y}{x}\right)^{2}\left(1-\varphi\left(\frac{1}{y}\right)\right) \\
\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(x, y)=1+\frac{1}{x y} \\
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x, y)=\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\left(1-\varphi\left(\frac{1}{x}\right)\right)
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item La fonction \(f\) présente-t-elle un extremum local sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\) ? Si oui. en donner sa nature (maximum ou minimum).
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 3}
\section*{PARTIE I. Un jeu en ligne.}
La société Lehazard met à la disposition de ses clients un nouveau jeu en ligne dont la page d'écran affiche une grille à trois lignes et trois colonnes.\\
Après une mise initiale de 2 euros du joueur, une fonction aléatoire place au hasard successivement trois jetons ( ★ ) dans trois cases différentes. La partie est gagnée si les trois jetons sont alignés. Le gagnant empoche 10 fois sa mise, ce qui lui rapporte 18 euros à l'issue du jeu. Dans le cas contraire la mise initiale est perdue par le joueur.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 & A & B & C \\
\hline
1 & \(\star\) &  &  \\
\hline
2 & \(\star\) &  &  \\
\hline
3 &  & \(\star\) &  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On définit les événements \(H . V . D . N\) par :

\begin{itemize}
  \item \(H\) : « les trois jetons sont alignés horizontalement».
  \item \(V\) : « les trois jetons sont alignés verticalement ».
  \item \(D:\) « les trois jetons sont alignés en diagonale».
  \item \(N\) « les trois jetons ne sont pas alignés ».
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Justifier qu'il y a 84 positionnements possibles des trois jetons dans les trois cases.
  \item Déterminer les probabilités \(p(H), p(V), p(D)\) des événements \(H, V, D\).
  \item En déduire que la probabilité de l'événement \(N\) est égale à :
\end{enumerate}

\[
p(N)=\frac{19}{21} \simeq 0,9048
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item La société peut s'attendre à 10000 relances par jour de ce jeu.\\
(a) Pour chaque entier naturel \(i\) non nul, on note \(Z_{i}\) le gain de la société à la \(i^{\circ}\) relance.
\end{enumerate}

Calculer l'espérance mathématique \(E\left(Z_{i}\right)\) de \(Z_{i}\).\\
(b) Quel gain journalier \(Z\) la société peut-elle espérer?

\section*{PARTIE II. Cas de joueurs invétérés.}
\begin{enumerate}
  \item Un joueur décide de jouer 100 parties consécutives que l'on suppose indépendantes.\\
(a) Donner la loi de la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de parties gagnées.\\
(b) Indiquer l'espérance et la variance de \(X\).\\
(c) Exprimer la perte \(T\) du joueur en fonction de \(X\).
  \item Quel est le nombre minimum \(n\) de parties devrait-il jouer pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure ou égale à \(50 \%\) ? (On admettra que \(\ln \left(\frac{19}{21}\right) \simeq-0,1\) et \(\ln (2) \simeq 0,7\) ).
  \item Un autre joueur décide de jouer et de miser tant qu'une partie n'est pas gagnée. On note \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de parties jouées pour gagner la première fois.\\
(a) Donner la loi de la variable aléatoire \(Y\).\\
(b) Indiquer l'espérance et la variance de \(Y\).\\
(c) Pour tout entier naturel \(k\), montrer que la probabilité \(p_{k}\) que le joueur joue au plus \(k\) parties avant de gagner pour la première fois, est donnée par la formule :
\end{enumerate}

\[
p_{k}=1-\left(\frac{19}{21}\right)^{k}
\]

PARTIE III. Contrôle de la qualité du jeu.\\
On constate que, parfois, la fonction aléatoire est déréglée. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la base ( \(A, 1\) ), les deux autres étant placés au hasard dans les cases restantes. On note \(\Delta\) l'événement "la fonction aléatoire est déréglée" et on pose \(p(\Delta)=x\) avec \(x \in] 0.1[\).

\begin{enumerate}
  \item Calculer les probabilités conditionnelles \(p_{\Delta}(H), p_{\Delta}(V)\), et \(p_{\Delta}(D)\) des événements \(H, V, D\) sachant l'événement \(\Delta\).
  \item Utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements ( \(\Delta, \bar{\Delta}\) ) pour en déduire que la probabilité que les jetons ne soient pas alignés est égale à :
\end{enumerate}

\[
p(N)=-\frac{x}{84}+\frac{19}{21}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(G\) la variable aléatoire égale au gain réalisé par la société de jeu lors d'une partie jouée. Déterminer la valeur maximale de \(x\) pour que l'espérance de gain soit positive.
  \item On joue une partie. On constate que les jetons sont alignés. Quelle est la probabilité, en fonction de \(x\) que la fonction aléatoire ait été déréglée?
\end{enumerate}

\end{document}