\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{ECRICOME Eco 2012}
\section*{EXERCICE 1}
\(\left(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),+, \cdot\right.\).) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.\\
Deux matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) étant données, on suppose qu'il existe une matrice \(L\) appartenant à \(\mathcal{M}_{3} \mathbb{R}\) telle que :

\[
L=A L+B
\]

On définit la suite de matrices \(\left(U_{n}\right)_{n I N}\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) de la manière suivante :

\[
\left\{\begin{array}{l}
U_{0} \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}) \\
\forall n \in \mathbb{N}, U_{n+1}=A U_{n}+B
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
U_{n}=L+A^{n}\left(U_{0}-L\right)
\]

Dans la suite du problème les matrices \(A\) et \(B\) sont choisies de telle sorte que :

\[
A=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}
0 & 3 & 3 \\
-4 & 6 & 4 \\
-2 & 3 & 5
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc}
3 & -1 & -2 \\
1 & 0 & -1 \\
2 & -1 & -1
\end{array}\right)
\]

On note :

\begin{itemize}
  \item Id l'endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^{3}\);
  \item a l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est la matrice \(A\);
  \item \(b\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est la matrice \(B\);
  \item \(\operatorname{Im}(b)\) l'image de l'endomorphisme \(b\);
  \item \(\operatorname{Im}(I d-a)\) l'image de l'endomorphisme Id \(-a\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Prouver que le vecteur \(u=(x, y, z)\) appartient à l'image de \(b\) si et seulement si
\end{enumerate}

\[
-x+y+z=0
\]

puis montrer que :

\[
\operatorname{Im}(b)=\operatorname{Im}(\operatorname{Id}-a)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Montrer que la matrice \(P=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)\) peut être considérée comme la matrice de passage de la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) à une base de vecteurs propres de \(a\).
  \item Écrire la matrice \(D\) de l'endomorphisme \(a\) ainsi que la matrice \(B^{\prime}\) de l'endomorphisme \(b\) dans cette base de vecteurs propres.
  \item Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\),
\end{enumerate}

\[
A^{n}=P D^{n} P^{-1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item En écrivant convenablement \(D^{n}\) comme la somme de trois matrices diagonales judicieusement choisies, prouver l'existence de trois matrices \(E, F, G\) indépendantes de \(n\) telles que pour tout entier naturel \(n\) :
\end{enumerate}

\[
A^{n}=E+\left(\frac{1}{2}\right)^{n} F+\left(\frac{1}{3}\right)^{n} G
\]

Expliciter uniquement la matrice \(E\) sous la forme d'un tableau de nombres.\\
7. Déterminer par le calcul, une matrice \(L^{\prime}\) de la forme \(\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & p & q \\ 0 & 0 & r\end{array}\right)\) telle que :

\[
L^{\prime}=D L^{\prime}+B^{\prime}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Montrer que la matrice \(L=P L^{\prime} P^{-1}\) vérifie :
\end{enumerate}

\[
L=A L+B
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item Établir que \(E L=0\).
  \item Montrer que chacun des coefficients de la matrice \(U_{n}\) a pour limite, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), les coefficients de la matrice \(E U_{0}+L\).
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 2.}
\section*{Partie I. Étude d'une fonction \(f\).}
On considère la fonction définie sur l'ensemble des réels positifs par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x} \quad \text { si } x>0 \\
f(0)=1
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Ecrire le développement limité de \(f(x)\) l'ordre 2 , au voisinage de 0 En déduire que \(f\) est continue sur \([0,+\infty[\).
  \item Montrer que \(f\) est dérivable en 0 et donner la valeur de \(f^{\prime}(0)\).
  \item Justifier la dérivabilité de \(f\) sur l'intervalle \(] 0,+\infty[\) puis déterminer la fonction \(\varphi\) telle que :
\end{enumerate}

\[
\forall x>0 \quad f^{\prime}(x)=\frac{\varphi(x)}{x^{2}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Étudier les variations de \(\varphi\);. En déduire le tableau de variation \(f\) qui sera complété par la limite de \(f\) en \(+\infty\).
\end{enumerate}

\section*{Partie II. Étude d'une suite.}
On introduit la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par :

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*} \quad u_{n}=\int_{0}^{n} \frac{e^{-\frac{u}{n}}}{1+u} d u
\]

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul :
\end{enumerate}

\[
u_{n} \geq \frac{1}{e} \ln (n+1)
\]

Donner la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).\\
2. Prouver l'existence de l'intégrale \(\int_{0}^{1} f(x) d x\) '.\\
3. Utiliser un changement de variable affine pour montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul :

\[
0 \leq \int_{0}^{n} \frac{1}{1+u} d u-u_{n} \leq \int_{0}^{1} f(x) d x
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Donner alors un équivalent simple de \(u_{n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 3.}
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Une entreprise dispose d'un lot du \(n\) feuilles originales qu'elle a numérotées \(l, 2, \cdots, n\). Elle photocopie ces \(n\) feuilles originales et souhaite que chaque original soit agrafé avec sa copie. L'entreprise programme le photocopieur afin que chaque original soit agrafé avec sa copie. Cependant . suite à un défaut informatique, la photocopieuse a mélangé les originaux et les copies. L'entreprise décide donc de placer les \(n\) originaux et les \(n\) copies dans une boite. Une personne est alors chargée du travail suivant : elle pioche simultanément et au hasard 2 feuilles dans la boite. S'il s'agit d'un original et de sa copie, elle les agrafe et les sort de la boite. Sinon, elle repose les deux feuilles dans la, boite et elle recommence.\\
On modélise l'expérience par un espace probabilité ( \(\Omega, \mathcal{B}, \mathrm{P}\) ). Soit \(T_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de pioches qui sont nécessaires pour vider la boite lorsque celle-ci contient \(n\) originaux et \(n\) copies (soit \(2 n\) feuilles).\\
On considère l'événement \(A_{n}\) : « à l'issue de la première pioche, les deux feuilles piochées ne sont pas agrafées » et \(a_{n}\) sa probabilité c'est-à-dire que \(a_{n}=\mathrm{P}\left(A_{n}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Calculer \(a_{n}\).
  \item Étude de \(T_{2}\). On suppose dans cette question que \(n=2\), c'est-à-dire que la boite contient deux originaux et deux copies.\\
a) Montrer que pour tout entier \(k \geq 2: \mathrm{P}\left(T_{2}=k\right)=\left(1-a_{2}\right)\left(a_{2}\right)^{k-2}\).\\
b) Justifier que la variable \(S_{2}=T_{2}-1\) suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire l'espérance et la variance de \(T_{2}\) en fonction de \(a_{2}\)
  \item Étude de \(T_{3}\). On suppose dans cette question que \(n=3\), c'est-à-dire que la boite, contient trois originaux et trois copies.\\
a) Calculer \(\mathrm{P}\left(T_{3}=2\right)\) puis \(\mathrm{P}\left(T_{3}=3\right)\) en fonction de \(a_{2}\) et \(a_{3}\)\\
b) A l'aide du système complet d'événements ( \(A_{3}, \overline{A_{3}}\) ) démontrer pour tout \(k \geq 2\) que:
\end{enumerate}

\[
\mathrm{P}\left(T_{3}=k+1\right)=\left(1-a_{3}\right) \mathrm{P}\left(T_{2}=k\right)+a_{3} \mathrm{P}\left(T_{3}=k\right)
\]

c) Montrer que :

\[
k \geq 2, \quad \mathrm{P}\left(T_{3}=k\right)=\frac{\left(1-a_{2}\right)\left(1-a_{3}\right)}{a_{3}-a_{2}}\left[\left(a_{3}\right)^{k-2}-\left(a_{2}\right)^{k-2}\right] .
\]

d) Calculer \(\sum_{k=2}^{+\infty} \mathrm{P}\left(T_{3}=k\right)\).\\
e) Prouver que la variable aléatoire \(T_{3}-1\) admet une espérance et calculer \(E\left(T_{3}-1\right)\). Donner la valeur de \(E\left(T_{3}\right)\) en fonction de \(a_{2}\) et \(a_{3}\).\\
f) Établir que la variable aléatoire \(T_{3}\left(T_{3}-1\right)\) admet une espérance et donner sa valeur en fonction de \(a_{2}\) et \(a_{3}\).\\
En déduire que \(T_{3}\) admet une variance.


\end{document}