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\begin{document}
\section*{Mathématiques Option Economique}
Candidats benéficiant de le mesure "Tiers-temps": 8h00-13h20

Aucun document n'est autorisé. Aucun instrument de calcul r'est autorisé.

L'enoncé comporte 6 pages.

Les candidats sont inwites a soigner la presentation de leur copie, à mettre en awidence les principaux résultats, à respecter les motalions de l'enonce el a dommer des démonstrations completes - mais breves - de leurs affirmations.

Si au cours de l'epreuve, un candidat mepere ce qui dwi semble etre une erseur d'enonce, is le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rasions des initiatives quil est amenè à prendre.

\section*{EXERCICE 1}
On désigne par \(\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices carrées de taille 3 à coefficients réels et par \(0_{3}\) la matrice nulle de \(\mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R})\).\\
On pose \(A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -9 & 6\end{array}\right) \in \mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R})\) ainsi que le polynôme \(R\) défini par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad R(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-3
\]

Pour tout réel \(\lambda\), on pose \(X_{\lambda}=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right)\). Pour finir, on introduit l'application \(f\) définie par :

\[
\forall M \in \mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R}), \quad f(M)=A M+M A .
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(R^{\prime}\) (la dérivée de \(R\) ) admet deux racines réelles distinctes \(r_{1}, r_{2}\) avec \(r_{1}<r_{2}\) que l'on précisera.
  \item Dresser le tableau de variations de \(R\) en y ajoutant les valeurs de \(R\) en \(r_{1}\) et \(r_{2}\).
  \item Justifier que \(R\) admet trois racines \(a, b\). \(c\) avec \(0<a<r_{1}<b<r_{2}<c\). On ne cherchera pas à calculer ces racines.
  \item Soit \(\lambda\) un réel, calculer \(A X_{\lambda}\) puis démontrer que \(X_{\lambda}\) est un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\) si et seulement si \(R(\lambda)=0\).
  \item Etablir l'existence d'une matrice inversible \(P\) et d'une matrice diagonale \(D\) telles que \(A=P D P^{-1}\). Expliciter les matrices \(P\) et \(D\) en fonction des réels \(a . b, c\).
  \item Prouver que \(f\) est une application linéaire et que:
\end{enumerate}

\[
\forall M \in \mathfrak{M}_{3}(\mathbb{R}) . \quad f(M)=0_{3} \Leftrightarrow D M^{\prime}+M^{\prime} D=0_{3} .
\]

où l'on a posé \(M^{\prime}=P^{-1} M P\).\\
7. Soit \(N=\left(\begin{array}{ccc}p & q & r \\ s & t & u \\ v & w & x\end{array}\right)\). Déterminer les neuf coefficients de la matrice \(D N+N D\). Que dire de \(N\) si \(D N+N D=0_{3}\) ?\\
8. Démontrer que \(f\) est un isomorphisme.

\section*{EXERCICE 2}
On considère l'application \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*} . \quad \varphi(x)=\frac{x \ln (x)-1}{x} .
\]

ainsi que la fonction numérique \(f\) des variables réelles \(x\) et \(y\) définie par :

\[
\forall(x, y) \in] 0,+\infty[\times] 0,+\infty\left[. \quad f(x, y)=\frac{1}{x^{2}}-\frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{2}+\operatorname{cxp}\left(-\frac{1}{x}\right)\right.
\]

où exp désigne la fonction exponentielle.

\section*{I. Etude des zéros de \(\varphi\).}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0 par valcurs positives. Interpréter graphiquement cette limite.
  \item Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), ainsi que la limite de \(\frac{r(r)}{r}\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). Interpréter graphiquement cette limite.
  \item Justifier la dérivabilité de \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et déterminer sa dérivée.
  \item Dresser le tableau de variation de \(\varphi\) en faisant apparaître les limites de \(\varphi\) en \(0^{+}\)et \(+\infty\).
  \item Pronver l'existence d'un unique réel \(\alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*}\) tel que :
\end{enumerate}

\[
\varphi(\alpha)=0 .
\]

Justifier que \(\alpha \in[1 . e]\).

\section*{II. Etude d'une suite réelle.}
On considère la suite \(u\) définie par la relation de récurrence suivante :

\[
\left\{\begin{array}{l}
u_{0}=e ; \\
\forall n \in \mathbb{N} . \quad u_{n+1}=\varphi\left(u_{n}\right)+u_{n} .
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que pour tout entier \(n, u_{n}\) existe et \(u_{n}>\Omega\).
  \item Si cette suite est convergente de limite \(L\). que peut valoir \(L\) ?
  \item Prouver que la suite \(u\) est strictement croissante.
  \item La suite \(u\) est-elle convergente ?
  \item Soit \(A\) un réel. Recopier et compléter le programme suivant afin quil affiche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_{n} \geqslant A\) :
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
program ecricome2013 ;
var ın : integer ;
        u : real ;
        A : real :
    function \(\mathrm{g}(\mathrm{x}\) : real \()\) : real ;
    begin
    g :=
    end:
begin
        writeln('entrer un réel \(\mathrm{A}>0^{\prime}\) ):
        readln(A) ;
        \(\mathrm{u}:=\exp (1): \mathrm{n}:=0\);
        while ................ do
            begin
                .................;
                ..................;
            end ;
writeln( .................) :
end.
\end{verbatim}

III. Extrema de \(f\) sur \(] 0,+\infty[\times] 0,+\infty[\).

\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur l'ouvert \(] 0,+\infty[\times] 0 .+\infty[\).
  \item Calculer les dérivées partielles premières et prouver que \(f\) possède un unique point critique noté \(A\) d'abscisse \(\alpha\) et d'ordonnée \(y_{\alpha}\) à déterminer en fonction de \(\alpha\).
  \item Calculer les dérivées partielles secondes sur \(] 0 .+\infty[\times j 0 .+\infty\) et établir que
\end{enumerate}

\[
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\left(\alpha, y_{\alpha}\right)=\frac{2 \alpha+1}{\alpha^{5}} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item La fonction \(f\) présente-t-elle un extremum local en \(A\) sur l'ouvert \(] 0 .+\infty \times 0,+\infty[\) ? Si oui, en donner sa nature (maximum ou minimum).
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 3}
Soient \(n\) et \(b\) deux entiers avec \(n \geqslant 1\) et \(b \geqslant 2\). On considère une urne contenant \(n\) boules noires et \(b\) boules blanches, toutes indiscernables.\\
Un joueur A effectue des tirages successifs d'une boule sans remise dans l'urne jusquà obtenir une boule blanche.\\
Il laisse alors la place au joueur \(B\) qui effectue des tirages successifs d'une boule avec remise daus l'urne jusqu'à obtenir une boule blanche.\\
On note \(X\) la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules noires tirées par A avant de tirer une boule blanche et on appelle \(Y\) la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules noires tirées par \(B\) avant de tirer une boule blanche (s'il ne reste plus de boule noire, on a donc \(Y^{-}=0\) ).\\
Par exemple, si \(n=3\) et \(b=7\) et que les tirages successifs ont donné une boule : « noire, blanche noire, noire, noire, noire, blanche» alors:

\begin{itemize}
  \item A a effectué deux tirages, il a retiré une boule noire puis une boule blanche de l'urne :
  \item l'urne contient maintenant 8 boules dont deux noires et six blanches :
  \item B a effectué ensuite cinq tirages dans cette urne, il a pioché 4 boules noires qu'il a reposé dans l'urne après chaque tirage puis il a pioché une boule blanche :
  \item \(Y\) vaut 1 et \(Y\) vaut 4.
\end{itemize}

\section*{I. Etude d'un cas particulier \(b=n=2\).}
Pour ce cas particulier on pourra s'aider d'un arbre pondéré.\\
On suppose donc ici que l'urne contient initialement 2 boules blanches et 2 boules noires.

\begin{enumerate}
  \item Donner les probabilités des événements : \([X=0] .[X=1] .[X=2]\).
  \item En déduire l'espérance et la variance de \(X\).
  \item Montrer que la probabilité de l'événement \([Y=0]\) est donnée par :
\end{enumerate}

\[
P([Y=0])=\frac{1}{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Pour tout entier i naturel non nul, déterminer les probabilités suivantes :
\end{enumerate}

\[
P([X=0] \cap[Y=i]), \quad P([X=1] \cap[Y=i]), \quad P([X=2] \cap[Y=i]) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item En déduire la loi de \(Y\). Uniquement à l'aide de l'expression de \(P Y=1\) ) en fonction de \(i\). vérifier que:
\end{enumerate}

\[
\sum_{i=0}^{+\infty} P([Y=i])=1
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Montrer que \(Y\) admet une espérance et la calculer.
\end{enumerate}

\section*{II. Retour au cas général.}
\begin{enumerate}
  \item Pour tout \(k \in\{0,1 \ldots n\}\), calculer la probabilité \(P([X=k)\) puis vérifier que :
\end{enumerate}

\[
P([X=k])=\frac{\binom{n-k+b-1}{b-1}}{\binom{n+b}{b}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Utiliser la question qui précède pour justifier que :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=0}^{n}\binom{k+b-1}{b-1}=\binom{n+b}{b} .
\]

Par conséquent, on vient de démontrer la formule suivante:

\[
(\mathcal{S}): \forall N \in \mathbb{N}, \quad \forall a \in \mathbb{N}, \quad \sum_{k=0}^{N}\binom{k+a}{a}=\binom{N-a+1}{a-1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soient \(k \geqslant 1 . N \geqslant 1\) et \(a \in \mathbb{N}\). Comparer \(k\binom{k+a}{a}\) et \((a-1)\binom{k+a}{a+1}\) puis justifier que :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=0}^{N} k\binom{k+a}{a}=(a+1) \sum_{k=0}^{N-1}\binom{k+a+1}{a+1} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item A l'aide des questions précédentes, montrer que l'espérance de la variable \(n-X\) est donnée par:
\end{enumerate}

\[
E(n-X)=\frac{b n}{b+1}
\]

En déduire l'espérance \(E(X)\) de \(X\).\\
5. Pour tout \(k\) de \(X(\Omega)\), et pour tout entier \(i\) non nul, déterminer la probabilité suivante :

\[
P([X=k] \cap[Y=i]) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Pour tout \(k\) de \(X(\Omega)\), et pour tout entier \(i\), non nul, justifier que la série \(\sum_{i \geqslant 1} i\left(\frac{n-k}{n+b-k-1}\right)^{i-1}\) est convergente et déterminer sa somune.
  \item Montrer que \(Y\) admet une espérance et vérifier que :
\end{enumerate}

\[
E(Y)=\frac{b n}{b^{2}-1} .
\]


\end{document}