\documentclass[10pt]{article}
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\title{ECRICOME \\
 VISER PLUS HAUT }

\author{« FACE, PILE, FACE, FACE, FACE, PILE »}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
CONCOURS D'ADMISSION 2014

\section*{2 \\
 Mathématiques \\
 Option Economique}
\section*{Mercredi 16 avril 2014 de 8h00 à 12h00}
\section*{Durée : 4 heures}
Candidats bénéficiant de la mesure «Tiers-temps » :\\
8h00-13h20

Aucun document n'est autorisé.\\
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
L'énoncé comporte 6 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

\section*{EXERCICE 1}
Soit \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) est :

\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & -2 & -1
\end{array}\right) .
\]

On considère les vecteurs \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^{3}\) définis par :

\[
u=(0,1,-2) \quad \text { et } \quad v=(0,1,-1) .
\]

On note \(\operatorname{ker}(f)\) le noyau de \(f\) et \(\operatorname{Im}(f)\) son image.\\
Si \(\lambda\) est une valeur propre de \(f\), on désigne par \(E_{\lambda}(f)\) l'espace propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\).

\section*{PARTIE I : Réduction de l'endomorphisme \(f\).}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer une base de \(\operatorname{ker}(f)\) et une base de \(\operatorname{Im}(f)\).
  \item Justifier que \(f\) n'est pas bijectif. En déduire, sans le moindre calcul, une valeur propre de \(f\).
  \item Prouver que \(u\) et \(v\) sont deux vecteurs propres de \(f\).
\end{enumerate}

Préciser la valeur propre \(\lambda\) (respectivement \(\mu\) ) associée à \(u\) (respectivement à \(v\) ).\\
Donner la dimension de l'espace propre \(E_{\lambda}(f)\) (respectivement \(E_{\mu}(f)\) ).\\
4. L'endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?\\
5. Rechercher tous les vecteurs \(t=(x, y, z)\) de \(\mathbb{R}^{3}\) vérifiant l'équation :

\[
f(t)=t+v .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Déterminer un vecteur \(w\) de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la troisième coordonnée (dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) ) est nulle, tel que la famille \(C=(u . v . w)\) soit une base de \(\mathbb{R}^{3}\) et que la matrice de \(f\) dans la base \(C\) soit la matrice
\end{enumerate}

\[
T=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]

\section*{PARTIE II : Résolution d'une équation.}
Dans les questions 1,2 et 3 de cette partie, on suppose qu'il existe un endomorphisme \(g\) de \(\mathbb{R}^{3}\) vérifiant :

\[
g \circ g=f .
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que :
\end{enumerate}

\[
f \circ g=g \circ f .
\]

En déduire que :

\[
f(g(u))=0 \quad \text { et } \quad f(g(v))=g(v) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Justifier qu'il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(g(u)=a u\) et \(g(v)=b v\).
  \item On note \(N\) la matrice de \(g\) dans la base \(C=(u, v, w)\) définie à la question\\
I.6. Justifier que :
\end{enumerate}

\[
N=\left(\begin{array}{lll}
a & 0 & c \\
0 & b & d \\
0 & 0 & e
\end{array}\right)
\]

où \(a\) et \(b\) sont les deux réels définis à la question précédente (II.2) et \(c, d, e\) des réels.\\
4. Existe-t-il des endomorphismes \(g\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tels que \(g \circ g=f\) ? Indication : utiliser les matrices de \(f\) et \(g\) dans la base \(C=(u, v, w)\) définie à la question I.6.

\section*{EXERCICE 2}
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) par :

\[
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
1 & \text { si } x=0 \\
\frac{x}{\ln (1+x)} & \text { si } x \in] 0,+\infty[
\end{array} .\right.
\]

ainsi que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :

\[
u_{0}=e \quad \text { et } \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \item Déterminer le signe de \(f\) sur l'intervalle \([0,+\infty[\). En déduire que, pour tout entier naturel \(n, u_{n}\) existe.
  \item Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui, pour une valeur \(N\) fournie par l'utilisateur, calcule et affiche \(u_{N}\).
  \item Montrer que \(f\) est continue sur \([0,+\infty[\).
  \item Etablir que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(] 0,+\infty[\).
  \item Donner le développement limité à l'ordre de 2 au voisinage de 0 de
\end{enumerate}

\[
\ln (1+x)-\frac{x}{1+x}
\]

puis déterminer un équivalent de \(f^{\prime}(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0 .\\
6. Prouver que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \([0,+\infty[\).\\
7. Etablir que :

\[
\forall x \geqslant e-1, \quad f(x) \leqslant x \quad \text { et } \quad(x+1) \ln (x+1) \geqslant x+1 .
\]

En déduire que :

\[
\forall x \geqslant e-1, \quad f^{\prime}(x) \geqslant 0 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Démontrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N} . \quad \epsilon-1 \leqslant u_{n} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item Etablir que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et préciser la valeur de sa limite \(L\).
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 3}
Soit \(p\) un réel appartenant à l'intervalle ouvert \(] 0.1[\). on note \(q=1-p\).\\
On dispose dans tout l'exercice d'une même pièce dont la probabilité d'obtenir PILE vaut \(p\).

\section*{PARTIE I : Etude d'une première expérience.}
On procède à l'expérience suivante \(\mathcal{E}\) : « On effectue une succession illimitée de lancers de la pièce».

On note :

\begin{itemize}
  \item pour tout entier naturel non nul \(n, X_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de PILE obtenus lors des \(n\) premiers lancers de la pièce;
  \item pour tout entier naturel non nul \(j, F_{j}\) l'événement : « la pièce donne FACE lors du j-ième lancer »;
  \item \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de FACE obtenus avant l'apparition du second PILE.
\end{itemize}

Par exemple, si les lancers ont donné dans cet ordre :

alors \(Y=4\).\\
On admet que les variables aléatoires \(X_{n}\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)\) et \(Y\) sont définies sur un même espace probabilisé modélisant l'expérience \(\mathcal{E}\).

\begin{enumerate}
  \item Simulation informatique.\\
(a) Ecrire une fonction en Turbo-Pascal d'en-tête :
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
function LANCER ( p : real) : integer ;
\end{verbatim}

qui crée un nombre aléatoire dans l'intervalle [ 0,1 ] et renvoie 1 si ce nombre aléatoire est strictement inférieur à \(p\) et 0 sinon.\\
(b) Ecrire une fonction en Turbo-Pascal d'en-tête :

\begin{verbatim}
function PREMIER_PILE ( p : real) : integer ;
\end{verbatim}

qui simule autant de lancers de la pièce que nécessaire jusqu'à l'obtention du premier pile et renvoie le nombre de lancers effectués. Indication : si on souhaite, on pourra utiliser la fonction LANCER en la répétant convenablement.\\
(c) Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui demande un réel \(p\) à l'utilisateur, puis qui simule autant de lancers de la pièce que nécessaire jusqu'à l'obtention du second pile et affiche le nombre de faces obtenus en tout. Indication : on pourra utiliser la fonction PREMIER\_PILE en la répétant convenablement.\\
2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. Donner la loi de \(X_{n}\). Préciser la valeur de son espérance \(E\left(X_{n}\right)\) et de sa variance \(V\left(X_{n}\right)\).\\
3. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire \(Y\).\\
4. Donner la valeur des probabilités :

\[
P(Y=0), \quad P(Y=1) \quad \text { et } \quad P(Y=2) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Soit \(n\) un entier naturel. Justifier que les événements :
\end{enumerate}

\[
(Y=n) \quad \text { et } \quad\left(X_{n+1}=1\right) \cap \overline{F_{n+2}}
\]

sont égaux.\\
6. Prouver que :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad P(Y=n)=(n+1) p^{2} q^{n} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Vérifier par le calcul que :
\end{enumerate}

\[
\sum_{n=0}^{+\infty} P(Y=n)=1 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Démontrer que la variable aléatoire \(Y\) possède une espérance \(E(Y)\) et donner sa valeur.
  \item Soit \(k \in \mathbb{N}^{*}\). On note \(Y_{k}\) la variable aléatoire égale au nombre de FACE obtenus avant l'apparition du \(k\)-ième PILE. En particulier, on a \(Y_{2}=Y\).\\
En généralisant la méthode utilisée dans les questions précédentes, déterminer la loi de \(Y_{k}\).
\end{enumerate}

\section*{PARTIE II : Etude d'une seconde expérience.}
On procède à l'expérience suivante :\\
\(\mathcal{F}: \ll\) Deux joueurs se relaient pour effectuer des lancers successifs de la pièce pendant la pause déjeuner.\\
Le joueur 1 arrive à 12h (considéré comme l'instant 0) et joue jusqu'à l'arrivée du joueur 2.

Le joueur 2 arrive au hasard entre 12h et 13h puis joue jusqu'à 13h exactement (qui est considéré comme l'instant 1). »\\
On note :

\begin{itemize}
  \item \(R\) la variable aléatoire égale à la durée (en heure) du jeu pour le joueur 1 ;
  \item \(S\) la variable aléatoire égale à la durée (en heure) du jeu pour le joueur 2;
  \item \(T\) la variable aléatoire égale à la durée (en heure) de jeu effectuée par le joueur ayant joué le plus longtemps c'est-à-dire que :
\end{itemize}

\[
T=\max (R, S) .
\]

Pour toute variable aléatoire \(X\), on note \(F_{X}\) la fonction de répartition de \(X\). On admet que \(R\) et \(S\) sont deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé muni d'une probabilité \(P\) modélisant l'expérience \(\mathcal{F}\). En outre, on suppose que :

\begin{displayquote}
\(R\) suit la loi uniforme sur \([0,1]\) et que \(S=1-R\).
\end{displayquote}

(cette dernière relation traduisant que le temps total consacré au jeu par le joueur 1 et le joueur 2 est exactement d'une heure).

\begin{enumerate}
  \item Expliciter la fonction \(F_{R}\) puis la fonction \(F_{S}\). Reconnaitre alors la loi suivie par la variable aléatoire \(S\).
  \item Pour tout réel \(t\), prouver que :
\end{enumerate}

\[
P(T \leqslant t)=P((R \leqslant t) \cap(R \geqslant 1-t)) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Déterminer, pour \(t \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]\), l'expression de \(F_{T}(t)\) en fonction de \(t\).
  \item Justifier que \(T\) suit la loi uniforme sur \(\left[\frac{1}{2}, 1\right]\).
  \item En déduire que \(T\) admet une espérance \(E(T)\) et une variance \(V(T)\) que l'on précisera.
\end{enumerate}

\end{document}