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\DeclareUnicodeCharacter{2605}{\ifmmode\star\else{$\star$}\fi}

\begin{document}
prepa\\
Mathématiques\\
Option Économique

\section*{Mercredi 20 avril 2016 de 8h00 à 12h00}
Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20

L'énoncé comporte 5 pages.

\section*{CONSIGNES}
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.\\
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.\\
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.\\
Ce document est la propriété d'ECRICOME, vous devez le restituer aux examinateurs à la fin de la session ou le laisser sur table selon la consigne donnée dans votre centre d'écrits.

\section*{EXERCICE 1}
\section*{Partie A}
Pour tout couple de réels \((x, y)\), on définit la matrice \(M(x, y)\) par :

\[
M(x, y)=\left(\begin{array}{ccc}
3 x & -2 x+2 y & 2 x-y \\
-x-y & 4 x-3 y & -2 x+y \\
-2 y & 4 x-4 y & -x+y
\end{array}\right)
\]

On appelle \(E\) l'ensemble des matrices \(M(x, y)\) où \(x\) et \(y\) décrivent \(\mathbb{R}\) :

\[
E=\left\{M(x, y), \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right\} .
\]

On note \(A=M(1,0)\) et \(B=M(0,1)\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\). En déterminer une base et donner sa dimension.
  \item Montrer que 1,2 et 3 sont valeurs propres de \(A\) et déterminer les espaces propres associés. \(A\) est-elle diagonalisable?
  \item Déterminer une matrice inversible \(P\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) dont la première ligne est ( \(\begin{array}{lll}1 & -2 & 1\end{array}\) ), et telle que :
\end{enumerate}

\[
A=P D_{A} P^{-1} \quad \text { où } \quad D_{A}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Déterminer \(P^{-1}\) (faire figurer le détail des calculs sur la copie).
  \item En notant \(X_{1}, X_{2}\) et \(X_{3}\) les trois vecteurs colonnes formant la matrice \(P\), calculer \(B X_{1}, B X_{2}\) et \(B X_{3}\). En déduire l'existence d'une matrice diagonale \(D_{B}\) que l'on explicitera telle que :
\end{enumerate}

\[
B=P D_{B} P^{-1} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item En déduire que pour tout \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\), il existe une matrice diagonale \(D(x, y)\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) telle que :
\end{enumerate}

\[
M(x, y)=P D(x, y) P^{-1} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item En déduire une condition nécessaire et suffisante sur ( \(x, y\) ) pour que \(M(x, y)\) soit inversible.
  \item Montrer que \(B^{2}\) est un élément de \(E\). La matrice \(A^{2}\) est-elle aussi un élément de \(E\) ?
\end{enumerate}

\section*{Partie B}
On souhaite dans cette partie étudier les suites \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définies par les conditions initiales \(a_{0}=1\), \(b_{0}=0, c_{0}=0\) et les relations de récurrence suivantes:

\[
\left\{\begin{array}{l}
a_{n+1}=3 a_{n}+4 b_{n}-c_{n} \\
b_{n+1}=-4 a_{n}-5 b_{n}+c_{n} \\
c_{n+1}=-6 a_{n}-8 b_{n}+2 c_{n}
\end{array}\right.
\]

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(X_{n}=\left(\begin{array}{c}a_{n} \\ b_{n} \\ c_{n}\end{array}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Que vaut \(X_{0}\) ?
  \item Déterminer une matrice \(C\) telle que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on ait :
\end{enumerate}

\[
X_{n+1}=C X_{n} .
\]

Déterminer ensuite deux réels \(x\) et \(y\) tels que \(C=M(x, y)\).\\
3. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}, X_{n}=C^{n} X_{0}\).\\
4. À l'aide des résultats de la partie A , exprimer \(a_{n}, b_{n}\) et \(c_{n}\) en fonction de \(n\).

\section*{EXERCICE 2}
\begin{enumerate}
  \item Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on définit la fonction \(g_{n}:[0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}\) par :
\end{enumerate}

\[
g_{n}(x)=\frac{(\ln (1+x))^{n}}{(1+x)^{2}}
\]

(a) Étudier les variations de la fonction \(g_{0}\), définie sur \(\left[0,+\infty\left[\right.\right.\) par : \(g_{0}(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}\).

Préciser la limite de \(g_{0}\) en \(+\infty\), donner l'équation de la tangente en 0 , et donner l'allure de la courbe représentative de \(g_{0}\).\\
(b) Pour \(n \geqslant 1\), justifier que \(g_{n}\) est dérivable sur \([0,+\infty[\) et montrer que :

\[
\forall x \in\left[0,+\infty\left[, \quad g_{n}^{\prime}(x) \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad n \geqslant 2 \ln (1+x) .\right.\right.
\]

En déduire les variations de la fonction \(g_{n}\) lorsque \(n \geqslant 1\).\\
Calculer soigneusement \(\lim _{x \rightarrow+\infty} g_{n}(x)\).\\
(c) Montrer que, pour \(n \geqslant 1, g_{n}\) admet un maximum sur \([0,+\infty[\) qui vaut :

\[
M_{n}=\left(\frac{n}{2 e}\right)^{n}
\]

et déterminer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} M_{n}\).\\
(d) Montrer enfin que pour tout \(n \geqslant 1\) :

\[
g_{n}(x)=\underset{x \rightarrow+\infty}{o}\left(\frac{1}{x^{3 / 2}}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\end{enumerate}

\[
I_{n}=\int_{0}^{+\infty} g_{n}(t) d t
\]

(a) Montrer que l'intégrale \(I_{0}\) est convergente et la calculer.\\
(b) Montrer que pour tout entier \(n \geqslant 1\), l'intégrale \(I_{n}\) est convergente.\\
(c) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, I_{n+1}=(n+1) I_{n}
\]

(d) En déduire que :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, I_{n}=n!.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on définit la fonction \(f_{n}\) par :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbb{R}, f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & \text { si } x<0 \\
\frac{1}{n!} g_{n}(x) & \text { si } x \geqslant 0
\end{array}\right.
\]

(a) Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}, f_{n}\) est une densité de probabilité.

On considère à présent, pour tout \(n \in \mathbb{N}, X_{n}\) une variable aléatoire réelle admettant \(f_{n}\) pour densité. On notera \(F_{n}\) la fonction de répartition de \(X_{n}\).\\
(b) La variable aléatoire \(X_{n}\) admet-elle une espérance?\\
(c) Que vaut \(F_{n}(x)\) pour \(x<0\) et \(n \in \mathbb{N}\) ?\\
(d) Calculer \(F_{0}(x)\) pour \(x \geqslant 0\).\\
(e) Soit \(x \geqslant 0\) et \(k \in \mathbb{N}^{*}\). Montrer que :

\[
F_{k}(x)-F_{k-1}(x)=-\frac{1}{k!} \frac{(\ln (1+x))^{k}}{1+x}
\]

(f) En déduire une expression de \(F_{n}(x)\) pour \(x \geqslant 0\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\) faisant intervenir une somme (on ne cherchera pas à calculer cette somme).

\section*{ECRICOME}
(g) Pour \(x \in \mathbb{R}\) fixé, déterminer la limite de \(F_{n}(x)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).\\
(h) La suite de variables aléatoires \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge-t-elle en loi ?\\
4. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on note \(Y_{n}=\ln \left(1+X_{n}\right)\).\\
(a) Justifier que \(Y_{n}\) est bien définie. Quelles sont les valeurs prises par \(Y_{n}\) ?\\
(b) Justifier que \(Y_{n}\) admet une espérance et la calculer.\\
(c) Justifier que \(Y_{n}\) admet une variance et la calculer.\\
(d) On note \(H_{n}\) la fonction de répartition de \(Y_{n}\). Montrer que :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, H_{n}(x)=F_{n}\left(e^{x}-1\right) .
\]

(e) Montrer que \(Y_{n}\) est une variable aléatoire à densité et donner une densité de \(Y_{n}\).\\
(f) Reconnaître la loi de \(Y_{0}\). À l'aide de ce qui précède, déterminer le moment d'ordre \(k\) de \(Y_{0}\) pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\).

\section*{EXERCICE 3}
Dans tout l'exercice, \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé et à valeurs dans \(\mathbb{N}\). On dit que les deux variables \(X\) et \(Y\) sont échangeables si :

\[
\forall(i, j) \in \mathbb{N}^{2}, \quad P([X=i] \cap[Y=j])=P([X=j] \cap[Y=i])
\]

\section*{Résultats préliminaires}
\begin{enumerate}
  \item On suppose que \(X\) et \(Y\) sont deux variables indépendantes et de même loi.
\end{enumerate}

Montrer que \(X\) et \(Y\) sont échangeables.\\
2. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont échangeables. Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que :

\[
\forall i \in \mathbb{N}, \quad P(X=i)=P(Y=i)
\]

\section*{Étude d'un exemple}
Soient \(n, b\) et \(c\) trois entiers strictement positifs.\\
Une urne contient initialement \(n\) boules noires et \(b\) boules blanches. On effectue l'expérience suivante, en distinguant trois variantes.

\begin{itemize}
  \item On pioche une boule dans l'urne.
\end{itemize}

On définit \(X\) la variable aléatoire qui vaut 1 si cette boule est noire et 2 si elle est blanche.

\begin{itemize}
  \item On replace la boule dans l'urne et :
\end{itemize}

\begin{itemize}
  \item Variante 1 : on ajoute dans l'urne \(c\) boules de la même couleur que la boule qui vient d'être piochée.
  \item Variante 2 : on ajoute dans l'urne \(c\) boules de la couleur opposée à celle de la boule qui vient d'être piochée.
\end{itemize}

★ Variante 3 : on n'ajoute pas de boule supplémentaire dans l'urne.

\begin{itemize}
  \item On pioche à nouveau une boule dans l'urne.
\end{itemize}

On définit \(Y\) la variable aléatoire qui vaut 1 si cette seconde boule piochée est noire et 2 si elle est blanche.\\
3. (a) Compléter la fonction Scilab suivante, qui simule le tirage d'une boule dans une urne contenant \(b\) boules blanches et \(n\) boules noires et qui retourne 1 si la boule tirée est noire, et 2 si la boule tirée est blanche.

\begin{verbatim}
function res = tirage( b , n )
    r = rand()
    if ........... then
        res = 2
    else
        res = 1
    end
endfunction
\end{verbatim}

(b) Compléter la fonction suivante, qui effectue l'expérience étudiée avec une urne contenant initialement \(b\) boules blanches, \(n\) boules noires et qui ajoute éventuellement \(c\) boules après le premier tirage, selon le choix de la variante dont le numéro est variante.\\
Les paramètres de sortie sont :

\begin{itemize}
  \item x : une simulation de la variable aléatoire \(X\)
  \item y : une simulation de la variable aléatoire \(Y\)
\end{itemize}

\begin{verbatim}
function [ x , y ] = experience ( b , n , c , variante )
    x = tirage ( b , n )
    if variante == 1 then
        if x == 1 then
            ............
        else
            .... . . . . . . .
        end
    else if variante == 2 then
        ............
        ............
        ............
        ............
        ............
    end
    y = tirage ( b , n )
endfunction
\end{verbatim}

(c) Compléter la fonction suivante, qui simule l'expérience \(N\) fois (avec \(N \in \mathbb{N}^{*}\) ), et qui estime la loi de \(X\), la loi de \(Y\) et la loi du couple ( \(X, Y\) ).\\
Les paramètres de sortie sont :

\begin{itemize}
  \item loiX : un tableau unidimensionnel à deux éléments qui estime \([\mathrm{P}(\mathrm{X}=1), \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)]\)
  \item loiY : un tableau unidimensionnel à deux éléments qui estime \([\mathrm{P}(\mathrm{Y}=1), \mathrm{P}(\mathrm{Y}=2)]\)
  \item loiXY : un tableau bidimensionnel à deux lignes et deux colonnes qui estime :
\end{itemize}

\[
\left[\begin{array}{ll}
P([X=1] \cap[Y=1]) & P([X=1] \cap[Y=2]) \\
P([X=2] \cap[Y=1]) & P([X=2] \cap[Y=2])
\end{array}\right]
\]

\begin{verbatim}
function [ loiX, loiY , loiXY ] = estimation(b,n,c,variante,N)
    loiX = [ 0 , 0 ]
    loiY = [ 0 , 0 ]
    loiXY = [ 0 , 0 ; 0 , 0 ]
    for k = 1 : N
        [x , y] = experience( b , n , c , variante )
        loiX(x) = loiX(x) + 1
        ...........
        ...........
    end
    loiX = loiX / N
    loiY = loiY / N
    loiXY = loiXY / N
endfunction
\end{verbatim}

(d) On exécute notre fonction précédente avec \(b=1, n=2, c=1, N=10000\) et dans chacune des variantes. On obtient :

\begin{verbatim}
-->[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,1,10000)
    LoiXY =
        0.49837 0.16785
        0.16697 0.16681
    LoiY =
        0.66534 0.33466
    LoiX =
        0.66622 0.33378
-->[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,2,10000)
    LoiXY =
        0.33258 0.33286
        0.25031 0.08425
    LoiY =
        0.58289 0.41711
    LoiX =
        0.66544 0.33456
-->[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,3,10000)
    LoiXY =
        0.44466 0.22098
        0.22312 0.11124
    LoiY =
        0.66778 0.33222
    LoiX =
        0.66564 0.33436
\end{verbatim}

En étudiant ces résultats, émettre des conjectures quant à l'indépendance et l'échangeabilité de \(X\) et \(Y\) dans chacune des variantes.\\
On donne les valeurs numériques approchées suivantes :

\[
\begin{aligned}
& 0.33 \times 0.33 \simeq 0.11 \\
& 0.33 \times 0.41 \simeq 0.14 \\
& 0.33 \times 0.58 \simeq 0.19 \\
& 0.33 \times 0.66 \simeq 0.22 \\
& 0.41 \times 0.66 \simeq 0.27 \\
& 0.58 \times 0.66 \simeq 0.38 \\
& 0.66 \times 0.66 \simeq 0.44
\end{aligned}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item On se place dans cette question dans le cadre de la variante 1.\\
(a) Donner la loi de \(X\).\\
(b) Déterminer la loi du couple \((X, Y)\).\\
(c) Déterminer la loi de \(Y\).\\
(d) Montrer que \(X\) et \(Y\) sont échangeables mais ne sont pas indépendantes.
\end{enumerate}

\end{document}