\documentclass[10pt]{article}
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\author{Durée : 4 heures\\
Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{Ccricome}
\section*{Mathématiques}
\section*{Option Économique}
\section*{Mercredi 15 avril 2020 de 8h00 à 12h00}
L'énoncé comporte 5 pages.

\section*{CONSIGNES}
Tous les feuillets doivent être identifiables et paginés par le candidat.\\
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.\\
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.\\
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.\\
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

\section*{@cricome}
\section*{EXERCICE 1}
Dans cet exercice, on désigne par \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices réelles carrées d'ordre 3 , et on note \(I_{3}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).\\
Soit \(a\) un réel; on pose \(M=\left(\begin{array}{ccc}2 & a-1 & -1 \\ 1-a & a & a-1 \\ 1 & a-1 & 0\end{array}\right)\).

\section*{Partie A : Etude du cas où \(a=1\).}
Dans toute cette partie, on suppose que \(a=1\).

\begin{enumerate}
  \item Expliciter la matrice \(M\), puis calculer \(\left(M-I_{3}\right)^{2}\).
  \item En déduire l'unique valeur propre possible de \(M\).
  \item La matrice \(M\) est-elle inversible ? La matrice \(M\) est-elle diagonalisable?
\end{enumerate}

\section*{Partie B : Étude du cas où \(a=0\).}
Dans cette partie, on suppose que \(a=0\).\\
4. Démontrer que 1 est une valeur propre de \(M\), et donner une base et la dimension du sous-espace propre associé.\\
5. Démontrer que \(M\) n'est pas inversible.\\
6. En utilisant les deux questions précédentes, déterminer l'ensemble des valeurs propres de \(M\), et la dimension des sous-espaces propres associés. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable?

\section*{Partie C : Étude du cas où \(a\) est différent de 0 et de 1.}
Dans cette partie, on suppose que \(a\) est différent de 0 et de 1 .\\
On pose \(E=\mathbb{R}^{3}\), et \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) la base canonique de \(E\).\\
Soit \(f\) l'endomorphisme de \(E\) dont la matrice représentative dans la base \(\mathcal{B}\) est la matrice \(M\).\\
Soit \(u=(1,1,1), v=(1,0,1)\) et \(w=(1,1,0)\).\\
7. Démontrer que la famille \(\mathcal{B}^{\prime}=(u, v, w)\) est une base de \(E\).\\
8. Calculer \(f(u), f(v)\).\\
9. Calculer \(f(w)\) et trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(w)=\alpha v+\beta w\).\\
10. Déterminer la matrice représentative de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}^{\prime}\), que l'on notera \(T\).\\
11. En déduire l'ensemble des valeurs propres de \(M\), et la dimension des sous-espaces propres associés. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

\section*{Cócricome}
\section*{EXERCICE 2}
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on définit la fonction \(f_{n}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\)par :

\[
\forall x \geqslant 0, f_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{t^{2 n}-1}{t+1} d t .
\]

\section*{Partie A: Étude de la fonction \(f_{n}\).}
Dans cette partie, on fixe un entier naturel \(n\) non nul.

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que la fonction \(f_{n}\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\), et que :
\end{enumerate}

\[
\forall x \geqslant 0, f_{n}^{\prime}(x)=\frac{x^{2 n}-1}{x+1} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Étudier les variations de \(f_{n}\).
  \item Démontrer que \(f_{n}\) est de classe \(C^{2}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\), et calculer sa dérivée seconde.
\end{enumerate}

En déduire que \(f_{n}\) est convexe sur \(\mathbb{R}_{+}\).\\
4.(a) Démontrer que :

\[
\forall t \geqslant 1, t^{2 n}-1 \geqslant n\left(t^{2}-1\right) .
\]

(b) Montrer alors que :

\[
\forall x \geqslant 1, f_{n}(x) \geqslant f_{n}(1)+\frac{n}{2}(x-1)^{2} .
\]

(c) En déduire la limite de \(f_{n}(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).\\
5. Calculer \(f_{n}(0)\), puis démontrer que \(f_{n}(1)<0\).\\
6. Démontrer que l'équation \(f_{n}(x)=0\) admet une unique solution strictement positive, et que cette solution est strictement supérieure à 1 .\\
On note \(x_{n}\) cette solution.

\section*{Partie B : Étude d'une suite implicite.}
On étudie dans cette partie le comportement de la suite ( \(x_{n}\) ), où pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(x_{n}\) est l'unique solution strictement positive de l'équation : \(f_{n}(x)=0\).\\
On admettra que :

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, x_{n} \geqslant \frac{2 n+2}{2 n+1} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Soit \(x \in \mathbb{R}_{+}\). Démontrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, f_{n+1}(x)-f_{n}(x)=x^{2 n+1}\left(\frac{x}{2 n+2}-\frac{1}{2 n+1}\right) .
\]

8.(a) Montrer que: \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \forall x \geqslant \frac{2 n+2}{2 n+1}, f_{n+1}(x) \geqslant f_{n}(x)\).\\
(b) En déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, f_{n+1}\left(x_{n}\right) \geqslant 0\).\\
(c) Montrer alors que la suite ( \(x_{n}\) ) est décroissante, puis qu'elle est convergente.\\
9.(a) Démontrer que pour tout entier \(n \geqslant 1:-\ln (2) \leqslant f_{n}(1) \leqslant 0\).\\
(b) À l'aide de l'inégalité démontrée à la question 4(b) de la partie \(A\), montrer alors que :

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, 0 \leqslant x_{n}-1 \leqslant \sqrt{\frac{2 \ln (2)}{n}} .
\]

Quelle est la limite de \(x_{n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) ?

\section*{@cricome}
\section*{Partie C : Étude d'une fonction de deux variables.}
Dans cette partie, on fixe à nouveau un entier naturel \(n\) non nul.\\
L'objectif de cette partie est d'étudier la fonction \(G_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}\) par :

\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}, G_{n}(x, y)=f_{n}(x) \times f_{n}(y) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{9}
  \item Justifier que la fonction \(G_{n}\) est de classe \(C^{2}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}_{+}^{*}\) et calculer ses dérivées partielles premières.
  \item Déterminer l'ensemble des points critiques de \(G_{n}\).
  \item Calculer la matrice hessienne de \(G_{n}\) au point ( \(x_{n}, x_{n}\) ) puis au point ( 1,1 ).
  \item La fonction \(G_{n}\) admet-elle un extremum local en \(\left(x_{n}, x_{n}\right)\) ? Si oui, donner la nature de cet extremum.
  \item La fonction \(G_{n}\) admet-elle un extremum local en \((1,1)\) ? Si oui, donner la nature de cet extremum.
\end{enumerate}

\section*{EXERCICE 3}
Soit \(a\) un réel strictement positif.

\begin{enumerate}
  \item Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2 , on pose :
\end{enumerate}

\[
I_{n}(a)=\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{t^{n}} d t
\]

Montrer que l'intégrale \(I_{n}(a)\) converge et vaut \(\frac{1}{(n-1) a^{n-1}}\).\\
2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\forall t \in \mathbb{R}, \quad f(t)=\left\{\begin{array}{cl}
0 & \text { si } t<a, \\
\frac{3 a^{3}}{t^{4}} & \text { si } t \geqslant a .
\end{array}\right.
\]

(a) Démontrer que \(f\) est bien une densité de probabilité. Soit \(X\) une variable aléatoire admettant \(f\) pour densité.\\
(b) Donner la fonction de répartition de \(X\).\\
(c) Démontrer que \(X\) admet une espérance et calculer cette espérance.\\
(d) Démontrer que \(X\) admet une variance et que celle-ci vaut \(\frac{3 a^{2}}{4}\).\\
3. Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \(] 0,1\) ]. On pose : \(Y=\frac{a}{U^{1 / 3}}\).\\
(a) Déterminer \(Y(\Omega)\).\\
(b) Déterminer la fonction de répartition de \(Y\) et vérifier que \(Y\) et \(X\) suivent la même loi.\\
(c) Écrire une fonction en langage Scilab d'en-tête : function \(Y=\operatorname{simulX}(a, m, n)\) prenant en argument un réel \(a\) strictement positif et deux entiers naturels \(m\) et \(n\) non nuls, qui renvoie une matrice à \(m\) lignes et \(n\) colonnes dont chaque coefficient est un réel choisi de façon aléatoire en suivant la loi de \(X\). Ces réels seront choisis de façon indépendante.\\
À cet effet, on rappelle que si \(m\) et \(n\) sont des entiers naturels non nuls, l'instruction : rand ( \(\mathrm{m}, \mathrm{n}\) ) renvoie une matrice à \(m\) lignes et \(n\) colonnes dont chaque coefficient suit la loi uniforme sur ] 0,1 ], ces coefficients étant choisis de façon indépendante.\\
4.(a) Calculer \(P([X>2 a])\).\\
(b) Calculer \(P_{[X>2 a]}([X>6 a])\).\\
(c) On suppose que la fonction Scilab de la question 3 a été programmée correctement et compilée. Compléter le script ci-dessous afin qu'il renvoie une valeur permettant de vérifier le résultat de la question précédente.

\begin{verbatim}
a = 10
N=100000
s1 =0
s2=0
X=simulX(a,1,N)
for k=1:N
    if ............ then
        s1=s1+1
        if X(k)>6*a then
            ............
        end
    end
end
if s1>0 then
    disp(..........)
end
\end{verbatim}

On cherche dans la suite de l'exercice à estimer le paramètre \(a\).\\
Soit \(n\) un entier naturel non nul, et \(X_{1}, \ldots, X_{n} n\) variables aléatoires indépendantes et suivant toutes la même loi que \(X\).\\
5. On pose \(V_{n}=\frac{2}{3 n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}\).\\
(a) Montrer que \(V_{n}\) est un estimateur sans biais pour le paramètre \(a\).\\
(b) Calculer son risque quadratique et vérifier que celui-ci vaut \(\frac{a^{2}}{3 n}\).

6 . On pose \(W_{n}=\min \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)\).\\
(a) Déterminer la fonction de répartition de \(W_{n}\) et vérifier que \(W_{n}\) est bien une variable aléatoire à densité.\\
(b) Montrer que \(W_{n}\) admet pour densité la fonction \(f_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\forall t \in \mathbb{R}, \quad f_{n}(t)=\left\{\begin{array}{cl}
0 & \text { si } t<a, \\
\frac{3 n a^{3 n}}{t^{3 n+1}} & \text { si } t \geqslant a .
\end{array}\right.
\]

(c) Démontrer que \(W_{n}\) admet une espérance et calculer cette espérance.

Déterminer alors l'unique réel \(\lambda_{n}\) dépendant de \(n\) tel que \(\lambda_{n} W_{n}\) est un estimateur sans biais pour le paramètre \(a\).\\
(d) Calculer le risque quadratique de \(\lambda_{n} W_{n}\) et vérifier que celui-ci vaut \(\frac{a^{2}}{3 n(3 n-2)}\).\\
7. On rappelle que :

\begin{itemize}
  \item Si A est une matrice Scilab, l'instruction : A(i, :) renvoie la ième ligne de la matrice A.
  \item Si A est une matrice Scilab (éventuellement une matrice ligne), l'instruction : sum(A) renvoie la somme des coefficients de la matrice A .
  \item Si X est une matrice ligne, l'instruction : \(\mathrm{plot2d}(\mathrm{X}\), style=-1) représente graphiquement les coefficients de X à l'aide de croix droites.
  \item Si X est une matrice ligne, l'instruction : \(\mathrm{plot2d}(\mathrm{X}\), style=-2) représente graphiquement les coefficients de X à l'aide de croix obliques.\\
(a) Compléter la fonction ci-dessous afin qu'elle réalise \(m\) simulations de la variable aléatoire \(V_{n}\) et renvoie les résultats obtenus sous forme d'une matrice ligne à \(m\) éléments :
\end{itemize}

\begin{verbatim}
function V=simulV(a,m,n)
    X=simulX ( \(\mathrm{a}, \mathrm{m}, \mathrm{n}\) )
    \(\mathrm{V}=\operatorname{zeros}(1, \mathrm{~m})\)
    for k= ..........
        V \((\) k \()=\ldots . . . . . . . . . .\).
    end
endfunction
\end{verbatim}

Pour la suite, on prend \(n=100\) et on suppose que l'on dispose d'une fonction similaire simulW permettant d'obtenir \(m\) simulations de la variable aléatoire \(\lambda_{n} W_{n}\).\\
(b) Compléter les lignes ci-dessous pour écrire le script qui a permis d'obtenir le graphique présenté :

\begin{verbatim}
W=simulW (...,...,...)
V=simulV (...,...,...)
plot2d(...,style=-1)
plot2d(...,style=-2)
\end{verbatim}

On justifiera la réponse pour les deux dernières lignes.\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{b9abaf2e-45fb-4c92-8ae2-3bce1a8ceb47-6_879_1431_1854_349}


\end{document}