\documentclass[10pt]{article}
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\author{Durée : 4 heures\\
Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{Ccricome}
\section*{Mathématiques}
\section*{Option Économique}
\section*{Lundi 25 avril 2022 de 8 hOO à 12 h 00}
L'énoncé comporte 4 pages.

\section*{CONSIGNES}
Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat.\\
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.\\
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.\\
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.\\
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

\section*{Exercice 1}
Dans tout l'exercice, \(\mathscr{M}_{3}(\mathbb{R})\) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels. On notera respectivement \(I_{3}\) et \(0_{3}\) la matrice identité et la matrice nulle de \(\mathscr{M}_{3}(\mathbb{R})\).\\
Soit \(F\) l'ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_{3}(\mathbb{R})\) de la forme \(\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)\), où \(a\) et \(b\) sont des réels quelconques. Soit \(G\) l'ensemble des matrices \(M\) de \(\mathscr{M}_{3}(\mathbb{R})\) telles que \(M^{2}=M\).

\section*{Partie I}
\begin{enumerate}
  \item \(F\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_{3}(\mathbb{R})\) ? Si oui, déterminer une base de \(F\) et préciser la dimension de \(F\).
  \item \(G\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_{3}(\mathbb{R})\) ? Si oui, déterminer une base de \(G\) et préciser la dimension de \(G\).
  \item Soit \(A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right)\)\\
(a) Démontrer que \(A \in F \cap G\).\\
(b) En déduire un polynôme annulateur de \(A\).\\
(c) Déterminer les valeurs propres de \(A\), et donner une base de chaque sous-espace propre associé.\\
(d) La matrice \(A\) est-elle inversible? Est-elle diagonalisable?
\end{enumerate}

\section*{Partie II}
On considère dans cette partie une matrice \(M=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)\) de \(F\) avec \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}\).\\
4. (a) Démontrer que :

\[
M \in G \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a^{2}+2 b^{2}=a \\
b(b+2 a-1)=0
\end{array} .\right.
\]

(b) Montrer alors que : \(F \cap G=\left\{I_{3}, 0_{3}, A, I_{3}-A\right\}\).\\
5. On note \(B=I_{3}-A\).

Démontrer que la famille ( \(A, B\) ) est une base de \(F\).\\
6. (a) On note \(\alpha=\frac{4 a-b}{3}\) et \(\beta=\frac{a+2 b}{3}\).

Vérifier que :

\[
M=\alpha A+\beta B .
\]

(b) Calculer \(A B\) et \(B A\).\\
(c) Montrer que pour tout entier naturel \(n\) :

\[
M^{n}=\alpha^{n} A+\beta^{n} B .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item (a) Montrer que \(M\) est inversible si et seulement si \(\alpha \neq 0\) et \(\beta \neq 0\).\\
(b) Si \(\alpha\) et \(\beta\) sont deux réels non nuls, montrer que pour tout entier naturel \(n\), on a :
\end{enumerate}

\[
M^{-n}=\alpha^{-n} A+\beta^{-n} B .
\]

\section*{Partie III}
Soient \(T=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)\) et \(Y=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)\).\\
On considère la suite \(\left(X_{n}\right)\) de matrices colonnes définie par \(X_{0}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)\) et la relation de récurrence:

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad X_{n+1}=T X_{n}+Y .
\]

\section*{Cócricome}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item Calculer la matrice \(I_{3}-T\) et exprimer cette matrice en fonction de \(A\) et \(B\).
  \item À l'aide de la question 7 , calculer la matrice \(\left(I_{3}-T\right)^{-1}\).
  \item Démontrer qu'il existe une unique matrice colonne \(L\), que l'on déterminera, telle que :
\end{enumerate}

\[
L=T L+Y .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{10}
  \item Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(X_{n+1}-L=T\left(X_{n}-L\right)\), puis que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad X_{n}-L=T^{n}\left(X_{0}-L\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{11}
  \item Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(X_{n}\) en fonction de \(A, B, L, X_{0}\) et \(n\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}
Pour tout réel \(x>0\), on pose :

\[
g(x)=\exp \left(\left(2-\frac{1}{x}\right) \ln (x)\right) .
\]

\section*{Partie I : Étude de la fonction \(g\)}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)\).
  \item Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par :
\end{enumerate}

\[
\forall x>0, h(x)=\ln (x)+2 x-1 .
\]

(a) Démontrer que la fonction \(h\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).\\
(b) Démontrer qu'il existe un unique réel \(\alpha>0\) tel que \(h(\alpha)=0\). Justifier que \(\frac{1}{2}<\alpha<1\).\\
(c) Démontrer que : \(\forall x>0, g^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}} h(x) g(x)\).\\
(d) En déduire les variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).\\
3. Démontrer que :

\[
g(x)-x^{2} \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim}-x \ln (x) .
\]

\section*{Partie II : Étude d'une suite récurrente}
Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite définie par son premier terme \(u_{0}>0\) et la relation de récurrence :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=g\left(u_{n}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n, u_{n}\) existe et \(u_{n}>0\).
  \item Écrire une fonction Scilab qui prend en argument un réel u0 et un entier n et renvoie sous forme de matrice ligne la liste des \(n+1\) premières valeurs de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de premier terme \(u_{0}=\mathrm{u} 0\).
  \item (a) Étudier le signe de \((x-1) \ln x\) pour \(x>0\).\\
(b) Montrer que: \(\forall x>0, \frac{g(x)}{x} \geqslant 1\).\\
(c) En déduire que pour tout réel \(x>0\), on a \(g(x) \geqslant x\), et que l'équation \(g(x)=x\) admet 1 comme unique solution.
  \item Étudier les variations de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
  \item Dans cette question uniquement, on suppose que \(u_{0} \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]\).\\
(a) Démontrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]\).\\
(b) En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge, et déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\section*{Ccricome}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item Dans cette question uniquement, on suppose que \(u_{0}>1\).\\
(a) Démontrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}>1\).\\
(b) Démontrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) tend vers \(+\infty\).
  \item Dans cette question uniquement, on suppose que \(0<u_{0}<\frac{1}{2}\).
\end{enumerate}

La suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est-elle convergente?

\section*{Partie III : Extrema de la fonction \(f\)}
Pour tout couple \((x, y) \in \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}\), on note :

\[
f(x, y)=x^{y-\frac{1}{x}}=\exp \left(\left(y-\frac{1}{x}\right) \ln (x)\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{10}
  \item Démontrer que la fonction \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^{2}\) sur l'ouvert \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}\).
  \item Démontrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall(x, y) \in \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R},\left\{\begin{array}{l}
\partial_{1}(f)(x, y)=\frac{\ln (x)+x y-1}{x^{2}} f(x, y), \\
\partial_{2}(f)(x, y)=\ln (x) f(x, y) .
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{12}
  \item Montrer que la fonction \(f\) admet un unique point critique \(a\) et préciser les coordonnées de \(a\).
  \item Montrer que la matrice hessienne de \(f\) au point \(a\) est \(\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)\).
  \item La fonction \(f\) admet-elle en \(a\) un extremum local?
  \item Démontrer que la fonction \(f\) n'admet pas d'extremum global sur \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}\).
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
On dispose de trois urnes \(U_{1}, U_{2}\) et \(U_{3}\), et d'une infinité de jetons numérotés \(1,2,3,4, \ldots\)\\
On répartit un par un les jetons dans les urnes : pour chaque jeton, on choisit au hasard et avec équiprobabilité une des trois urnes dans laquelle on place le jeton. Le placement de chaque jeton est indépendant de tous les autres jetons, et la capacité des urnes en nombre de jetons n'est pas limitée.\\
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(X_{n}\) (respectivement \(Y_{n}, Z_{n}\) ) le nombre de jetons présents dans l'urne 1 (respectivement l'urne 2, l'urne 3) après avoir réparti les \(n\) premiers jetons.

\section*{Partie I}
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(V_{n}\) l'événement : « Après la répartition des \(n\) premiers jetons, au moins une urne reste vide ».

\begin{enumerate}
  \item Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\).\\
(a) Justifier que \(X_{n}, Y_{n}\) et \(Z_{n}\) suivent la même loi binomiale dont on précisera les paramètres.\\
(b) Expliciter \(P\left(X_{n}=0\right)\) et \(P\left(X_{n}=n\right)\).\\
(c) Justifier que \(\left(Y_{n}=0\right) \cap\left(Z_{n}=0\right)=\left(X_{n}=n\right)\).\\
(d) Exprimer l'événement \(V_{n}\) à l'aide des événements ( \(X_{n}=0\) ), ( \(Y_{n}=0\) ) et ( \(Z_{n}=0\) ).\\
(e) En déduire que : \(P\left(V_{n}\right)=3\left(\frac{2}{3}\right)^{n}-3\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\).
  \item On note \(V\) l'événement : « Au moins l'une des trois urnes reste toujours vide».
\end{enumerate}

Exprimer l'événement \(V\) à l'aide des événements \(V_{n}\), puis démontrer que \(P(V)=0\).\\
3. Soit \(T\) la variable aléatoire égale au nombre de jetons nécessaires pour que, pour la première fois, chaque urne contienne au moins un jeton.\\
(a) On rappelle qu'en Scilab la commande grand( \(\mathrm{n}, \mathrm{p}\), 'uin', \(\mathrm{a}, \mathrm{b}\) ) renvoie une matrice aléatoire à n lignes et p colonnes où chaque coefficient est la réalisation d'une variable aléatoire indépendante suivant une loi uniforme sur l'intervalle \(\llbracket a, b \rrbracket\), ces variables aléatoires étant mutuellement indépendantes.\\
Compléter la fonction Scilab ci-dessous pour qu'elle simule le placement des jetons jusqu'au moment où chaque urne contient au moins un jeton, et pour qu'elle renvoie la valeur prise par la variable aléatoire \(T\).

\begin{verbatim}
function t=T()
    X=0
    Y=0
    Z=0
    n=0
    liste=[X,Y,Z]
    while ........................
        i=grand(1,1,'uin',1,3) // choix d un nombre entier entre 1 et 3
        liste(i)= .................
        n=n+1
    end
    t=........
endfunction
\end{verbatim}

(b) Écrire un script Scilab qui simule 10000 fois la variable aléatoire \(T\) et qui renvoie une valeur approchée de son espérance (en supposant que cette espérance existe).\\
4. Déterminer \(T(\Omega)\).\\
5. Démontrer que: \(\forall n \in T(\Omega), \quad P(T=n)=P\left(V_{n-1}\right)-P\left(V_{n}\right)\).\\
6. Démontrer que la variable aléatoire \(T\) admet une espérance, et calculer cette espérance.

\section*{Partie II}
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(W_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre d'urne(s) encore vide(s) après le placement des \(n\) premiers jetons.\\
7. (a) Donner la loi du couple ( \(X_{2}, W_{2}\) ).\\
(b) En déduire la loi de \(W_{2}\), et calculer son espérance.\\
(c) Calculer la covariance de \(X_{2}\) et \(W_{2}\).\\
(d) Les variables aléatoires \(X_{2}\) et \(W_{2}\) sont-elles indépendantes?

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 3 .\\
8. Déterminer \(W_{n}(\Omega)\).\\
9. Pour \(i \in \llbracket 1,3 \rrbracket\), on note \(W_{n, i}\) la variable aléatoire égale à 1 si l'urne \(i\) est encore vide après le placement des \(n\) premiers jetons, et qui vaut 0 sinon.\\
(a) Montrer que: \(\forall i \in \llbracket 1,3 \rrbracket, E\left(W_{n, i}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\).\\
(b) Exprimer la variable aléatoire \(W_{n}\) en fonction des variables aléatoires \(W_{n, 1}, W_{n, 2}\) et \(W_{n, 3}\).\\
(c) Exprimer alors \(E\left(W_{n}\right)\) en fonction de \(n\).\\
10. Démontrer que : \(P\left(\left(X_{n}=n\right) \cap\left(W_{n}=2\right)\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\).

Pour \(k \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket\), quelle est la valeur de \(P\left(\left(X_{n}=k\right) \cap\left(W_{n}=2\right)\right)\) ?\\
11. Démontrer que: \(\forall k \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket, P\left(\left(X_{n}=k\right) \cap\left(W_{n}=1\right)\right)=\frac{2\binom{n}{k}}{3^{n}}\).

Que vaut \(P\left(\left(X_{n}=n\right) \cap\left(W_{n}=1\right)\right)\) ?\\
12. Démontrer que :

\[
E\left(X_{n} W_{n}\right)=2 n P\left(\left(X_{n}=n\right) \cap\left(W_{n}=2\right)\right)+\sum_{k=1}^{n-1} k P\left(\left(X_{n}=k\right) \cap\left(W_{n}=1\right)\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{12}
  \item Montrer alors que \(E\left(X_{n} W_{n}\right)=n\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\), puis calculer la covariance de \(X_{n}\) et \(W_{n}\).
  \item Interpréter le résultat obtenu à la question précédente.
\end{enumerate}

\end{document}