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\title{MATHÉMATIQUES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{CONCOURS D'ADMISSION 2001}
\section*{Option scientifique}
Mardi 24 avril 2001 de 8 h 00 à 12 h 00

Durée : 4 heures

\section*{Aucun instrument de calcul n'est autorisé. Aucun document n'est autorisé.}
L'énoncé comporte 5 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.

\section*{Exercice 1}
Soient a et \(b\) deux réels strictement positifs, \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, suivant chacune une loi exponentielle de paramètres respectifs a et \(b\).

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la fonction de répartition, puis une densité, de la variable aléatoire - \(X\).
  \item Montrer que \(Y\) - \(X\) admet une densité, notée \(h\), définie par :
\end{enumerate}

\[
h(t)=\frac{a b}{a+b} \exp (-b t) \text { pour } t>0 \text { et } h(t)=\frac{a b}{a+b} \exp (a t) \text { pour } t \leq 0
\]

On considère la variable aléatoire \(Z=|X-Y|\).\\
3) Soit \(s\) un réel positif. Etablir l'égalité \(P(Z \leq s)=1-\frac{b \exp (-a s)+a \exp (-b s)}{a+b}\).\\
4) a) Montrer que \(Z\) est une variable aléatoire à densité et en donner une densité.\\
b) Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.

\section*{Exercice 2}
Soient \(n\) un entier \(\geq 2\) et \(E\) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre \(n\) à coefficients réels. l est la matrice identité de \(E\). On note \({ }^{t} A\) la transposée d'un élément \(A\) de \(E\). Si \(A=\left(a_{i j}\right)\) appartient à \(E\), on appelle trace de \(A\) et on note \(\operatorname{tr}(A)\), la somme \(a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{n n}\) des éléments diagonaux de \(A\). On considère l'application \(g\) de \(E \times E\) dans \(I R\), qui à deux matrices \(A\) et \(B\) de \(E\) fait correspondre le réel \(g(A, B)=\operatorname{tr}\left({ }^{t} A B\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que l'application tr qui à tout élément de \(E\) associe sa trace, est une forme linéaire sur \(E\).
  \item a) Soit \(M\) une matrice de \(E\). Montrer que \(\operatorname{tr}(M)=\operatorname{tr}\left({ }^{t} M\right)\).\\
b) En déduire que, pour tout couple ( \(A, B\) ) de matrices de \(E\), on a \(g(A, B)=g(B, A)\).
  \item Soit \(A\) un élément de \(E\). Montrer que \(g(A, A)\) est la somme des carrés des coefficients de \(A\).
  \item Montrer, à l'aide des questions précédentes, que g est un produit scalaire sur \(E\).
\end{enumerate}

Soit \(\mathcal{B}=\left(\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2}, \ldots, \mathrm{e}_{\mathrm{n}}\right)\) la base canonique de \(\mathrm{R}^{\mathrm{n}}\) et f l'endomorphisme de \(\mathrm{IR}^{\mathrm{n}}\) défini par :

\[
f\left(e_{1}\right)=e_{n} \text { et, pour tout entier } k \text { tel que } 2 \leq k \leq n, f\left(e_{k}\right)=e_{k-1} \text {. }
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item a) Montrer que \(f\) est un automorphisme de \(\operatorname{IR}^{n}\).\\
b) Soit U la matrice de f dans la base \(\mathcal{B}\). Montrer que \(\mathrm{U}^{\mathrm{n}}=\mathrm{l}\) et que \(\mathrm{U}^{-1}=\mathrm{t} \mathrm{U}\).
\end{enumerate}

On suppose, pour les deux questions suivantes, que \(n=4\).\\
6) Calculer \(\mathrm{U}^{2}\) et \(\mathrm{U}^{3}\) et montrer que ( \(\mathrm{I}, \mathrm{U}, \mathrm{U}^{2}, \mathrm{U}^{3}\) ) est une famille orthogonale pour le produit scalaire g.\\
7) On note F le sous espace vectoriel de E engendré par la famille ( \(\mathrm{I}, \mathrm{U}, \mathrm{U}^{2}, \mathrm{U}^{3}\) ) et V la matrice de E dont la première ligne est constituée de 1 et les autres uniquement de 0 . Calculer la projection orthogonale W de V sur F.

\section*{Problème}
Dans tout le problème, n est un entier positif ou nul, a un entier pair supérieur ou égal à 4 et p un réel tel que \(0<p<1\). Pour simplifier les écritures, on pose \(a_{n}=2^{n-1} a\).\\
Un jeu est une succession de jets d'une pièce qui fait pile avec la probabilité p. Un joueur dispose initialement d'une fortune a. On note \(F_{n}\) la variable aléatoire égale à la fortune du joueur à l'issue du du \(n^{\text {ème }}\) lancer. On convient que \(F_{0}\) est la variable aléatoire certaine égale à a. On obtient la fortune \(F_{n+1}\) à partir de \(F_{n}\) de la manière suivante :\\
avant le lancer \(n+1\), le joueur mise une partie \(X_{n}\), entière, de sa fortune sur pile et l'autre partie, \(F_{n}-X_{n}\), sur face. Si le lancer \(n+1\) fait apparaître pile, la fortune \(F_{n+1}\) est égale à \(2 X_{n}\), s'il fait apparaître face, la fortune \(F_{n+1}\) est égale à \(2\left(F_{n}-X_{n}\right)\). Ainsi, à tout instant, la fortune du joueur est un entier pair, éventuellement nul.\\
On étudie, dans ce problème, deux exemples ( parties 1 et 2 ) dans lesquels les mises \(X_{n}\) sont des variables aléatoires. A cet effet, on associe aux variables aléatoires \(F_{n}\) des polynômes \(G_{n}\) dont les propriétés générales sont établies en préliminaire. Ces polynômes servent à obtenir des informations sur l'évolution de la fortune du joueur tout au long du jeu.\\
\(E(X)\) et \(V(X)\) désignent, quand elles existent, l'espérance et la variance de \(X\).

\section*{Résultats préliminaires .}
\begin{enumerate}
  \item Pour tout entier positif ou nul \(n\), montrer que \(F_{n}\) prend ses valeurs dans \(\left\{0,2,4, \ldots, 2 a_{n}\right\}\).
\end{enumerate}

Pour tout entier positif ou nul \(n\), on définit le polynôme \(G_{n}\) par: \(G_{n}(x)=\sum_{k=0}^{a_{n}} P\left(F_{n}=2 k\right) x^{k}\)\\
2) a) Calculer \(G_{n}(1)\).\\
b) Que représente concrètement \(G_{n}(0)\) ? Montrer, à l'aide d'un argument probabiliste, que la suite de terme général \(G_{n}(0)\) est croissante et convergente.\\
c) Montrer que \(G_{n}^{\prime}(1)=E\left(F_{n}\right) / 2\). Etablir de même que \(V\left(F_{n}\right)=4 G_{n}^{\prime \prime}(1)+2 E\left(F_{n}\right)-E\left(F_{n}\right)^{2}\).\\
3) Montrer que le polynôme \(G_{n}\) est convexe sur IR+.

\section*{Première partie}
Soit n un entier positif ou nul et k un entier tel que \(0 \leq \mathrm{k} \leq \mathrm{a}_{\mathrm{n}}\). On suppose dans cette partie que la loi conditionnelle de \(X_{n}\) sachant \(\left\{F_{n}=2 k\right\}\) est une loi uniforme sur \(\{0,1,2, \ldots, 2 k-1,2 k\}\).

\begin{enumerate}
  \item Etablir, pour tout entier \(j\) tel que \(0 \leq j \leq 2 k\), l'égalité \(P\left(F_{n+1}=2 j \cap F_{n}=2 k\right)=\frac{1}{2 k+1} P\left(F_{n}=2 k\right)\). (On pourra utiliser le système complet d'événements constitué par les deux résultats possibles du lancer \(\mathrm{n}+1\).)
  \item En déduire, pour tout entier \(j\) tel que \(0 \leq j \leq a_{n+1}\), une expression sommatoire de \(P\left(F_{n+1}=2 j\right)\).
  \item Montrer que pour \(x\) appartenant à \(\left[0,1\left[, G_{n+1}(x)=\sum_{k=0}^{a_{n}} \frac{x^{2 k+1}-1}{(2 k+1) \cdot(x-1)} P\left(F_{n}=2 k\right)\right.\right.\).
  \item En déduire, pour \(x\) appartenant à IR , l'égalité : \((1-x) G_{n+1}(x)=\int_{x}^{1} G_{n} \cdot\left(t^{2}\right) d t\)
  \item Prouver, en dérivant deux fois cette égalité, que pour tout \(n \geq 0\), on a \(E\left(F_{n}\right)=a\).
\end{enumerate}

\section*{Deuxième partie (Les deux sous parties A et B sont indépendantes)}
On suppose maintenant que la loi conditionnelle de la variable \(X_{n}\) sachant \(\left\{F_{n}=2 k\right\}\) est une loi binômiale de paramètres \(2 k\) et r, r étant un réel de ] 0,1 [.

\section*{A) Simulation informatique de l'expérience}
On considère le programme suivant :

\begin{verbatim}
program simulation;
var a,n,i,X,F:integer;
        r,p:real;
function mise(m : integer, s : real): integer;
    ..................
    end;
begin
randomize ; readln (n); readln(p); readln(r); readln(a);F:=a;
for i:= 1 to n do
        begin X:=mise(F,r);
            if random < p then
\end{verbatim}

\(\_\_\_\_\)

\begin{verbatim}
        end;
end.
\end{verbatim}

La fonction " random " est une fonction sans argument. A son appel, l'ordinateur génère un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 , nombre qui suit une loi uniforme sur \([0,1]\). L'instruction " randomize " est utilisée pour obliger l'ordinateur à générer un nouveau nombre à chaque appel de la fonction.

La fonction " mise " est une fonction qui simule une loi bino̊miale de paramètres \(m\) et \(s\). Elle doit donc prendre, à chaque appel, une valeur aléatoire entière comprise au sens large entre 0 et m , la probabilité qu'elle prenne une valeur donnée étant celle fournie par la loi binỏmiale de paramètres \(m\) et \(s\).

\begin{enumerate}
  \item Rédiger les lignes manquantes ( déclarations et instructions ) dans la définition de la fonction "mise ".
  \item Rédiger les instructions manquantes du corps principal du programme de telle sorte que celui-ci calcule et affiche les fortunes successives \(F_{1}, \ldots, F_{n}\) du joueur, les paramètres \(a, r, p, n\) étant fournis par l'utilisateur.
\end{enumerate}

\section*{B) Etude théorique}
Dans toute cette partie, on posera \(A=p r^{2}+(1-p)(1-r)^{2}\) et \(B=2[p r+(1-p)(1-r)]\).

\begin{enumerate}
  \item En procédant comme dans les trois premières questions de la première partie, montrer que pour tout réel x et tout entier \(n \geq 0\), on a: \(G_{n+1}(x)=p G_{n}\left[(x r+1-r)^{2}\right]+(1-p) G_{n}\left[(x-x r+r)^{2}\right]\).
\end{enumerate}

Dans les questions 2 et 3, on suppose que \(p=1 / 2\).\\
On considère le trinôme \(Q\), défini par \(Q(x)=A x^{2}+2 r(1-r) x+A\), et la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par la condition initiale \(u_{0}=0\) et, pour tout entier \(n \geq 0\), par la relation de récurrence \(u_{n+1}=Q\left(u_{n}\right)\).\\
2) a) Montrer, pour tout réel \(x\), l'égalité : \(Q(x)=x+A(x-1)^{2}\).\\
b) Montrer que l'intervalle \([0,1]\) est stable par \(Q\).\\
c) Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est croissante et convergente. Donner la valeur de sa limite.\\
3) a) Montrer, en utilisant (2) et la convexité de \(\mathrm{G}_{\mathrm{n}}\), que pour tout entier \(\mathrm{n} \geq 0\) et tout réel \(\mathrm{x} \geq 0\), on a l'inégalité: \(G_{n+1}(x) \geq G_{n}[Q(x)]\).\\
b) Etablir, pour tout entier \(n \geq 0\), l'inégalité : \(G_{n+1}(0) \geq G_{1}\left(u_{n}\right)\). Conclure.

On revient au cas général p quelconque.\\
4) a) Montrer à l'aide de (2), que la suite \(\left(E\left(F_{n}\right)\right)_{n}\) est géométrique de raison \(B\).\\
b) En posant \(p^{\prime}=1 / 2-p\) et \(r^{\prime}=1 / 2-r\), étudier la limite de cette suite suivant les valeurs de \(p\) et \(r\).\\
c) Montrer que si la suite \(\left(E\left(F_{n}\right)\right)_{n}\) tend vers 0 , alors la suite \(\left(P\left(F_{n}=0\right)\right)_{n}\) tend vers 1 .\\
5) a) Pour tout entier \(n \geq 0\), établir à l'aide de (2) une relation entre \(G_{n+1}^{\prime \prime}(1), G_{n}^{\prime \prime}(1)\) et \(G_{n}^{\prime}(1)\).\\
b) Montrer que la suite de terme général \(v_{n}=G_{n}^{\prime \prime}(1) / B^{n}\) est arithmético-géométrique.\\
c) En déduire, pour tout entier \(n \geq 0\), une expression explicite de \(G_{n}^{\prime \prime}(1)\) en fonction de a, \(n, A, B\).

On suppose, dans cette demière question, que \(p=r=1 / 3\).\\
6) a) Calculer les trois réel \(A, B, B^{2}\) et en déduire un équivalent de \(V\left(F_{n}\right)\) quand \(n\) tend vers l'infini.\\
b) Montrer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev, que la probabilité \(P\left(F_{n}<2^{n / 4} a\right)\) tend vers 1 quand \(n\) tend vers l'infini. (On utilisera les inégalités : \(2^{1 / 4}>10 / 9\) et \(3 \cdot \sqrt{2}>4\).)

Fin de l'épreuve


\end{document}