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\title{MATHÉMATIQUES }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{CONCOURS D'ADMISSION 2002}
\section*{option scientifique}
mercredi 22 mai 2002 de 8 h 00 à 12 h 00\\
durée : 4 heures

Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
Aucun document n'est autorisé.

L'énoncé comporte 7 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.

\section*{1. EXERCICE.}
\(E\) désigne un espace vectoriel sur le corps \(\mathbb{C}\) des nombres complexes.\\
\(I d_{E}\) l'identité de \(E, \Theta\) l'endomorphisme nul.\\
\(\mathbb{C}[X]\) l'ensemble des polynômes à coefficients complexes.\\
Pour tout \(n, \mathbb{C}_{n}[X]\) représente l'ensemble des polynômes à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal à l'entier \(n\).\\
Si \(g\) est un endomorphisme de \(E\), on définit \(g^{n}\) par :

\[
\left\{\begin{array}{c}
g^{0}=I d_{E} \\
g^{n}=g^{n-1} \circ g, n \in \mathbb{N}^{*}
\end{array}\right.
\]

Pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{C}[X]\) tel que : \(P(X)=a_{0}+a_{1} X+\ldots+a_{p} X^{p}\), on note \(P(g)\) l'endomorphisme de \(E\) égal à :

\[
P(g)=a_{0} I d_{E}+a_{1} g+\ldots+a_{p} g^{p}
\]

On rappelle que pour tous polynômes \(P, Q\) de \(\mathbb{C}[X]\) on a :

\[
(P Q)(g)=P(g) \circ Q(g)=Q(g) \circ P(g)
\]

\section*{Puissance d'un endomorphisme.}
On désigne par \(T\) le polynôme de \(\mathbb{C}[X]\) défini par :

\[
T(X)=3 X^{3}-X^{2}-X-1
\]

et par \(f\) un endomorphisme de \(E\) satisfaisant à la relation:

\[
T(f)=\Theta
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que 1 est la seule racine réelle de \(T\). Soient \(\alpha\) et \(\bar{\alpha}\) les deux autres racines non réelles et conjuguées. Calculer \(\alpha+\bar{\alpha}\) et \(\alpha \bar{\alpha}\).
  \item On désigne par \(\varphi\) l'application qui, à tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{C}[X]\) associe le reste dans la division euclidienne de \(P\) par \(T\).\\
a. Rappeler le théorème de la division des polynômes suivant les puissances décroissantes.\\
b. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{C}[X]\).\\
c. L'endomorphisme \(\varphi\) est-il injectif ? Est-il surjectif ?
  \item On note \(L_{1}, L_{2}, L_{3}\), les polynômes définis par:
\end{enumerate}

\[
\begin{gathered}
L_{1}(X)=(X-1)(X-\alpha), L_{2}(X)=(X-1)(X-\bar{\alpha}) \\
L_{3}(X)=(X-\alpha)(X-\bar{\alpha})
\end{gathered}
\]

a. Montrer que \(\left(L_{1}, L_{2}, L_{3}\right)\) est une base de \(\mathbb{C}_{2}[X]\).\\
b. Montrer que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), il existe un unique triplet ( \(a_{n}, b_{n}, c_{n}\) ) appartenant à \(\mathbb{C}^{3}\) tel que :

\[
\varphi\left(X^{n}\right)=a_{n} L_{1}+b_{n} L_{2}+c_{n} L_{3}
\]

et exprimer \(a_{n}, b_{n}, c_{n}\) en fonction de \(\alpha, \bar{\alpha}, n\). Vérifier que \(c_{n}=\frac{1}{2}\).\\
c. Prouver que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) :

\[
f^{n}=a_{n} L_{1}(f)+b_{n} L_{2}(f)+c_{n} L_{3}(f)
\]

d. Justifier la convergence des suites \(\left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right),\left(c_{n}\right)\) vers des réels respectifs \(a, b, c\).\\
4. On pose \(h=a L_{1}(f)+b L_{2}(f)+c L_{3}(f)\).\\
a. Montrer que \(h=\frac{1}{6}\left(3 f^{2}+2 f+I d_{E}\right)\).\\
b. Prouver enfin que \(h\) est un projecteur.

\section*{2. EXERCICE.}
On se propose ici d'étudier la série de terme général :

\[
u_{n}(x)=a_{n} x^{n}
\]

où \(x\) est un réel quelconque et \(a_{n}\) un réel défini par:

\[
a_{n}=\int_{0}^{1}\left[\frac{1+t^{2}}{2}\right]^{n} d t, \quad n \in \mathbb{N}
\]

\subsection*{2.1. Etude de l'absolue convergence de la série.}
\begin{enumerate}
  \item Prouver que pour tout \(n\) entier naturel :
\end{enumerate}

\[
\frac{1}{n+1} \leqslant a_{n} \leqslant \frac{2}{n+1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Pour \(|x|=1\), la série de terme général \(u_{\pi}(x)\) est-elle absolument convergente ?
  \item Donner une condition nécessaire et suffisante, sur \(x\), pour que la série de terme général \(u_{n}(x)\) soit absolument convergente.\\
2.2. Somme de la série pour \(-1 \leqslant x<1\).
\end{enumerate}

On suppose maintenant, \(-1 \leqslant x<1\).

\begin{enumerate}
  \item Pour \(t \in[0,1]\), montrer que :
\end{enumerate}

\[
2-x-x t^{2} \geqslant \frac{3}{2}(1-x)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Justifier l'existence de l'intégrale: \(\quad \int_{0}^{1} \frac{2 d t}{2-x-x t^{2}}\)
  \item On pose
\end{enumerate}

\[
f(x)=\int_{0}^{1} \frac{2 d t}{2-x-x t^{2}}
\]

Montrer que pour tous les entiers naturels \(n\) :

\[
\left|f(x)-\sum_{k=0}^{n} u_{k}(x)\right| \leqslant \frac{8|x|^{n+1}}{3(n+2)(1-x)}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item En déduire la convergence et la somme de la série de terme général \(u_{n}(x)\).
  \item Donner la valeur de \(a_{0}\), puis établir la relation de récurrence suivante :
\end{enumerate}

\[
\forall k \in \mathbb{N} \quad(2 k+3) a_{k+1}=1+(k+1) a_{k} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Ecrire en PASCAL un algorithme permettant d'obtenir une valeur approchée de \(f(x)\) à \(10^{-p}\) près, le réel \(x\) et l'entier \(p\) étant supposés dornés.
\end{enumerate}

\section*{3. PROBLEME.}
Deux biens \(C_{1}\) et \(C_{2}\) indéfiniment divisibles sont disponibles sur le marché. On appelle "panier de biens" tout couple ( \(x, y\) ) de nombres réels appartenant à l'ensemble \(D\) suivant :

\[
D=\{(x, y) \text { tels que } 0 \leqslant x, \quad 0 \leqslant y \leqslant 5, \quad 2 x+3 y \leqslant 19\}
\]

\(x, y\) désignent respectivement les quantités du bien \(C_{1}\) et du bien \(C_{2}\) qui peuvent être physiquement consommés par un agent économique.\\
Sur le marché, le prix unitaire de chacun de ces deux biens est égal à 1 .\\
On considère un consommateur ayant un revenu égal à 8 .\\
Les paniers de biens accessibles budgétairement par ce consommateur appartiennent donc à l'ensemble \(B\) des couples \((x, y)\) de \(D\) tels que \(x+y \leqslant 8\).\\
Les préférences de ce consommateur sur \(B\), sont définies de la façon suivante :\\
\((x, y)\) est préféré ou indifférent à \(\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) si et seulement si \((y-3) \exp (x+2) \geqslant\left(y^{\prime}-3\right) \exp \left(x^{\prime}+2\right)\)\\
L'application \(u\) définie sur \(B\) par :

\[
u(x, y)=(y-3) \exp (x+2), \text { pour }(x, y) \in B
\]

s'appelle la fonction d'utilité du consommateur.

\subsection*{3.1. Propriétés de la relation de préférence.}
\begin{enumerate}
  \item Justifier les propositions suivantes:\\
a. \((x, y)\) est préféré ou indifférent à \((x, y)\).\\
b. \(\mathrm{Si}(x, y)\) est préféré ou indifférent à ( \(x^{\prime}, y^{\prime}\) ) et si ( \(x^{\prime}, y^{\prime}\) ) est préféré ou indifférent à ( \(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\) ) alors ( \(x, y\) ) est préféré ou indifférent à ( \(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\) ).\\
c. \((x, y)\) est préféré ou indifférent à \(\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) ou \(\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) est préféré ou indifférent à \((x, y)\).
\end{enumerate}

\subsection*{3.2. Courbes d'indifférence.}
\begin{enumerate}
  \item Représenter graphiquement l'ensemble \(B\) dans un repère orthonormé (unités 1 cm sur chacun des axes) et déterminer les coordonnées des cinq sommets du polygone constituant le bord de \(B\).
  \item Dans ce qui suit, pour \(m\) réel, on désigne par \(A_{m}\) l'ensemble défini par :
\end{enumerate}

\[
A_{m}=\{(x, y) \in B \text { tel que } u(x, y)=m\}
\]

a. Déterminer la fonction numérique \(f_{m}\) telle que, pour \(m\) fixé on ait, pour tout élément \((x, y)\) de \(A_{m}, y=f_{m}(x)\).\\
b. Etudier et représenter dans le même repère que celui de la question 3.2.1, la fonction \(y=f_{m}(x)\) pour \(m=-8, m=0, m=8\).

\[
\left(e^{-2} \approx 0.14, e^{-3} \approx 0.05, e^{-4} \approx 0.02, e^{-5} \approx 0.007, e^{-6} \approx 0.002, e^{-7} \approx 0.001\right)
\]

c. Déterminer \(m_{0}\) pour que la courbe représentative de \(y=f_{m_{0}}(x)\) soit tangente à la droite \((T)\) d'équation :

\[
y=-\frac{2}{3} x+\frac{19}{3}
\]

Représenter \(y=f_{m_{0}}(x)\) sur le graphique.

\[
\left(e^{3} \approx 20.09, e^{2} \approx 7.39, e \approx 2.72\right)
\]

\subsection*{3.3. Recherche d'un élément maximal sur \(B\) pour la relation de préférence.}
\begin{enumerate}
  \item On admet que \(B\) est un fermé de \(\mathbb{R}^{2}\). Montrer qu'il est borné.
  \item Justifier l'existence d'un couple ( \(x_{0}, y_{0}\) ) de \(B\) préféré ou indifférent à tous les couples \((x, y)\) de \(B\).
  \item On note \(\stackrel{\circ}{B}\) l'ouvert de \(\mathbb{R}^{2}\) des couples solutions du système :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{c}
0<x \\
0<y<5 \\
2 x+3 y<19 \\
x+y<8
\end{array}\right.
\]

Montrer que \(u\) n'admet pas d'extremum local sur \(\stackrel{\circ}{B}\).\\
4. On étudie dans cette question le maximum de la fonction \(u\) sur \(B\), sous la contrainte

\[
2 x+3 y=19
\]

a. Montrer que ce problème se ramène à déterminer le maximum de la fonction \(g\) de la variable réelle, définie sur \([2,5]\) par :

\[
g(x)=\frac{10-2 x}{3} \exp (x+2)
\]

b. Déterminer ce maximum après avoir justifié son existence.\\
5. Etudier de même la recherche du maximum de la fonction \(u\) sur \(B\), sous chacune des quatre autres contraintes:

\[
x+y=8, \quad x=0, \quad y=0, \quad y=5
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Déduire de ce qui précède la valeur du couple ( \(x_{0}, y_{0}\) ).
\end{enumerate}

\subsection*{3.4. Etude de deux tests d'arrêt.}
On considère l'épreuve qui consiste à effectuer une série de sondages sur un ensemble de consommateurs du bien \(C_{1}\).\\
Toute personne interrogée se voit attribuer un numéro.\\
Pour tout \(i\) de \(\mathbb{N}^{*}\), le numéro \(X_{i}\) affecté au \(i^{\text {ème }}\) consommateur interrogé est une variable aléatoire.\\
Les variables \(\left(X_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}^{*}}\) sont mutuellement indépendantes.\\
On définit deux tests qui conditionnent l'arrêt de l'enquête :

\begin{itemize}
  \item Test \(I\) : le sondage s'arrête dès que le numéro d'un consommateur est supérieur ou égal au numéro du consommateur précédemment interrogé.
  \item Test II : le sondage s'arrête dès que la somme des numéros des consommateurs est supérieure strictement à l'entier \(N\), avec \(N\) supérieur ou égal à 2 .\\
Enfin, on note \(T_{1}\) (respectivement \(T_{2}\) ) la variable aléatoire réelle discrète égale au nombre de personnes interrogées, l'enquête ayant été interrompue par le Test I (respectivement le Test II).
\end{itemize}

\subsection*{3.4.1. Partie 1}
On suppose que les variables \(\left(X_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}^{*}}\) suivent la même loi, une loi uniforme sur l'ensemble \(\{1,2, \ldots, N\}\).\\
Par convention : \(C_{n}^{j}=0\) pour \(j>n\).

\section*{Etude d'un cas particulier.}
\begin{enumerate}
  \item Pour cette question seulement, \(N=3\).\\
a. Donner la loi des variables \(T_{1}\) et \(T_{2}\).\\
b. Calculer leur espérance et leur variance.
\end{enumerate}

\section*{Etude de la loi de \(T_{1}\).}
\begin{enumerate}
  \item Quel est l'ensemble \(T_{1}(\Omega)\) des valeurs prises par la variable \(T_{1}\) ?
  \item Montrer que pour tout entier \(n \geqslant 0\), la probabilité de l'événement \(\left\{T_{1}>n\right\}\) est donnée par :
\end{enumerate}

\[
p\left\{T_{1}>n\right\}=\frac{C_{N}^{n}}{N^{n}}
\]

En déduire la loi de \(T_{1}\).\\
3. Montrer que l'espérance de \(T_{1}\) est donnée par :

\[
E\left(T_{1}\right)=\left(1+\frac{1}{N}\right)^{N}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item De même, prouver que :
\end{enumerate}

\[
E\left(T_{1}^{2}-T_{1}\right)=2\left(1+\frac{1}{N}\right)^{N-1}
\]

En déduire la variance \(V\left(T_{1}\right)\) de \(T_{1}\) en fonction de \(N\).\\
5. Donner les limites de \(E\left(T_{1}\right)\) et \(V\left(T_{1}\right)\) lorsque \(N\) tend vers l'infini .

\section*{Etude de la loi de \(T_{2}\).}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tous entiers naturels \(r, n\) :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=0}^{r} C_{k}^{n}=C_{r+1}^{n+1}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Quel est l'ensemble \(T_{2}(\Omega)\) des valeurs prises par la variable \(T_{2}\) ?
  \item Par récurrence sur l'entier \(n\) inférieur ou égal à \(N\), prouver que :
\end{enumerate}

\[
\forall j \in\{1,2, \ldots N\} \quad p\left\{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n} \leqslant j\right\}=\frac{C_{j}^{n}}{N^{n}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item En déduire la loi de \(T_{2}\).
  \item Quelle est votre conclusion ?
\end{enumerate}

\subsection*{3.4.2.- Partie 2}
On suppose que les variables \(\left(X_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}^{*}}\) sont des variables aléatoires absolument continues qui suivent une loi uniforme sur le segment \([1, N]\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que la densité de probabilité \(f_{n}\) d'une somme de \(n\) variables aléatoires, indépendantes, suivant la même loi uniforme sur le segment \([0,1]\), est donnée sur l'intervalle \([0,1]\) par :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in[0,1] \quad f_{n}(x)=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Prouver que si la variable \(X\) suit une loi uniforme sur le segment \([1, N]\), alors la variable \(Y\), définie par \(X=1+(N-1) Y\), suit une loi uniforme sur le segment \([0,1]\).
  \item En déduire la loi de \(T_{2}\).
\end{enumerate}

\end{document}