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\title{MATHÉMATIQUES option SCIENTIFIQUE }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
aux concours des Ecoles\\
\includegraphics[max width=\textwidth, alt={}, center]{e287b877-751c-4f5e-b167-ac30e78da96e-1_31_1279_387_184}

CONCOURS D'ADMISSION 2003

lundi 28 avril 2003 de 8 h 00 à 12 h 00\\
durée : 4 heures

Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
Aucun document n'est autorisé.\\
L'énoncé comporte 8 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.

\section*{1. EXERCICE.}
On considère la suite de nombres réels \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par la relation de récurrence :

\[
\left\{\begin{array}{l}
u_{n+1}=u_{n}+u_{n}^{2} \\
u_{0}=a, \quad a \in \mathbb{R}^{+*}
\end{array}\right.
\]

\subsection*{1.1. Convergence de \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que cette suite est strictement positive et monotone.
  \item Montrer que cette suite diverge vers l'infini.
\end{enumerate}

\subsection*{1.2. Comportement asymptotique de \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).}
On définit la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) par :

\[
v_{n}=\frac{1}{2^{n}} \ln u_{n}
\]

\begin{enumerate}
  \item Prouver que pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}\) :
\end{enumerate}

\[
v_{n+1}-v_{n}=\frac{1}{2^{n+1}} \ln \left(1+\frac{1}{u_{n}}\right)
\]

En déduire que quels que soient les entiers naturels \(p\) et \(n\) :

\[
0<v_{n+p+1}-v_{n+p} \leqslant \frac{1}{2^{n+p+1}} \ln \left(1+\frac{1}{u_{n}}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item En déduire que quels que soient les entiers naturels \(k\) et \(n\) :
\end{enumerate}

\[
0<v_{n+k+1}-v_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n}} \ln \left(1+\frac{1}{u_{n}}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Démontrer que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est majorée, puis qu'elle converge vers une limite notée \(\alpha\).
  \item Montrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n} \leqslant \exp \left(\alpha 2^{n}\right)
\]

En passant à la limite pour \(n\) fixé dans l'encadrement 1.2 .2 , montrer que :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad \exp \left(\alpha 2^{n}\right) \leqslant u_{n}+1
\]

En déduire, lorsque \(n\) tend vers l'infini, l'équivalent suivant :

\[
u_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \exp \left(\alpha 2^{n}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item On pose :
\end{enumerate}

\[
\beta_{n}=\exp \left(\alpha 2^{n}\right)-u_{n}
\]

Montrer que la suite \(\left(\beta_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est bornée et qu'elle vérifie la relation suivante :

\[
2 \beta_{n}-1=\left(\beta_{n+1}+\beta_{n}^{2}-\beta_{n}\right) \exp \left(-\alpha 2^{n}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Prouver enfin que lorsque \(n\) tend vers l'infini :
\end{enumerate}

\[
u_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{=}-\frac{1}{2}+\exp \left(\alpha 2^{n}\right)+o(1)
\]

\section*{2. EXERCICE.}
Dans cet exercice, on adopte les notations suivantes :\\
\(M_{n}(\mathbb{R})\) : ensemble des matrices carrées d'ordre \(n\), à coefficients réels ( \(n\) entier naturel non nul).\\
\(S_{n}(\mathbb{R})\) : le sous-espace vectoriel de \(M_{n}(\mathbb{R})\) des matrices symétriques.\\
\(A_{n}(\mathbb{R})\) : le sous-espace vectoriel de \(M_{n}(\mathbb{R})\) des matrices antisymétriques.\\
On rappelle qu'une matrice \(A\) de \(M_{n}(\mathbb{R})\) est antisymétrique si :

\[
{ }^{t} A=-A
\]

\({ }^{t} A\) étant la matrice transposée de \(A\).\\
On définit les applications \(\operatorname{Tr}\) et \(\varphi\) par :\\
Pour toute matrice \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}\) et \(B\) de \(M_{n}(\mathbb{R}), \quad \operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \quad, \varphi(A, B)=\operatorname{Tr}\left({ }^{t} A B\right)\)

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(T r\) est une application linéaire de \(M_{n}(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\) qui vérifie :
\end{enumerate}

\[
\forall A \in M_{n}(\mathbb{R}), \forall B \in M_{n}(\mathbb{R}) \quad \operatorname{Tr}(A B)=\operatorname{Tr}(B A)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Prouver que \(T r\) est surjective. Donner la dimension du noyau de \(T r\).
  \item Prouver que \(\varphi\) définit un produit scalaire dont la norme associée, ||||, vérifie :
\end{enumerate}

\[
\forall A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}} \in M_{n}(\mathbb{R}), \quad\|A\|^{2}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j}^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Etablir que :
\end{enumerate}

\[
\forall A \in M_{n}(\mathbb{R}) \quad|\operatorname{Tr}(A)| \leqslant \sqrt{n}\|A\|
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Démontrer que \(S_{n}(\mathbb{R})\) et \(A_{n}(\mathbb{R})\) sont deux sous-espaces supplémentaires orthogonaux de \(M_{n}(\mathbb{R})\) pour \(\varphi\).
  \item Soit \(M=\left(m_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}\). En déduire que pour toute matrice \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}\) de \(M_{n}(\mathbb{R})\),
\end{enumerate}

\[
\underset{M \in S_{n}(\mathbb{R})}{\operatorname{Min}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(a_{i j}-m_{i j}\right)^{2} \text { existe et vaut } \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(a_{i j}-a_{j i}\right)^{2}
\]

\section*{3. PROBLEME.}
On rappelle que :

\begin{itemize}
  \item La fonction \(\Gamma\) est la fonction définie pour \(x>0\) par :
\end{itemize}

\[
\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty} t^{x-1} \exp (-t) d t
\]

\begin{itemize}
  \item Si \(X\) suit une loi normale et si \(\alpha\) est un réel non nul alors \(\alpha X\) suit également une loi normale.\\
On admettra que \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\).
\end{itemize}

\section*{3.1.}
On considère la variable aléatoire \(Y_{\pi}=\sum_{k=1}^{n} X_{i}^{2}\), où \(X_{1}, X_{2}, \ldots \ldots, X_{n}\) sont \(n\) variables aléatoires indépendantes, suivant toutes une loi normale centrée réduite.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la fonction de répartition \(F_{Y_{1}}\) de \(Y_{1}=X_{1}^{2}\).
  \item En déduire que \(Y_{1}\) est une variable aléatoire qui suit une loi gamma dont on précisera les paramètres.
  \item Justifier que \(Y_{n}\) suit une loi gamma de paramètres \(\left(2, \frac{n}{2}\right)\).
  \item Donner les valeurs de l'espérance \(E\left(Y_{n}\right)\) et de la variance \(V\left(Y_{n}\right)\) de \(Y_{n}\).
  \item On dit alors que \(Y_{n}\) suit une loi du \(C h i\) - deux à \(n\) degrés de liberté, notée \(\chi^{2}(n)\). Soient \(G_{n}\) la fonction de répartition de \(Y_{n}\) et \(\beta\) un réel dans l'intervalle \(] 0,1[\).\\
Montrer qu'il existe un réel unique \(t\) tel que \(G_{n}(t)=\beta\). Ce réel est alors noté \(\chi_{\beta}^{2}(n)\)\\
Dans la suite du problème on considère \(\left(X_{i}\right)_{i \geqslant 1}\) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une même loi normale \(\mathcal{N}(m, \sigma)\). L'objet des questions suivantes est de déterminer une estimation ponctuelle (3.2) puis une estimation par intervalle de confiance (3.3 et 3.4) de la variance \(\sigma^{2}\).
\end{enumerate}

Si \(g\) est une fonction de \(n\) variables réelles, et que \(Z_{n}=g\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)\), on rappelle que :

\begin{itemize}
  \item \(g\) est un estimateur de \(\theta\left(Z_{n}\right.\) est un estimateur de \(\left.\theta\right)\) lorsque :
\end{itemize}

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} E\left(Z_{n}\right)=\theta
\]

\begin{itemize}
  \item L'estimateur \(Z_{n}\) est dit sans biais lorsque pour tout \(n\) entier naturel non nul :
\end{itemize}

\[
E\left(Z_{n}\right)=\theta
\]

\begin{itemize}
  \item L'estimateur \(Z_{n}\) est dit convergent lorsque :
\end{itemize}

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} V\left(Z_{n}\right)=0
\]

\subsection*{3.2. Estimation ponctuelle de \(\sigma^{2}\).}
Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose :

\[
F_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, \quad V_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-F_{n}\right)^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\left(F_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est un estimateur convergent sans biais de \(m\).
  \item Soit \(n\) un entier naturel non nul.\\
a. Démontrer que :
\end{enumerate}

\[
V_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)^{2}
\]

puis que :

\[
V_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}-\left(F_{n}-m\right)^{2}
\]

b. Prouver que :

\[
E\left(V_{n}\right)=\frac{n-1}{n} \sigma^{2}
\]

c. En déduire un estimateur sans biais de \(\sigma^{2}\).

\subsection*{3.3. Estimation par intervalle de confiance de \(\sigma^{2}, m\) étant connue.}
Pour \(n\) entier supérieur à 2 , on pose :

\[
U_{n}=\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2} \text { et } T_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(U_{n}\) suit une loi du \(C h i-d e u x\) à \(n\) degrés de liberté.
  \item Montrer l'égalité des événements :
\end{enumerate}

\[
\left[\frac{n T_{n}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n)} \leqslant \sigma^{2} \leqslant \frac{n T_{n}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n)}\right] \text { et }\left[\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n) \leqslant U_{n} \leqslant \chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n)\right]
\]

En déduire que la probabilité de l'événement \(\left[\frac{n T_{n}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n)} \leqslant \sigma^{2} \leqslant \frac{n T_{n}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n)}\right]\) est \(1-\alpha\).

\subsection*{3.4. Estimation par intervalle de confiance de \(\sigma^{2}, m\) étant inconnue.}
\(M_{n, 1}(\mathbb{R})\) désigne l'ensemble des matrices à \(n\) lignes et 1 colonne à coefficients réels et \(I d_{\mathbb{R}^{n}}\) l'identité de \(\mathbb{R}^{n}\).\\
Pour \(n\) entier supérieur à 2 , on pose :

\[
M_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, \quad S_{n}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-M_{n}\right)^{2}, \quad U_{n}=\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-M_{n}\right)^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \item Soit \(\varphi\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) dont la matrice dans la base canonique est \(A\) définie par :
\end{enumerate}

\[
A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\
1 \leqslant j \leqslant n}} \text { avec }\left\{\begin{array}{l}
a_{i i}=n-1 \\
a_{i j}=-1 \quad \text { si } i \neq j
\end{array}\right.
\]

et \(B\) la matrice de \(M_{n, 1}(\mathbb{R})\) dont tous les éléments sont égaux à 1 .\\
a. Justifier que \(A\) est une matrice diagonalisable.\\
b. Calculer le produit \(A B\), en déduire une valeur propre de \(A\) et un vecteur propre de \(A\) associé à cette valeur propre.\\
c. Montrer que :

\[
\operatorname{dim} \operatorname{Im}\left(\varphi-n I d_{\mathbb{R}^{n}}\right)=1
\]

d. En déduire la dimension de \(\operatorname{Ker}\left(\varphi-n I d_{\mathbb{R}^{n}}\right)\), les valeurs propres et les sousespaces propres de la matrice \(A\).\\
e. Soit \(W=\left(\begin{array}{c}w_{1} \\ w_{2} \\ \vdots \\ w_{n}\end{array}\right)\) la matrice des coordonnées d'un vecteur propre associé à la valeur propre \(n\). Prouver que : \(\sum_{i=1}^{n} w_{i}=0\).\\
f. Justifier l'existence d'une matrice \(P\) inversible dont la dernière colonne est proportionnelle à \(B\) et d'une matrice diagonale \(D\) que l'on déterminera, telle que :

\[
P^{-1} A P=D \text { avec }{ }^{t} P=P^{-1}
\]

(On ne demande pas la matrice \(P\) ).\\
g. On note \(\left(p_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ 1 \leqslant j \leqslant n}}\) les coefficients de la matrice \({ }^{t} P\), montrer que :

\[
\forall i \in\{1, \ldots, n-1\}, \quad \sum_{j=1}^{n} p_{i j}=0
\]

puis que :

\[
\forall i \in\{1, \ldots, n\}, \quad \sum_{j=1}^{n} p_{i j}^{2}=1
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Soit \(q\) l'application de \(M_{n, 1}(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :
\end{enumerate}

\[
\forall X=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right) \in M_{n, 1}(\mathbb{R}), \quad q(X)={ }^{t} X M X \quad \text { où } M=\frac{1}{n} A
\]

a. On pose \(Y={ }^{t} P X\), montrer que:

\[
q(X)=\frac{1}{n}^{t} Y D Y
\]

puis que :

\[
q(X)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} x_{j}\right)^{2}
\]

b. En utilisant l'écriture \(q(X)=\frac{1}{n}^{t} Y D Y\), montrer que:

\[
q(X)=\sum_{i=1}^{n-1}\left(\sum_{j=1}^{n} p_{i j} x_{j}\right)^{2}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Pour tout \(i\) de l'ensemble \(\{1, \ldots, n-1\}\) on pose:
\end{enumerate}

\[
Y_{i}=\sum_{j=1}^{n} p_{i j} X_{j}
\]

a. Justifier que \(Y_{i}\) suit une loi normale puis montrer que \(E\left(Y_{i}\right)=0\) et \(V\left(Y_{i}\right)=\sigma^{2}\).\\
b. En utilisant les résultats de la question 3.4.2, montrer que :

\[
U_{n}=\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n-1} Y_{i}^{2}
\]

c. En admettant que les \(\left(Y_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant n-1}\) sont mutuellement indépendantes, justifier que \(U_{n}\) suit une loi du \(C h i-d e u x\) à \(n-1\) degrés de liberté.\\
d. Montrer que les événements :

\[
\left[\frac{(n-1) S_{n}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)} \leqslant \sigma^{2} \leqslant \frac{(n-1) S_{n}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)}\right] \text { et }\left[\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1) \leqslant U_{n} \leqslant \chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)\right]
\]

sont égaux.\\
e. En déduire que la probabililité de l'événement :

\[
\left[\frac{(n-1) S_{n}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)} \leqslant \sigma^{2} \leqslant \frac{(n-1) S_{n}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)}\right]
\]

est \(1-\alpha\).


\end{document}