\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{1. EXERCICE.}
\(M_{n}(\mathbb{R})\) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre \(n\) à coefficients réels ( \(n \geqslant 1\) ) et \(E\) l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n-1\). On considère une matrice \(S\) de \(M_{n}(\mathbb{R})\) admettant \(n\) valeurs propres réelles \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\) distinctes deux à deux.\\
L'objet de l'exercice est de montrer que, si \(k\) est un entier naturel impair et si une matrice \(A\) de \(M_{n}(\mathbb{R})\) commute avec \(S^{k}\), alors elle commute avec \(S\).\\
Dans la dernière question on étudiera un contre-exemple.

\begin{enumerate}
  \item Justifier l'existence d'une matrice \(P\) inversible telle que la matrice \(P^{-1} S P\) soit une matrice \(D\) diagonale.\\
Dans la suite de l'exercice un entier naturel impair \(k\) est fixé.
  \item On considère l'application \(f\) de \(E\) dans \(\mathbb{R}^{n}\) qui à tout polynôme \(T\) fait correspondre le vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) défini par :
\end{enumerate}

\[
f(T)=\left(T\left(\lambda_{1}^{k}\right), T\left(\lambda_{2}^{k}\right), \ldots, T\left(\lambda_{n}^{k}\right)\right)
\]

a. Montrer que \(f\) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.\\
b. En déduire l'existence d'un unique polynôme \(U\) de \(E\) tel que :

\[
U\left(\lambda_{1}^{k}\right)=\lambda_{1}, U\left(\lambda_{2}^{k}\right)=\lambda_{2}, \ldots, U\left(\lambda_{n}^{k}\right)=\lambda_{n}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Prouver que le polynôme \(R\), défini par :
\end{enumerate}

\[
R(X)=U\left(X^{k}\right)-X
\]

est un polynôme annulateur de \(D\) puis de \(S\).\\
4. Soit une matrice \(A\) de \(M_{n}(\mathbb{R})\) vérifiant \(A S^{k}=S^{k} A\).\\
a. Montrer que pour tout entier naturel \(p\),

\[
A S^{p k}=S^{p k} A
\]

b. En déduire que les matrices \(A\) et \(S\) commutent, c'est-à-dire que :

\[
A S=S A
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item On considère les deux matrices \(A\) et \(S\) de \(M_{2}(\mathbb{R})\) suivantes :
\end{enumerate}

\[
A=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
2 & 2
\end{array}\right), S=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
\]

a. Vérifier que \(S\) possède deux valeurs propres distinctes.\\
b. Montrer que \(A\) commute avec toute puissance paire de \(S\), mais ne commute pas avec \(S\).

\section*{2. EXERCICE.}
On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(I=\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\) par :

\[
f(x)=\frac{1}{\cos x}
\]

ainsi que la suite réelle \(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) suivante :

\[
\left\{\begin{array}{l}
I_{0}=\frac{\pi}{4} \\
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[f(x)]^{n} d x
\end{array}\right.
\]

\subsection*{2.1. Etude de la bijection réciproque de \(f\).}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) dans un intervalle \(J\) que l'on précisera. On note \(f^{-1}\) la bijection réciproque.
  \item Donner sur le même graphique l'allure des courbes représentatives de \(f\) et de \(f^{-1}\).
  \item Justifier que:
\end{enumerate}

\[
\forall x \in J, \quad \begin{aligned}
& \cos \left(f^{-1}(x)\right)=\frac{1}{x} \\
& \sin \left(f^{-1}(x)\right)=\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}
\end{aligned}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J \backslash\{1\}\) et montrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in J \backslash\{1\}, \quad\left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item En déduire le développement limité en \(\sqrt{2}\) de \(f^{-1}\) à l'ordre 1 .
\end{enumerate}

\subsection*{2.2. Etude des dérivées successives de \(f\).}
\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(f\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(I\), on note \(f^{(n)}\) la dérivée \(n^{\text {ème }}\) de \(f\) sur \(I\).
  \item Montrer que pour tout entier naturel \(n\) non nul, il existe un polynôme \(P_{n}\) tel que:
\end{enumerate}

\[
\forall x \in I, \quad f^{(n)}(x)=\frac{P_{n}(\sin x)}{\cos ^{n+1}(x)}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Déterminer les polynômes \(P_{1}\) et \(P_{2}\).
  \item Montrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad P_{n+1}=\left(1-X^{2}\right) P_{n}^{\prime}+(n+1) X \cdot P_{n}
\]

En déduire le polynôme \(P_{3}\).\\
5. Déterminer, pour tout entier naturel \(n\) non nul, le degré et le coefficient dominant du polynôme \(P_{n}\).

\subsection*{2.3. Etude de la suite d'intégrales.}
\begin{enumerate}
  \item Justifier que la suite \(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est bien définie. Calculer \(I_{2}\).
  \item Déterminer les réels \(a\) et \(b\), tels que :
\end{enumerate}

\[
\forall t \in \mathbb{R} \backslash\{-1,1\}, \quad \frac{1}{1-t^{2}}=\frac{a}{1-t}+\frac{b}{1+t}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item En posant \(t=\sin x\), déterminer \(I_{1}\).
  \item Déterminer le sens de variation de la suite \(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\).
  \item Montrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad I_{n} \geqslant \int_{\frac{\pi}{4}-\frac{1}{n^{2}}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos ^{n} x} d x \geqslant \frac{1}{n^{2}} \frac{1}{\cos ^{n}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{n^{2}}\right)}
\]

En déduire le comportement de la suite \(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).\\
6. Montrer que :

\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad I_{n+2}=\frac{(\sqrt{2})^{n}}{n+1}+\frac{n}{n+1} I_{n}
\]

\section*{3. PROBLEME.}
\subsection*{3.1. Etude d'une variable discrète d'univers image fini.}
Deux urnes \(A\) et \(B\), initialement vides, peuvent contenir respectivement au plus \(n\) et \(m\) boules ( \(n \geqslant 1, m \geqslant 1\) ).\\
On s'intéresse au protocole suivant :

\begin{itemize}
  \item On choisit l'urne \(A\) avec la probabilité \(p \in] 0,1\) [, l'urne \(B\) avec la probabilité \(q=1-p\).
  \item On met une boule dans l'urne choisie.
  \item On répète cette épreuve autant de fois qu'il est nécessaire pour que l'une des urnes \(A\) ou \(B\) soit pleine, c'est-à-dire contienne \(n\) boules pour l'urne \(A\) ou contienne \(m\) boules pour l'urne \(B\), les choix des urnes étant mutuellement indépendants.
\end{itemize}

\subsection*{3.1.1. Préliminaires.}
On définit la suite de terme général \(a_{n}\) par :

\[
a_{n}=\frac{\sqrt{n} C_{2 n}^{n}}{4^{n}} \quad n \geqslant 1
\]

\begin{enumerate}
  \item Calculer \(a_{1}\) et, pour tout entier \(n \geqslant 1\), le rapport \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\).
  \item Démontrer que pour tout entier \(n \geqslant 1\) :
\end{enumerate}

\[
a_{n} \leqslant \sqrt{\frac{n}{2 n+1}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Donner le sens de variation de la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), et montrer qu'elle converge vers un réel \(l\) tel que :
\end{enumerate}

\[
\frac{1}{2} \leqslant l \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

On admet que \(l=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\).

\subsection*{3.1.2. Etude de cas particuliers.}
Dans cette partie seulement \(m=n\) et \(p=q=\frac{1}{2}\).\\
On note \(R_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre (éventuellement nul) de boules contenues dans l'urne qui n'est pas pleine, à l'issue de l'expérience.

\begin{enumerate}
  \item Donner les lois de \(R_{1}, R_{2}\) et \(R_{3}\). Justifier vos calculs.
  \item Calculer l'espérance et la variance de \(R_{1}, R_{2}\) et \(R_{3}\).
\end{enumerate}

Dans toute la suite du problème \(n \geq 2\).\\
3. Quel est l'ensemble \(R_{n}(\Omega)\) des valeurs prises par la variable \(R_{n}\) ?\\
4. Soit \(k\) appartenant à l'univers image \(R_{n}(\Omega)\).\\
a. Calculer la probabilité qu'à l'issue du \((n-1+k)^{\text {ème }}\) tirage l'urne \(A\) contienne \(n-1\) boules et l'urne \(B\) contienne \(k\) boules.\\
b. Donner alors la probabilité \(p\left(\left[R_{n}=k\right]\right)\).\\
5. Vérifier que :

\[
\forall k \in\{0,1, \ldots, n-2\}, \quad 2(k+1) p\left(\left[R_{n}=k+1\right]\right)=(n+k) p\left(\left[R_{n}=k\right]\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Par sommation de la relation qui précède, en déduire que :
\end{enumerate}

\[
E\left(R_{n}\right)=n-(2 n-1) p\left(\left[R_{n}=n-1\right]\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Donner alors un équivalent de \(n-E\left(R_{n}\right)\) quand \(n\) tend vers plus l'infini.
  \item De façon analogue, montrer que :
\end{enumerate}

\[
E\left(R_{n}^{2}\right)=(2 n+1) E\left(R_{n}\right)-n(n-1)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item En déduire l'expression de \(V\left(R_{n}\right)\) en fonction de \(n\) et \(E\left(R_{n}\right)\).
  \item Ecrire un algorithme, en langage Pascal, permettant de calculer l'espérance de \(R_{n}\), l'entier \(n\) étant donné par l'utilisateur.
\end{enumerate}

\subsection*{3.1.3. Retour au cas général.}
On abandonne les conditions \(m=n\) et \(p=q=\frac{1}{2}\).

\begin{enumerate}
  \item En utilisant un argument probabiliste, montrer que:
\end{enumerate}

\[
\text { (1) }: \quad q^{m} \sum_{k=0}^{n-1} p^{k} C_{m-1+k}^{m-1}+p^{n} \sum_{k=0}^{m-1} q^{k} C_{n-1+k}^{n-1}=1
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item On pose \(u_{m}=\sum_{k=0}^{m-1} q^{k} C_{n-1+k}^{n-1}\)\\
a. Etudier le sens de variation de la suite \(\left(u_{m}\right)_{m \in \mathbb{N}^{*}}\) et donner à l'aide de la relation (1) un majorant de \(u_{m}\) ne dépendant pas de \(m\).\\
Etablir alors la convergence de la suite \(\left(u_{m}\right)_{m \in \mathbb{N}^{*}}\).\\
b. Pour \(k \in\{0, \ldots, n-1\}\), donner un équivalent de \(C_{m-1 \div k}^{m-1}\) lorsque \(m\) tend vers \(+\infty\).\\
c. En déduire l'existence et la valeur de la limite suivante :
\end{enumerate}

\[
\lim _{m \rightarrow+\infty} q^{m} \sum_{k=0}^{n-1} p^{k} C_{m-1+k}^{m-1}
\]

d. Prouver alors que :

\[
\lim _{m \rightarrow-\infty} u_{m}=\frac{1}{p^{n}}
\]

\subsection*{3.2. Etude d'une variable discrète d'univers image infini.}
Dans cette dernière partie l'urne \(B\), initialement vide, a une capacité illimitée et l'urne \(A\), initialement vide, peut contenir au plus \(n\) boules ( \(n \geqslant 1\) ).\\
On s'intéresse au protocole suivant :

\begin{itemize}
  \item On choisit l'urne \(A\) avec la probabilité \(p \in] 0,1[\), l'urne \(B\) avec la probabilité \(q=1-p\).
  \item On met une boule dans l'urne choisie.
  \item On répète cette épreuve autant de fois qu'il est nécessaire pour que l'urne \(A\) soit pleine, c'est-à-dire contienne \(n\) boules, les choix successifs des urnes étant mutuellement indépendants.\\
On note alors \(T_{n}\) le nombre (éventuellement nul) de boules contenues dans l'urne \(B\) et \(\left(Z_{j}\right)_{j \in\{1, \ldots, n\}}\), les variables aléatoires définies de la façon suivante :
  \item \(Z_{1}\) compte le nombre de boules mises dans \(B\) avant de mettre la première boule dans A.
  \item Pour tout entier \(j\) de \(\{2, \ldots, n\}, Z_{j}\) compte le nombre de boules mises dans \(B\) entre la \((j-1)^{\text {ème }}\) boule et la \(j^{\text {ème }}\) boule mises dans \(A\).\\
On admet que \(T_{n}\) est une variable aléatoire.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Quel est l'ensemble \(T_{n}(\Omega)\) des valeurs prises par la variable \(T_{n}\) ?
  \item Pour tout entier naturel \(k\) appartenant à \(T_{n}(\Omega)\), donner la valeur de \(p\left(\left[T_{n}=k\right]\right)\).
  \item Vérifier que :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=0}^{+\infty} P\left(\left[T_{n}=k\right]\right)=1
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Pour tout entier \(j\) de \(\{1, \ldots, n\}\), donner la loi, l'espérance, la variance de \(Z_{j}\).
  \item Exprimer \(T_{n}\) en fonction des variables \(\left(Z_{j}\right)_{1 \leqslant j \leqslant n}\) et de l'entier \(n\).
  \item En déduire l'espérance et la variance de la variable \(T_{n}\).
\end{enumerate}

\end{document}