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\title{MATHÉMATIQUES Option Scientifique }

\author{Lundi 2 mai 2005 de 8 h00 à 12 h00\\
Durée : 4 heures}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{CONCOURS D'ADMISSION 2005}
Candidat bénéficiant de la mesure «Tiers-temps»: 8h00-13h20\\
Aucun document n'est autorisé. Aucun instrument de calcul n'est autorisé.

\section*{L'énoncé comporte 6 pages}
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

\section*{1. EXERCICE}
L'espace \(\mathbb{R}^{3}\) est muni de son produit scalaire usuel. Trois réels \(a, b, c\) étant donnés, on pose :

\[
M(a, b, c)=\left[\begin{array}{ccc}
a & c & b \\
c & a+b & c \\
b & c & a
\end{array}\right]
\]

\begin{enumerate}
  \item Déterminer trois matrices \(I, J, K\) dont les coefficients ne dépendent pas de \(a, b, c\),telles que :
\end{enumerate}

\[
M(a, b, c)=a I+b J+c K
\]

Calculer \(J^{2}, K^{2}\) et \(K^{3}\). Déterminer une relation entre \(I, J\) et \(K^{2}\), ainsi qu'un polynôme annulateur de \(K\).\\
Quelles sont les valeurs propres possibles de \(K\) ?\\
2. Justifier qu'il existe une matrice \(P \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) inversible, telle que \(D=\left({ }^{t} P\right) K P\) soit une matrice diagonale.\\
Déterminer \(P\) et \(D\) vérifiant les conditions précédentes et telles que \(d_{11}<d_{22}<d_{33}\) (où \(d_{i j}\) est le coefficient d'indices \(i, j\) de \(D\).)\\
3. En écrivant \(M=M(a, b, c)\) en fonction de \(I, K, K^{2}\), déterminer la matrice \(\left({ }^{t} P\right) M P\). En déduire les valeurs propres de la matrice \(M\).\\
Discuter suivant les valeurs de \(a, b, c\) le nombre de valeurs propres distinctes de \(M\) et préciser dans chaque cas les sous-espaces propres associés.\\
4. On suppose dans cette question \(a=4, b=2, c=\sqrt{2}\) et on note \(M=M(4,2, \sqrt{2})\).

On pose \(X^{\prime}=\left(\begin{array}{c}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)=\left({ }^{t} P\right) X\), où \(X=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right)\)\\
a. On définit la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}^{3} \backslash\{(0,0,0)\}\) par :

\[
f(x, y, z)=\frac{\left({ }^{t} X\right) M X}{\|X\|^{2}}
\]

i. Montrer que \(\|X\|^{2}=\left\|X^{\prime}\right\|^{2}\) puis que

\[
f(x, y, z)=\frac{4 x^{\prime 2}+2 y^{\prime 2}+8 z^{\prime 2}}{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}
\]

ii. Montrer que 2 et 8 sont respectivement les minimum et maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{3} \backslash\{(0,0,0)\}\) et déterminer les points en lesquels ils sont atteints.\\
b. On cherche désormais à résoudre l'équation \(B^{2}=M\) d'inconnue \(B \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).\\
i. Soit \(B\) une solution de l'équation (s'il en existe).

Montrer que \(B\) et \(M\) commutent.\\
En déduire que si \(X\) appartient au sous-espace propre \(E_{\lambda}\) de \(M\) attaché à la valeur propre \(\lambda\), alors \(B X\) appartient aussi à \(E_{\lambda}\).\\
Montrer que les vecteurs propres de \(M\) sont également vecteurs propres de \(B\).\\
Justifier alors que \(\Delta=\left({ }^{t} P\right) B P\) est une matrice diagonale.\\
ii. Résoudre l'équation \(\Delta^{2}=\left({ }^{t} P\right) M P\) d'inconnue \(\Delta\) et donner le nombre de solutions de l'équation \(B^{2}=M\).

\section*{2. EXERCICE.}
On définit une suite réelle \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) par :

\[
u_{0} \geqslant 0 \text { et, pour } n \geqslant 1, \quad u_{n}=\sqrt{n+u_{n-1}}
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout entier \(n, u_{n} \geqslant \sqrt{n}\).
  \item 
\end{enumerate}

a. Montrer que :

\[
\forall x \in \mathbb{R}^{+}, \sqrt{x} \leqslant \frac{1}{2}(1+x) .
\]

b. En déduire que pour tout entier \(n, u_{n} \leqslant n+\frac{u_{0}}{2^{n}}\) puis que la suite \(\left(\frac{u_{n-1}}{n^{2}}\right)_{n \geqslant 1}\) converge vers 0 .\\
c. Montrer que la suite \(\left(\frac{u_{n}}{n}\right)_{n \geqslant 1}\) converge vers 0 , puis en remarquant que, pour tout entier \(n\) non nul, \(1 \leqslant \frac{u_{n}}{\sqrt{n}} \leqslant \sqrt{1+\frac{u_{n-1}}{n}}\), en déduire un équivalent de \(u_{n}\) en \(+\infty\).\\
3. On pose \(w_{n}=u_{n}-\sqrt{n}\). A l'aide d'un développement limité en 0 de \(\sqrt{1+x}\), montrer que la suite \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) admet une limite \(L\) que l'on précisera.\\
4. Calculer

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty}(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) \quad \text { puis } \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}-u_{n-1}\right) .
\]

Justifier alors qu'il existe un entier naturel \(N_{0}\) tel que pour tout entier \(n\), si \(n \geqslant N_{0}\) alors \(u_{n} \geqslant u_{n-1}-\frac{1}{2}\).\\
Montrer que \(u_{n+1}-u_{n}\) est du signe de \(1+u_{n}-u_{n-1}\), puis que la suite ( \(u_{n}\) ) est croissante à partir d'un certain rang.\\
5. Ecrire en langage Pascal une fonction récursive ayant pour nom suite qui calcule le terme d'indice \(n\) de la suite lorsque \(u_{0}=1\).

\section*{3. PROBLEME.}
\(X\) et \(Y\) étant deux variables aléatoires réelles, définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, admettant pour densités respectives \(f_{X}\) et \(f_{Y}\), on rappelle que la fonction \(h\) définie par

\[
h(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(t) f_{Y}(x-t) d t
\]

est une densité de la variable aléatoire \(X+Y\).

\section*{Partie I: Un calcul d'intégrale.}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer pour quelles valeurs du réel \(\alpha\) l'intégrale \(J_{\alpha}\) converge où
\end{enumerate}

\[
J_{\alpha}=\int_{0}^{+\infty} \frac{d t}{\left(1+t^{2}\right)^{\alpha}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item A l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout réel \(\alpha\) supérieur ou égal à 1 on a :
\end{enumerate}

\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{\alpha+1}} d t=\frac{1}{2 \alpha} J_{\alpha}
\]

En déduire que, pour tout réel \(\alpha\) supérieur ou égal à 1 on a :

\[
J_{\alpha+1}=\frac{2 \alpha-1}{2 \alpha} J_{\alpha}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Calculer \(J_{1}\).
\end{enumerate}

Pour \(n\) entier supérieur ou égal à 1 , calculer \(J_{n}\).

\section*{Partie II : Loi de Student à \(n\) degrés de liberté.}
Pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on définit sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(g_{n}\) par :

\[
\forall t \in \mathbb{R}, \quad g_{n}(t)=\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), il existe un réel \(k_{n}\) tel que la fonction \(f_{n}=\frac{1}{k_{n}} g_{n}\) soit une densité de probabilité.\\
Exprimer \(k_{n}\) à l'aide de \(\frac{J_{n+1}}{2}\). (On pourra, en justifiant sa validité, utiliser le changement de variables \(u=\frac{t}{\sqrt{n}}\) ).
  \item Soient ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ) un espace probabilisé et \(X\) une variable aléatoire définie sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), de densité \(f_{n}\). (On dira que \(X\) suit une loi de Student à \(n\) degrés de liberté).\\
a. Montrer que \(X\) admet une espérance si et seulement si \(n>1\) et la calculer dans ce cas.\\
b. Montrer que \(X\) admet une variance si et seulement si \(n>2\), exprimer \(V(X)\) en fonction de \(k_{n}, n\) et \(\frac{J_{n-1}}{2}\) puis vérifier que
\end{enumerate}

\[
V(X)=\frac{n}{n-2}
\]

Lorsque \(n=1\) la loi de Student à 1 degré de liberté s'appelle loi de Cauchy et une densité sur \(\mathbb{R}\) est donc :

\[
f_{1}: t \mapsto \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+t^{2}}
\]

\section*{Partie III : Simulation d'une loi.}
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct ( \(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}\) ), un rayon lumineux part de l'origine \(O\) et frappe un écran représenté par la droite d'équation \(x=1\), en un point \(M\). On suppose que \(\Theta\), mesure de l'angle ( \(\vec{\imath}, \overrightarrow{O M}\) ), est une variable aléatoire de loi uniforme sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\).

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(\tan \Theta\). En déduire que \(\tan \Theta\) est une variable aléatoire à densité, dont on explicitera une densité.
  \item Exprimer \(Y\), variable aléatoire égale à l'ordonnée du point \(M\), en fonction de \(\Theta\). Reconnaître la loi de \(Y\).
  \item On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random simule une variable aléatoire de loi uniforme sur \(] 0,1[\). On considère le programme informatique suivant :
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
program simu;
var u,x:real;
begin
randomize;
u:=random;
x:= = sin}(pi*u-pi/2)
end.
\end{verbatim}

Quelle loi de probabilité ce programme permet-il de simuler ? Expliquer.

\section*{Partie IV : Obtention d'une loi de Cauchy à partir de lois normales.}
On considère un espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).

\begin{enumerate}
  \item Soit \(Y\) une variable aléatoire définie sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), de fonction de répartition \(F\). On notera \(G\) la fonction de répartition de la variable aléatoire \(|Y|\).\\
a. On suppose dans cette question que \(Y\) est une variable aléatoire de densité \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\).\\
Exprimer une densité de \(-Y\) à l'aide de \(f\) et montrer que \(Y\) et \(-Y\) ont même loi si et seulement si \(f\) est paire.\\
On suppose cette condition vérifiée. Exprimer \(G\) à l'aide de \(F\) et montrer que \(|Y|\) est une variable aléatoire à densité. Exprimer une densité \(g\) de \(|Y|\) en fonction de \(f\).\\
b. Inversement, on suppose dans cette question que \(|Y|\) est une variable aléatoire de densité \(g\), et que \(Y\) et \(-Y\) ont la même loi.\\
Montrer que, pour tout réel \(x, P([Y=x])=0\), puis exprimer \(F(x)\) en fonction de \(F(-x)\)\\
Exprimer \(F(x)\) en fonction de \(G\) et de \(x\). (on pourra distinguer deux cas : \(x<0\) et \(x \geqslant 0\) ).\\
En déduire que \(Y\) est une variable à densité et exprimer une densité \(f\) de \(Y\) en fonction de \(g\).
  \item Soit e un réel strictement positif. A l'aide du changement de variable \(u=e^{2 t}\), montrer que l'intégrale
\end{enumerate}

\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2 t} e^{-\frac{c e^{2 t}}{2}} d t
\]

converge et la calculer.\\
3. Soient \(X\) et \(X^{\prime}\) deux variables aléatoires définies sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{R}^{*}\), de même densité \(\varphi\) définie par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}}
\]

a. Montrer que la variable aléatoire \(Z=\ln |X|\) est une variable aléatoire à densité, et en déterminer une densité. Quelle est une densité de la variable aléatoire \(-Z\) ?\\
b. Montrer qu'une densité \(h\) de la variable aléatoire \(\ln \left|\frac{X}{X^{\prime}}\right|\) est domnée par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, h(x)=\frac{2}{\pi} \frac{e^{x}}{e^{2 x}+1}
\]

c. Déterminer une densité de la variable aléatoire \(\left|\frac{X}{X^{\prime}}\right|\) puis reconnaitre la loi de \(\frac{X}{X^{\prime}}\).


\end{document}