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\title{En déduire que
\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} P\left(C_{n}\right)=1
\]
c. Comparer pour l'inclusion les événements \(C_{n}\) et \(C_{n+1}\). Que peut-on en déduire pour
\[
P\left(\bigcup_{i=k}^{+\infty} C_{i}\right) ?
\]
d. Justifier que
\[
\bigcup_{i=k}^{+\infty} A_{i}=\bigcup_{n=k}^{+\infty} C_{n}
\]}

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{MATHEMATIQUES}
\section*{Option SCIENTIFIQUE}
Mercredi 19 avril 2006 de 8 h 00 à 12 h 00\\
Durée : 4 heures\\
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps": 8 h 00-13 h

Aucun instrument de calcul n'est autorisé. Aucun document n'est autorisé.

L'énoncé comporte 7 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes, mais brèves, de leurs affirmations.

\section*{1. EXERCICE.}
On considère l'espace vectoriel euclidien \(\mathbb{R}^{3}\) muni de son produit scalaire canonique et on note \(\mathcal{B}=(i, j, k)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
Pour tout \((x, y) \in \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3}\) on a donc :

\[
\langle x, y\rangle={ }^{t} X Y
\]

où \(X\) et \(Y\) désignent les matrices colonnes des coordonnées de \(x\) et \(y\) dans la base \(\mathcal{B}\).\\
Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{3}, F^{\perp}\) désigne le supplémentaire orthogonal de \(F\) dans \(\mathbb{R}^{3}\).\\
On note \(\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\) l'ensemble des endomorphismes de \(\mathbb{R}^{3}\) et Id l'application identité de \(\mathbb{R}^{3}\). Pour \(f\) endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), de matrice \(M\) dans la base canonique, on note \(f^{*}\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est \({ }^{t} M\).

\subsection*{1.1. Quelques propriétés de \(f^{*}\).}
Dans cette question \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que:
\end{enumerate}

\[
\forall(x, y) \in\left(\mathbb{R}^{3}\right)^{2}, \quad\langle f(x), y\rangle=\left\langle x, f^{*}(y)\right\rangle .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Montrer que \(f^{*}\) est le seul endomorphisme \(g\) de \(\mathbb{R}^{3}\) vérifiant :
\end{enumerate}

\[
\forall(x, y) \in\left(\mathbb{R}^{3}\right)^{2}, \quad\langle f(x), y\rangle=\langle x, g(y)\rangle .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soit \(F\) un sous espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{3}\) stable par \(f\) (c'est-à-dire tel que \(f(F) \subset F\) ).\\
a. Pour \(x \in F\) et \(y \in F^{\perp}\) calculer \(\left\langle x, f^{*}(y)\right\rangle\).\\
b. En déduire que \(F^{\perp}\) est stable par \(f^{*}\).
\end{enumerate}

\subsection*{1.2. Réduction des matrices d'un ensemble \(\mathcal{E}\).}
On désigne par \(\mathcal{E}\) l'ensemble des endomorphismes \(f_{u}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est de la forme

\[
M_{u}=\left(\begin{array}{lll}
a & b & c \\
c & a & b \\
b & c & a
\end{array}\right)
\]

où \(u=(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\mathcal{E}\) est un sous espace vectoriel de \(\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\).
  \item Montrer que pour tout \(u \in \mathbb{R}^{3}, f_{u}^{*}\) appartient à \(\mathcal{E}\).
  \item On note \(e_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}(i+j+k), e_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(i-j), e_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}(i+j-2 k)\) et \(\mathcal{D}\) la droite de vecteur directeur \(e_{1}\).\\
a. Montrer que \(e_{1}\) est un vecteur propre commun aux éléments \(f_{u}\) de \(\mathcal{E}\).\\
b. En déduire que, pour tout \(u \in \mathbb{R}^{3}, \mathcal{D}\) est stable par \(f_{u}\).\\
c. Déduire des questions précédentes que, pour tout \(u \in \mathbb{R}^{3}, \mathcal{D}^{\perp}\) est stable par \(f_{u}\).\\
d. Déterminer une équation de \(\mathcal{D}^{\perp}\).\\
e. Montrer que ( \(e_{2}, e_{3}\) ) est une base orthonormale de \(\mathcal{D}^{\perp}\) et que \(\mathcal{B}^{\prime}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) est une base orthonormale de \(\mathbb{R}^{3}\).\\
f. Justifier alors que la matrice de \(f_{u}\) dans la base \(\mathcal{B}^{\prime}\) est de la forme
\end{enumerate}

\[
N_{u}=\left(\begin{array}{lll}
e & 0 & 0 \\
0 & f & g \\
0 & h & l
\end{array}\right)
\]

où \(e, f, g, h, l\) sont des réels.

\section*{2. EXERCICE.}
On considère la fonction \(f\) des deux variables réelles \(x, t\), définie par :

\[
f(x, t)=e^{-t^{2}} \sqrt{1+x t}
\]

\begin{enumerate}
  \item Etude de \(f\).\\
a. Justifier que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \([0,+\infty[\times[0,+\infty[\).\\
b. Pour \((x, t) \in[0,+\infty[\times[0,+\infty[\), calculer
\end{enumerate}

\[
\frac{\partial f}{\partial x}(x, t) \text { et } \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x, t)
\]

c. Montrer que pour \((x, t) \in[0,+\infty[\times[0,+\infty[\),

\[
\left|\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x, t)\right| \leqslant \frac{t^{2}}{4} e^{-t^{2}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Montrer que pour tout réel a strictement positif, l'intégrale
\end{enumerate}

\[
\int_{0}^{+\infty} t^{\alpha} e^{-t^{2}} d t
\]

est convergente.\\
En déduire que pour tout réel \(x\) positif, les intégrales suivantes sont convergentes :

\[
\int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} \sqrt{1+x t} d t \text { et } \int_{0}^{+\infty} \frac{t e^{-t^{2}}}{\sqrt{1+x t}} d t
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item On considère la fonction \(g\) définie sur \([0,+\infty[\) par
\end{enumerate}

\[
g(x)=\int_{0}^{+\infty} f(x, t) d t=\int_{0}^{+\infty} e^{-t^{2}} \sqrt{1+x t} d t
\]

a. Sans chercher à calculer la dérivée de \(g\), montrer que \(g\) est croissante sur \([0,+\infty[\).\\
b. Soit \(x_{0} \in[0,+\infty[\).

Montrer que pour \((x, t) \in[0,+\infty[\times[0,+\infty[\),

\[
\left|f(x, t)-f\left(x_{0}, t\right)-\left(x-x_{0}\right) \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, t\right)\right| \leqslant \frac{t^{2}}{8} e^{-t^{2}}\left|x-x_{0}\right|^{2}
\]

c. En déduire que pour \(x_{0} \in[0,+\infty[\),

\[
\left|g(x)-g\left(x_{0}\right)-\left(x-x_{0}\right) \int_{0}^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, t\right) d t\right| \leqslant \frac{\left|x-x_{0}\right|^{2}}{8} \int_{0}^{+\infty} t^{2} e^{-t^{2}} d t
\]

d. Montrer que \(g\) est dérivable sur \(\left[0,+\infty\left[\right.\right.\) et que \(g^{\prime}\) est définie par

\[
g^{\prime}(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) d t
\]

Retrouver le sens de variations de \(g\).

\section*{3. PROBLEME.}
On effectue une succession infinie de lancers indépendants d'une pièce donnant Pile avec la probabilité \(p \in] 0,1[\) et Face avec la probabilité \(q=1-p\).\\
On va s'intéresser dans ce problème aux successions de lancers amenant un même côté.\\
On dit que la première série est de longueur \(n \geqslant 1\) si les \(n\) premiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le \((n+1)^{\text {ème }}\) l'autre côté.\\
De même la deuxième série commence au lancer suivant la fin de la première série et se termine\\
(si elle se termine) au lancer précédant un changement de côté.\\
On définit de même les séries suivantes.\\
\(\Omega\) désigne l'ensemble des successions infinies de Pile ou Face.\\
Pour \(i \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(P_{i}\) l'événement "le \(i^{e m e}\) lancer amène Pile" et \(F_{i}\) l'événement contraire.\\
Les trois parties sont indépendantes.

\subsection*{3.1. Etude des longueurs de séries.}
\begin{enumerate}
  \item On note \(L_{1}\) la longueur de la première série.
\end{enumerate}

Exprimer l'événement ( \(L_{1}=n\) ) à l'aide des événements \(P_{i}\) et \(F_{i}\) pour \(i\) entier naturel variant entre 1 et \(n+1\).\\
En déduire que

\[
P\left(L_{1}=n\right)=p^{n} q+q^{n} p
\]

Vérifier que

\[
\sum_{n=1}^{+\infty} P\left(L_{1}=n\right)=1
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item On note \(L_{2}\) la longueur de la deuxième série.\\
a. Exprimer l'événement \(\left(L_{1}=n\right) \cap\left(L_{2}=k\right)\) à l'aide des événements \(P_{i}\) et \(F_{i}\) pour \(i\) entier naturel variant entre 1 et \(n+k+1\) puis calculer la probabilité de l'événement \(\left(L_{1}=n\right) \cap\left(L_{2}=k\right)\).\\
b. En déduire que, pour \(k \in \mathbb{N}^{*}\),
\end{enumerate}

\[
P\left(L_{2}=k\right)=p^{2} q^{k-1}+q^{2} p^{k-1}
\]

On admet que

\[
\sum_{k=1}^{+\infty} P\left(L_{2}=k\right)=1
\]

c. Montrer que la variable aléatoire \(L_{2}\) admet une espérance égale à 2 .

\subsection*{3.2. Etude du nombre de séries lors des \(n\) premiers lancers.}
On considère dans toute cette partie que la pièce est équilibrée, c'est-à-dire que \(p=\frac{1}{2}\). On note \(N_{n}\) le nombre de séries lors des \(n\) premiers lancers :\\
-La première série est donc de longueur \(k<n\) si les \(k\) premiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le \((k+1)^{\text {ème }}\) l'autre côté et de longueur \(n\) si les \(n\) premiers lancers ont amené le. même côté de la pièce ;\\
-La dernière série se termine nécessairement au \(n^{e ̀ m e}\) lancer.

Par exemple, si les lancers successifs donnent : FFPPPPFFPPP... (F désignant Face et P Pile), on a pour the telle succession \(\omega \in \Omega\),

\[
\begin{array}{ll}
N_{1}(\omega)=N_{2}(\omega)=1 ; & N_{3}(\omega)=\cdots=N_{6}(\omega)=2 ; \\
N_{7}(\omega)=N_{8}(\omega)=3 ; & N_{9}(\omega)=\cdots=N_{11}(\omega)=4 ;
\end{array}
\]

les données précédentes ne permettant évidemment pas de déterminer \(N_{12}(\omega)\).\\
On admettra que \(N_{n}\) est une variable aléatoire sur ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ).

\begin{enumerate}
  \item Déterminer les lois de \(N_{1}, N_{2}\) et \(N_{3}\) et donner leurs espérances.
  \item Dans le cas général où \(n \in \mathbb{N}^{*}\), déterminer \(N_{n}(\Omega)\) (ensemble des valeurs prises par \(N_{n}\) ) puis calculer les valeurs de \(P\left(N_{n}=1\right)\) et \(P\left(N_{n}=n\right)\).
  \item Simulation informatique:
\end{enumerate}

Pour \(k \in \mathbb{N}^{*}\) on note \(X_{k}\) la variable aléatoire qui vaut 1 lorsque le \(k^{e}\) me lancer amène Pile et 0 sinon.\\
On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random(2) simule une variable aléatoire de loi uniforme sur \(\{0,1\}\) (soit une loi de Bernoulli de paramètre \(1 / 2\) ). Compléter le programme informatique suivant pour que, \(m\) étant une valeur entière, inférieure à 100 , entrée par l'utilisateur, il simule les \(m\) variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}\) (dont les valeurs seront placées dans le tableau X ) et détermine les valeurs de \(N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{m}\) (qui seront stockées dans le tableau N ).\\
•

\begin{verbatim}
program simulation;
const nmax=100;
type suite=array[1..nmax]of integer;
var X, N: suite;
    m: integer;
begin
readln(m);
randomize;
X[1]:=...; N[1]:=...;
for i:=2 to m do begin
        X[i]:=...
        .....
        .....
        end;
end.
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Fonction génératrice de \(N_{n}\).
\end{enumerate}

On pose, pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et pour \(s \in[0,1]\),

\[
G_{n}(s)=\sum_{k=1}^{n} P\left(N_{n}=k\right) s^{k}
\]

a. Pour \(s \in[0,1]\), comparer l'espérance de la variable aléatoire \(s^{N_{n}}\) avec \(G_{n}(s)\).\\
b. Que représente \(G_{n}^{\prime}(1)\) ?\\
c. Montrer que pour tout \(n \geqslant 2\) et tout \(k \in\{1, \cdots, n\}\) on a

\[
P\left(\left(N_{n}=k\right) \cap P_{n}\right)=\frac{1}{2} P\left(\left(N_{n-1}=k\right) \cap P_{n-1}\right)+\frac{1}{2} P\left(\left(N_{n-1}=k-1\right) \cap F_{n-1}\right) .
\]

On admet que l'on obtiendrait de même

\[
P\left(\left(N_{n}=k\right) \cap F_{n}\right)=\frac{1}{2} P\left(\left(N_{n-1}=k\right) \cap F_{n-1}\right)+\frac{1}{2} P\left(\left(N_{n-1}=k-1\right) \cap P_{n-1}\right) .
\]

Montrer alors que

\[
P\left(N_{n}=k\right)=\frac{1}{2} P\left(N_{n-1}=k\right)+\frac{1}{2} P\left(N_{n-1}=k-1\right)
\]

d. Soit \(n \geqslant 2\). Montrer que

\[
G_{n}(s)=\frac{1+s}{2} G_{n-1}(s)
\]

Calculer \(G_{1}(s)\) et en déduire que

\[
G_{n}(s)=\left(\frac{1+s}{2}\right)^{n-1} s
\]

e. Déterminer le nombre moyen de séries dans les \(n\) premiers lancers.

\subsection*{3.3. Probabilité d'avoir une infinité de fois deux Pile consécutifs.}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout réel \(x\) on a
\end{enumerate}

\[
1-x \leqslant e^{-x}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item On considère dans cette question une suite \(\left(A_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}^{*}}\) d'événements indépendants. On suppose que la série de terme général \(P\left(A_{i}\right)\) diverge.\\
Soit \(k \in \mathbb{N}^{*}\) fixé. Pour \(n \geqslant k\), on note
\end{enumerate}

\[
C_{n}=\bigcup_{k \leqslant i \leqslant n} A_{i}=A_{k} \cup \cdots \cup A_{n}
\]

a. Justifier que

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=k}^{n} P\left(A_{i}\right)=+\infty
\]

b. Montrer que

\[
P\left(C_{n}\right)=1-\prod_{i=k}^{n} P\left(\overline{A_{i}}\right)
\]

puis, en utilisant 3.3.1, que

\[
P\left(C_{n}\right) \geqslant 1-\exp \left(-\sum_{i=k}^{n} P\left(A_{i}\right)\right)
\]

et en déduire que

\[
P\left(\bigcup_{i=k}^{+\infty} A_{i}\right)=1
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item En considérant les événements \(A_{n}\) "on obtient Pile au ( \(2 n\) ) ème et au ( \(2 n+1\) ) ème lancers", montrer que la probabilité d'avoir deux Pile consécutifs après n'importe quel lancer vaut 1.
\end{enumerate}

\end{document}