\documentclass[10pt]{article} \usepackage[french]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage[version=4]{mhchem} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{bbold} \begin{document} \section*{1 Mathématiques \\ Option Scientifique} Durée : 4 heures Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":\\ 8 h \(00-13\) h 20 Aucun document n'est autorisé.\\ Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\ L'énoncé comporte 7 pages. Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations. \section*{1. EXERCICE.} \begin{enumerate} \item A l'aide de développements limités usuels que l'on rappellera clairement, montrer que lorsque \(x\) est au voisinage de 0 on a \end{enumerate} \[ \ln \left(2-e^{x}\right)=-x-x^{2}+o\left(x^{2}\right) \] \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item a. Montrer que pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2 , on a : \end{enumerate} \[ \left.2-e^{1 / k} \in\right] 0,1[. \] b. En déduire le signe de \(\ln \left(2-e^{1 / k}\right)\), pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2 .\\ c. Quelle est la nature de la série de terme général \(\ln \left(2-e^{1 / k}\right)\) ?\\ d. Pour \(n\) entier supérieur ou égal à 2 , on pose \[ V_{n}=\sum_{k=2}^{n} \ln \left(2-e^{1 / k}\right) \text { et } u_{n}=\exp V_{n} \] Déterminer \[ \lim _{n \rightarrow+\infty} V_{n} \text { et } \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n} . \] \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item a. Montrer que \end{enumerate} \[ \ln \left(n u_{n}\right)=\sum_{k=2}^{n}\left[\ln \left(2-e^{1 / k}\right)-\ln \left(1-\frac{1}{k}\right)\right] . \] b. Déterminer un équivalent, quand \(k\) tend vers \(+\infty\), de \(\ln \left(2-e^{1 / k}\right)-\ln \left(1-\frac{1}{k}\right)\).\\ c. En déduire que \(u_{n}\) est équivalent, quand \(n\) tend vers \(+\infty\) à \(\frac{K}{n}\) avec \(K>0\). Quelle est la nature de la série de terme général \(u_{n}\) ?\\ 4. On pose \[ S_{n}=\sum_{k=2}^{n}(-1)^{k} u_{k} \] a. Etudier le sens de variations de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 2}\).\\ b. Montrer que les suites \(\left(S_{2 n}\right)_{n \geqslant 1}\) et \(\left(S_{2 n+1}\right)_{n \geqslant 1}\) sont deux suites adjacentes.\\ c. En déduire la nature de la série de terme général \((-1)^{n} u_{n}\). \section*{2. EXERCICE.} \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre \(n \geqslant 2\), à coefficients réels. Pour tout élément \(A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), on appelle "trace de \(A\) ", et on note \(\operatorname{Tr}(A)\), la somme des éléments diagonaux, c'est-à-dire : \[ \operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} . \] On admet que \(\operatorname{Tr}\) est une application linéaire de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\) telle que \[ \forall A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \forall B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad \operatorname{Tr}(A B)=\operatorname{Tr}(B A) . \] On note \({ }^{t} A\) la transposée de la matrice \(A\). \begin{enumerate} \item Soit \(\varphi\) l'application définie sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) par : \end{enumerate} \[ \forall A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \forall B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad \varphi(A, B)=\operatorname{Tr}\left({ }^{t} A B\right) \quad\left(\text { où }{ }^{t} A B={ }^{t} A \times B\right) . \] Exprimer \(\varphi(A, B)\) en fonction des coefficients de \(A\) et \(B\) et montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).\\ On note \(N\) la norme associée à ce produit scalaire.\\ 2. Soient \(A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). Le but de cette question est de prouver que \[ N(A B) \leqslant N(A) N(B) . \] a. Justifier l'existence de \(P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telles que \[ { }^{t} P\left({ }^{t} A A\right) P=D \] où \(P\) est une matrice orthogonale et \(D\) une matrice diagonale.\\ On notera par la suite \(\lambda_{i}\) le coefficient \(d_{i i}\) de la matrice \(D=\left(d_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\).\\ b. Soit \(\lambda\) une valeur propre \(\operatorname{de}^{t} A A\) et \(X\) un vecteur propre associé. En calculant \({ }^{t} X^{t} A A X\) de deux manières différentes, montrer que \(\lambda \geqslant 0\).\\ c. On pose \(S={ }^{t} P\left(B^{t} B\right) P=\left(s_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\). Montrer que \[ [N(A)]^{2}=\operatorname{Tr}(D), \quad[N(B)]^{2}=\operatorname{Tr}(S), \quad[N(A B)]^{2}=\operatorname{Tr}(S D) . \] d. Montrer que \[ \operatorname{Tr}(S D)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} s_{i i} \] e. On note \(E_{i}\) le \(i^{\text {ème }}\) vecteur de la base canonique de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), espace des matrices à \(n\) lignes et une colonne, à coefficients réels. Montrer que \[ { }^{t} E_{i} S E_{i}=\left\|^{t} B P E_{i}\right\|^{2} \] où |.|| désigne la norme euclidienne canonique de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), puis calculer \({ }^{t} E_{i} S E_{i}\) en fonction des coefficients de \(S\).\\ Qu'en déduit-on, pour \(i\) entier compris entre 1 et \(n\), sur le signe de \(s_{i i}\) ?\\ f. Montrer que \[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} s_{i i} \leqslant\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} s_{i i}\right) \] puis conclure que \[ N(A B) \leqslant N(A) N(B) \] \section*{3. PROBLEME.} Le préliminaire, les parties I et II sont indépendants. \subsection*{3.1. Préliminaire} On considère deux variables aléatoires à densité \(X\) et \(Y\) définies sur un même espace probabilisé, admettant des espérances \(E(X), E(Y)\) et des variances \(V(X), V(Y)\). On suppose \(V(X)>0\). On définit la covariance de \(X\) et \(Y\) par \[ \operatorname{Cov}(X, Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(X Y)-E(X) E(Y) . \] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre réel \(\lambda\), \end{enumerate} \[ V(\lambda X+Y)=\lambda^{2} V(X)+2 \lambda \operatorname{Cov}(X, Y)+V(Y) \] \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item a. En étudiant le signe du trinôme précédent, montrer que \end{enumerate} \[ (\operatorname{Cov}(X, Y))^{2} \leqslant V(X) V(Y) . \] b. A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l'égalité \[ (\operatorname{Cov}(X, Y))^{2}=V(X) V(Y) ? \] \subsection*{3.2. Partie I: Etude d'une fonction de deux variables} \(n\) désigne un entier non nul, \(A\) et \(S\) deux réels positifs ou nuls vérifiant \(S>n A\). On définit sur \(\left[0,+\infty[\times] 0,+\infty\left[\right.\right.\) la fonction \(L_{n}\) par : \[ \left\{\begin{array}{l} L_{n}(a, b)=\frac{1}{b^{n}} e^{-\frac{1}{b}(-n a+S)} \text { si } 0 \leqslant a \leqslant A \\ L_{n}(a, b)=0 \quad \text { si } a>A \end{array}\right. \] \begin{enumerate} \item Justifier que \(L_{n}\) est de classe \(C^{1}\) sur l'ouvert \(] 0, A[\times] 0,+\infty[\). \end{enumerate} Montrer que \(L_{n}\) n'admet pas d'extremum sur cet ouvert.\\ 2. Montrer que \[ \forall a \in\left[0, A[, \forall b \in] 0,+\infty\left[, L_{n}(a, b)0\). On considère la fonction \(f_{a, b}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ \left\{\begin{array}{l} f_{a, b}(x)=\frac{1}{b} e^{-\frac{(x-a)}{b}} \text { si } x \geqslant a \\ f_{a, b}(x)=0 \quad \text { sinon } \end{array}\right. \] \begin{enumerate} \item Vérifier que \(f_{a, b}\) est bien une densité de variable aléatoire. On note \(\mathcal{E}(a, b)\) la loi associée. \end{enumerate} On considère désormais une variable aléatoire \(X\) de loi \(\mathcal{E}(a, b)\).\\ 2. Déterminer la fonction de répartition de \(X\).\\ 3. On pose \(Y=X-a\). Déterminer la loi de \(Y\) et la reconnaître. En déduire \(E(X)\) et \(V(X)\).\\ 4. Soit \(p \in \mathbb{N}\). Montrer que \(X\) admet un moment d'ordre \(p, E\left(X^{p}\right)\), et pour \(p>0\) déterminer une relation liant \(E\left(X^{p}\right)\) et \(E\left(X^{p-1}\right)\).\\ 5. Simulation de la loi \(\mathcal{E}(a, b)\).\\ a. Soit \(U\) une variable aléatoire de loi uniforme sur \([0,1[\). Montrer que la variable aléatoire \(-b \ln (1-U)+a\) suit une loi \(\mathcal{E}(a, b)\).\\ b. On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random permet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur \([0,1[\).\\ Ecrire, en langage Pascal, une fonction tirage, de paramètres a et b simulant une variable aléatoire de loi \(\mathcal{E}(a, b)\). \subsection*{3.4. Partie III : Estimation des paramètres \(a\) et \(b\)} \(a\) et \(b\) désignent toujours deux réels tels que \(a \geqslant 0\) et \(b>0\). On considère désormais une suite de variables aléatoires \(\left(X_{i}\right)_{i \geqslant 1}\) indépendantes identiquement distribuées de loi \(\mathcal{E}(a, b)\).\\ Pour \(n\) entier supérieur ou égal à 2 , on considère les variables aléatoires \(S_{n}\) et \(Y_{n}\) définies par \(S_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}\) et \(Y_{n}=\min \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\). Le but de cette partie est de déterminer des estimateurs de \(a\) et \(b\). \begin{enumerate} \item La fonction tirage, ainsi que les variables informatiques \(a, b, X, S, Y\) de type real et \(\mathrm{i}, \mathrm{n}\) de type integer étant supposées définies, compléter le corps du programme principal suivant, de manière à ce qu'il simule \(S_{n}\) et \(Y_{n}\) (les valeurs étant stockées\\ respectivement dans \(S\) et \(Y\) ). \end{enumerate} \begin{verbatim} begin randomize ; readln(a,b,n) ; X:=tirage(a,b) ; S:=... ; Y:=...; for i:= 2 to n do... ...... ...... ...... ... end. \end{verbatim} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Déterminer l'espérance et la variance de \(S_{n}\). \item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire \(\left(X_{1}-a\right)+\left(X_{2}-a\right)+\cdots+\left(X_{n}-a\right)\) ? En déduire une densité de \(S_{n}\). \item Déterminer la fonction de répartition de \(Y_{n}\). \end{enumerate} En déduire que \(Y_{n}\) suit une loi \(\mathcal{E}\left(a_{n}, b_{n}\right)\) (on précisera \(a_{n}\) et \(b_{n}\) ).\\ Donner les valeurs de \(E\left(Y_{n}\right)\) et \(V\left(Y_{n}\right)\).\\ 5. a. Calculer le biais ainsi que le risque quadratique de \(Y_{n}\) en tant qu'estimateur de \(a\).\\ b. Rappeler l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2.\\ A l'aide de ce qui précède, prouver que ( \(Y_{n}\) ) est une suite d'estimateurs de \(a\) asymptotiquement sans biais, convergente.\\ 6. On pose \(Z_{n}=\frac{S_{n}}{n}-Y_{n}\).\\ a. Calculer le biais de \(Z_{n}\) en tant qu'estimateur de \(b\).\\ b. On note \(r_{Z_{n}}(b)\) le risque quadratique de \(Z_{n}\). Montrer que \[ r_{Z_{n}}(b)=\frac{2 b^{2}}{n^{2}}+\frac{b^{2}}{n}-\frac{2}{n} \operatorname{Cov}\left(S_{n}, Y_{n}\right) . \] c. A l'aide du préliminaire montrer que \[ \lim _{n \rightarrow+\infty} r_{Z_{n}}(b)=0 \] et en déduire que ( \(Z_{n}\) ) est une suite d'estimateurs de \(b\) asymptotiquement sans biais, convergente.\\ 7. Pour un échantillon donné ( \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) ), avec \(\min \left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\} \neq \max \left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\), correspondant à une réalisation des \(n\) variables aléatoires \(X_{1}, \ldots, X_{n}\), on définit la fonction \(L\) sur \([0,+\infty[\times] 0,+\infty[\) par \[ L(a, b)=\prod_{i=1}^{n} f_{a, b}\left(x_{i}\right) \] a. Montrer que \(L\) est la fonction \(L_{n}\) définie dans la partie I, pour des valeurs de \(A\) et \(S\) que l'on précisera en fonction des \(x_{i}\).\\ b. Comparer les estimations de \(a\) et \(b\) obtenues sur l'échantillon \(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) à partir de \(Y_{n}\) et \(Z_{n}\) avec les valeurs \(a_{0}\) et \(b_{0}\) obtenues dans la partie I . \end{document}