\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{bbold}

\begin{document}
\section*{1 Mathématiques \\
 Option Scientifique}
Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":\\
8 h \(00-13\) h 20

Aucun document n'est autorisé.\\
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
L'énoncé comporte 7 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

\section*{1. EXERCICE.}
\begin{enumerate}
  \item A l'aide de développements limités usuels que l'on rappellera clairement, montrer que lorsque \(x\) est au voisinage de 0 on a
\end{enumerate}

\[
\ln \left(2-e^{x}\right)=-x-x^{2}+o\left(x^{2}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item a. Montrer que pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2 , on a :
\end{enumerate}

\[
\left.2-e^{1 / k} \in\right] 0,1[.
\]

b. En déduire le signe de \(\ln \left(2-e^{1 / k}\right)\), pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2 .\\
c. Quelle est la nature de la série de terme général \(\ln \left(2-e^{1 / k}\right)\) ?\\
d. Pour \(n\) entier supérieur ou égal à 2 , on pose

\[
V_{n}=\sum_{k=2}^{n} \ln \left(2-e^{1 / k}\right) \text { et } u_{n}=\exp V_{n}
\]

Déterminer

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} V_{n} \text { et } \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item a. Montrer que
\end{enumerate}

\[
\ln \left(n u_{n}\right)=\sum_{k=2}^{n}\left[\ln \left(2-e^{1 / k}\right)-\ln \left(1-\frac{1}{k}\right)\right] .
\]

b. Déterminer un équivalent, quand \(k\) tend vers \(+\infty\), de \(\ln \left(2-e^{1 / k}\right)-\ln \left(1-\frac{1}{k}\right)\).\\
c. En déduire que \(u_{n}\) est équivalent, quand \(n\) tend vers \(+\infty\) à \(\frac{K}{n}\) avec \(K>0\). Quelle est la nature de la série de terme général \(u_{n}\) ?\\
4. On pose

\[
S_{n}=\sum_{k=2}^{n}(-1)^{k} u_{k}
\]

a. Etudier le sens de variations de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 2}\).\\
b. Montrer que les suites \(\left(S_{2 n}\right)_{n \geqslant 1}\) et \(\left(S_{2 n+1}\right)_{n \geqslant 1}\) sont deux suites adjacentes.\\
c. En déduire la nature de la série de terme général \((-1)^{n} u_{n}\).

\section*{2. EXERCICE.}
\(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre \(n \geqslant 2\), à coefficients réels. Pour tout élément \(A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), on appelle "trace de \(A\) ", et on note \(\operatorname{Tr}(A)\), la somme des éléments diagonaux, c'est-à-dire :

\[
\operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} .
\]

On admet que \(\operatorname{Tr}\) est une application linéaire de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\) telle que

\[
\forall A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \forall B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad \operatorname{Tr}(A B)=\operatorname{Tr}(B A) .
\]

On note \({ }^{t} A\) la transposée de la matrice \(A\).

\begin{enumerate}
  \item Soit \(\varphi\) l'application définie sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) par :
\end{enumerate}

\[
\forall A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \forall B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad \varphi(A, B)=\operatorname{Tr}\left({ }^{t} A B\right) \quad\left(\text { où }{ }^{t} A B={ }^{t} A \times B\right) .
\]

Exprimer \(\varphi(A, B)\) en fonction des coefficients de \(A\) et \(B\) et montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).\\
On note \(N\) la norme associée à ce produit scalaire.\\
2. Soient \(A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). Le but de cette question est de prouver que

\[
N(A B) \leqslant N(A) N(B) .
\]

a. Justifier l'existence de \(P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telles que

\[
{ }^{t} P\left({ }^{t} A A\right) P=D
\]

où \(P\) est une matrice orthogonale et \(D\) une matrice diagonale.\\
On notera par la suite \(\lambda_{i}\) le coefficient \(d_{i i}\) de la matrice \(D=\left(d_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\).\\
b. Soit \(\lambda\) une valeur propre \(\operatorname{de}^{t} A A\) et \(X\) un vecteur propre associé.

En calculant \({ }^{t} X^{t} A A X\) de deux manières différentes, montrer que \(\lambda \geqslant 0\).\\
c. On pose \(S={ }^{t} P\left(B^{t} B\right) P=\left(s_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\). Montrer que

\[
[N(A)]^{2}=\operatorname{Tr}(D), \quad[N(B)]^{2}=\operatorname{Tr}(S), \quad[N(A B)]^{2}=\operatorname{Tr}(S D) .
\]

d. Montrer que

\[
\operatorname{Tr}(S D)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} s_{i i}
\]

e. On note \(E_{i}\) le \(i^{\text {ème }}\) vecteur de la base canonique de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), espace des matrices à \(n\) lignes et une colonne, à coefficients réels. Montrer que

\[
{ }^{t} E_{i} S E_{i}=\left\|^{t} B P E_{i}\right\|^{2}
\]

où |.|| désigne la norme euclidienne canonique de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), puis calculer \({ }^{t} E_{i} S E_{i}\) en fonction des coefficients de \(S\).\\
Qu'en déduit-on, pour \(i\) entier compris entre 1 et \(n\), sur le signe de \(s_{i i}\) ?\\
f. Montrer que

\[
\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} s_{i i} \leqslant\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} s_{i i}\right)
\]

puis conclure que

\[
N(A B) \leqslant N(A) N(B)
\]

\section*{3. PROBLEME.}
Le préliminaire, les parties I et II sont indépendants.

\subsection*{3.1. Préliminaire}
On considère deux variables aléatoires à densité \(X\) et \(Y\) définies sur un même espace probabilisé, admettant des espérances \(E(X), E(Y)\) et des variances \(V(X), V(Y)\). On suppose \(V(X)>0\). On définit la covariance de \(X\) et \(Y\) par

\[
\operatorname{Cov}(X, Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(X Y)-E(X) E(Y) .
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout nombre réel \(\lambda\),
\end{enumerate}

\[
V(\lambda X+Y)=\lambda^{2} V(X)+2 \lambda \operatorname{Cov}(X, Y)+V(Y)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item a. En étudiant le signe du trinôme précédent, montrer que
\end{enumerate}

\[
(\operatorname{Cov}(X, Y))^{2} \leqslant V(X) V(Y) .
\]

b. A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l'égalité

\[
(\operatorname{Cov}(X, Y))^{2}=V(X) V(Y) ?
\]

\subsection*{3.2. Partie I: Etude d'une fonction de deux variables}
\(n\) désigne un entier non nul, \(A\) et \(S\) deux réels positifs ou nuls vérifiant \(S>n A\). On définit sur \(\left[0,+\infty[\times] 0,+\infty\left[\right.\right.\) la fonction \(L_{n}\) par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
L_{n}(a, b)=\frac{1}{b^{n}} e^{-\frac{1}{b}(-n a+S)} \text { si } 0 \leqslant a \leqslant A \\
L_{n}(a, b)=0 \quad \text { si } a>A
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(L_{n}\) est de classe \(C^{1}\) sur l'ouvert \(] 0, A[\times] 0,+\infty[\).
\end{enumerate}

Montrer que \(L_{n}\) n'admet pas d'extremum sur cet ouvert.\\
2. Montrer que

\[
\forall a \in\left[0, A[, \forall b \in] 0,+\infty\left[, L_{n}(a, b)<L_{n}(A, b) .\right.\right.
\]

Montrer que ce résultat est encore vrai pour tout \(a\) de \(] A,+\infty[\).\\
3. Soit \(g\) la fonction définie sur \(] 0,+\infty\left[\operatorname{par} g(b)=L_{n}(A, b)\right.\).

Montrer que \(g\) admet un maximum absolu sur \(] 0,+\infty\left[\right.\), atteint en un point \(b_{0}\) que l'on exprimera en fonction de \(A, S, n\).\\
4. Déduire de ce qui précède que \(L_{n}\) admet sur \([0,+\infty[\times] 0,+\infty[\) un maximum absolu atteint en un unique point ( \(a_{0}, b_{0}\) ) que l'on précisera.

\subsection*{3.3. Partie II : Etude d'une loi}
Soit \(a \geqslant 0\) et \(b>0\). On considère la fonction \(f_{a, b}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
f_{a, b}(x)=\frac{1}{b} e^{-\frac{(x-a)}{b}} \text { si } x \geqslant a \\
f_{a, b}(x)=0 \quad \text { sinon }
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que \(f_{a, b}\) est bien une densité de variable aléatoire. On note \(\mathcal{E}(a, b)\) la loi associée.
\end{enumerate}

On considère désormais une variable aléatoire \(X\) de loi \(\mathcal{E}(a, b)\).\\
2. Déterminer la fonction de répartition de \(X\).\\
3. On pose \(Y=X-a\). Déterminer la loi de \(Y\) et la reconnaître.

En déduire \(E(X)\) et \(V(X)\).\\
4. Soit \(p \in \mathbb{N}\). Montrer que \(X\) admet un moment d'ordre \(p, E\left(X^{p}\right)\), et pour \(p>0\) déterminer une relation liant \(E\left(X^{p}\right)\) et \(E\left(X^{p-1}\right)\).\\
5. Simulation de la loi \(\mathcal{E}(a, b)\).\\
a. Soit \(U\) une variable aléatoire de loi uniforme sur \([0,1[\).

Montrer que la variable aléatoire \(-b \ln (1-U)+a\) suit une loi \(\mathcal{E}(a, b)\).\\
b. On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random permet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur \([0,1[\).\\
Ecrire, en langage Pascal, une fonction tirage, de paramètres a et b simulant une variable aléatoire de loi \(\mathcal{E}(a, b)\).

\subsection*{3.4. Partie III : Estimation des paramètres \(a\) et \(b\)}
\(a\) et \(b\) désignent toujours deux réels tels que \(a \geqslant 0\) et \(b>0\). On considère désormais une suite de variables aléatoires \(\left(X_{i}\right)_{i \geqslant 1}\) indépendantes identiquement distribuées de loi \(\mathcal{E}(a, b)\).\\
Pour \(n\) entier supérieur ou égal à 2 , on considère les variables aléatoires \(S_{n}\) et \(Y_{n}\) définies par \(S_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}\) et \(Y_{n}=\min \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\).

Le but de cette partie est de déterminer des estimateurs de \(a\) et \(b\).

\begin{enumerate}
  \item La fonction tirage, ainsi que les variables informatiques \(a, b, X, S, Y\) de type real et \(\mathrm{i}, \mathrm{n}\) de type integer étant supposées définies, compléter le corps du programme principal suivant, de manière à ce qu'il simule \(S_{n}\) et \(Y_{n}\) (les valeurs étant stockées\\
respectivement dans \(S\) et \(Y\) ).
\end{enumerate}

\begin{verbatim}
begin
    randomize ;
    readln(a,b,n) ;
    X:=tirage(a,b) ;
    S:=... ;
    Y:=...;
    for i:= 2 to n do...
        ......
        ......
        ......
    ...
end.
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Déterminer l'espérance et la variance de \(S_{n}\).
  \item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire \(\left(X_{1}-a\right)+\left(X_{2}-a\right)+\cdots+\left(X_{n}-a\right)\) ? En déduire une densité de \(S_{n}\).
  \item Déterminer la fonction de répartition de \(Y_{n}\).
\end{enumerate}

En déduire que \(Y_{n}\) suit une loi \(\mathcal{E}\left(a_{n}, b_{n}\right)\) (on précisera \(a_{n}\) et \(b_{n}\) ).\\
Donner les valeurs de \(E\left(Y_{n}\right)\) et \(V\left(Y_{n}\right)\).\\
5. a. Calculer le biais ainsi que le risque quadratique de \(Y_{n}\) en tant qu'estimateur de \(a\).\\
b. Rappeler l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2.\\
A l'aide de ce qui précède, prouver que ( \(Y_{n}\) ) est une suite d'estimateurs de \(a\) asymptotiquement sans biais, convergente.\\
6. On pose \(Z_{n}=\frac{S_{n}}{n}-Y_{n}\).\\
a. Calculer le biais de \(Z_{n}\) en tant qu'estimateur de \(b\).\\
b. On note \(r_{Z_{n}}(b)\) le risque quadratique de \(Z_{n}\). Montrer que

\[
r_{Z_{n}}(b)=\frac{2 b^{2}}{n^{2}}+\frac{b^{2}}{n}-\frac{2}{n} \operatorname{Cov}\left(S_{n}, Y_{n}\right) .
\]

c. A l'aide du préliminaire montrer que

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} r_{Z_{n}}(b)=0
\]

et en déduire que ( \(Z_{n}\) ) est une suite d'estimateurs de \(b\) asymptotiquement sans biais, convergente.\\
7. Pour un échantillon donné ( \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) ), avec \(\min \left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\} \neq \max \left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\), correspondant à une réalisation des \(n\) variables aléatoires \(X_{1}, \ldots, X_{n}\), on définit la fonction \(L\) sur \([0,+\infty[\times] 0,+\infty[\) par

\[
L(a, b)=\prod_{i=1}^{n} f_{a, b}\left(x_{i}\right)
\]

a. Montrer que \(L\) est la fonction \(L_{n}\) définie dans la partie I, pour des valeurs de \(A\) et \(S\) que l'on précisera en fonction des \(x_{i}\).\\
b. Comparer les estimations de \(a\) et \(b\) obtenues sur l'échantillon \(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) à partir de \(Y_{n}\) et \(Z_{n}\) avec les valeurs \(a_{0}\) et \(b_{0}\) obtenues dans la partie I .


\end{document}