\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{1. EXERCICE.}
Soit \(\vec{u}\) un vecteur unitaire de \(\mathbb{R}^{3}\) de coordonnées ( \(a, b, c\) ) dans la base canonique \(\mathcal{B}=(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) de \(\mathbb{R}^{3}\). On a donc \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\).\\
On note \(p\) le projecteur orthogonal sur la droite \(\mathcal{D}\) de vecteur directeur \(\vec{u}\) et \(q\) le projecteur orthogonal sur \(\mathcal{D}^{\perp}\).\\
Id désigne l'application identité de \(\mathbb{R}^{3}\) et \(\langle.,\).\(\rangle le produit scalaire canonique de \mathbb{R}^{3}\).

\begin{enumerate}
  \item Que vaut \(p+q\) ?
  \item Exprimer, pour \(\vec{v} \in \mathbb{R}^{3}, p(\vec{v})\) à l'aide de \(\langle\vec{v}, \vec{u}\rangle\) et de \(\vec{u}\).
\end{enumerate}

Calculer alors \(p(\vec{i}), p(\vec{j})\) et \(p(\vec{k})\).\\
En déduire les matrices \(P\) et \(Q\) de \(p\) et \(q\) dans la base \(\mathcal{B}\).\\
3. Soit \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) de matrice \(M=\left(\begin{array}{ccc}0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{array}\right)\) dans la base \(\mathcal{B}\).\\
a. Montrer que :

\[
M^{2}=-Q .
\]

b. Calculer \(f(\vec{u})\).

En déduire que \(r g(f) \leqslant 2\).\\
Déterminer l'image et le noyau de \(f\) et les exprimer en fonction de \(\mathcal{D}\).\\
c. Déduire de la question précédente la valeur de \(f \circ p\).

Montrer alors que \(X+X^{3}\) est un polynôme annulateur de \(f\).\\
d. Quelles sont les valeurs propres de \(f\) ?\\
\(f\) est-il diagonalisable ?\\
4. Pour tout réel \(\theta\), on définit l'endomorphisme \(g_{\theta}\) par :

\[
g_{\theta}=I d+(\sin \theta) f+(1-\cos \theta) f^{2}
\]

où \(f^{2}=f \circ f\).\\
a. Pour \(\theta\) et \(\theta^{\prime}\) réels, calculer \(g_{\theta} \circ g_{\theta^{\prime}}\) et montrer qu'il se met sous la forme \(g_{\theta^{\prime \prime}}\) avec \(\theta^{\prime \prime}\) réel.\\
b. En déduire que, pour tout réel \(\theta, g_{\theta}\) est inversible et déterminer son inverse.

\section*{2. EXERCICE.}
On considère, pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), la fonction \(f_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}^{+}\)par :

\[
\text { pour tout } x \in \mathbb{R}^{+}, \quad f_{n}(x)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+x} .
\]

\begin{enumerate}
  \item a. Montrer que, pour tout réel positif \(x\), la série de terme général \(f_{n}(x)\) est convergente. On note \(F(x)\) sa somme.\\
b. Calculer \(F(0)\) et \(F(1)\).
  \item Montrer que, pour tout réel positif \(x\), la série de terme général \(f_{n}^{\prime}(x)\) est convergente. On note \(G(x)\) sa somme.
  \item Etude de la dérivabilité de \(F\).\\
a. Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{+*}\) par :
\end{enumerate}

\[
\text { pour } t \in \mathbb{R}^{+*}, \quad \varphi(t)=\frac{1}{t}
\]

Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). A l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que :

\[
\text { pour tout }\left(x, x_{0}\right) \in[n,+\infty]^{2}, \quad\left|\varphi(x)-\varphi\left(x_{0}\right)-\left(x-x_{0}\right) \varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)\right| \leqslant \frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{n^{3}} \text {. }
\]

b. En déduire, pour \(x \in \mathbb{R}^{+}\)et \(h \neq 0\) vérifiant \(x+h \in \mathbb{R}^{+}\), la nature de la série de terme général \(\left|f_{n}(x+h)-f_{n}(x)-h f_{n}^{\prime}(x)\right|\).\\
c. Montrer qu'il existe un réel \(K\) tel que, pour \(x \in \mathbb{R}^{+}\)et \(h \neq 0\) vérifiant \(x+h \in \mathbb{R}^{+}\),

\[
\left|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-G(x)\right| \leqslant K|h| .
\]

d. En déduire que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^{+}\)et que \(F^{\prime}=G\).\\
4. Recherche d'un équivalent en \(+\infty\).

Soit \(x \in \mathbb{R}^{+}\).\\
a. Justifier que, pour \(k \in \mathbb{N}^{*}\),

\[
f_{k+1}(x) \leqslant \int_{k}^{k+1}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+x}\right) d t \leqslant f_{k}(x)
\]

b. En déduire que, pour \(n \geqslant 2\),

\[
\int_{1}^{n+1}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+x}\right) d t \leqslant \sum_{k=1}^{n} f_{k}(x) \leqslant \frac{x}{x+1}+\int_{1}^{n}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+x}\right) d t
\]

c. En déduire que :

\[
\ln (1+x) \leqslant F(x) \leqslant \frac{x}{x+1}+\ln (1+x)
\]

d. Déterminer un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

\section*{3. PROBLEME.}
L'objet du problème est la présentation d'une méthode probabiliste de calcul d'une intégrale (méthode de Monte-Carlo) et de deux façons de l'améliorer.\\
Dans tout le problème, \(U\) désigne une variable aléatoire de loi uniforme sur \([0,1], g\) une fonction continue sur \([0,1]\) et on pose \(J=\int_{0}^{1} g(t) d t\).\\
L'espérance d'une variable aléatoire \(X\) sera notée \(E(X)\) et sa variance \(V(X)\) (si elles existent).\\
On admet que, pour tout entier naturel non nul \(n\), si \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) sont des variables aléatoires à densités, mutuellement indépendantes, alors des variables aléatoires de la forme \(f_{1}\left(X_{1}\right), f_{2}\left(X_{2}\right), \ldots, f_{n}\left(X_{n}\right)\) où les \(f_{i}\) sont des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), distinctes ou non, sont également mutuellement indépendantes.

\subsection*{3.1. Méthode de Monte-Carlo.}
\begin{enumerate}
  \item a. Rappeler une densité de \(U\).\\
b. Justifier que la variable aléatoire \(g(U)\) admet une espérance égale à \(J\).
  \item Soit \(\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que \(U\).
\end{enumerate}

On suppose que \(\sigma^{2}=V(g(U)) \neq 0\) et on note pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}, S_{n}=\sum_{i=1}^{n} g\left(U_{i}\right)\).\\
a. Justifier que la suite de variables aléatoires \(\left(\frac{S_{n}}{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en probabilité vers \(J\).\\
b. Recherche d'un intervalle de confiance pour \(J\).\\
i. Justifier que la suite de variables aléatoires \(\left(\frac{\frac{S_{n}}{n}-J}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.\\
ii. On considère pour " \(n\) suffisamment grand " que \(\frac{\frac{S_{n}}{n}-J}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\) suit une loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\). On donne \(\Phi(1,96)=0,975\) où \(\Phi\) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Déterminer un intervalle de confiance pour \(J\), au niveau de confiance \(95 \%\), faisant intervenir \(S_{n}\).

\section*{3. Application :}
a. A l'aide du changement de variable \(t=\sin u\), montrer que \(\int_{0}^{1} 4 \sqrt{1-t^{2}} d t=\pi\).\\
b. i. Ecrire, en langage Pascal, une fonction \(\mathbf{G}\), de paramètre \(\mathbf{t}\), qui pour une valeur \(t\) du paramètre renvoie la valeur \(4 \sqrt{1-t^{2}}\).\\
ii. On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random permet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur \([0,1]\).\\
En utilisant le résultat de la question 3.1.2. et la fonction \(\mathbf{G}\), les variables informatiques \(\mathbf{J}\) de type real et \(\mathbf{i}, \mathbf{n}\) de type integer étant supposées définies, compléter le corps du programme principal suivant, de manière à ce qu'il calcule une valeur approchée de \(\pi\).

\begin{verbatim}
begin
    randomize ;
    readln(n);
    J := 0 ;
    for i := 1 to n do ....
    ............
    writeln (' une valeur approchée de pi est ', J );
end.
\end{verbatim}

\subsection*{3.2. Réduction de la variance par variables antithétiques.}
\begin{enumerate}
  \item Reconnaître la loi de \(1-U\).
\end{enumerate}

On définit la variable aléatoire \(Y\) par \(Y=\frac{1}{2}[g(U)+g(1-U)]\). Que vaut \(E(Y)\) ?\\
2. On suppose \(g\) strictement croissante et on admet l'existence des espérances intervenant dans cette question.\\
a. Justifier que, pour tout \((u, w) \in[0,1]^{2}\),

\[
(g(u)-g(w))(g(1-u)-g(1-w)) \leqslant 0 .
\]

b. Soit \(W\) une variable aléatoire de loi uniforme sur \([0,1]\), indépendante de \(U\).

Quel est le signe de \(E[(g(U)-g(W))(g(1-U)-g(1-W))]\) ?\\
En remarquant que \(g(U) g(1-U)\) et \(g(W) g(1-W)\) ont même espérance, en déduire que :

\[
E[g(U) g(1-U)] \leqslant(E[g(U)])^{2}
\]

On admet que l'on obtiendrait le même résultat pour \(g\) strictement décroissante.\\
c. Montrer alors que, lorsque \(g\) est strictement monotone, \(V(Y) \leqslant \frac{1}{2} V(g(U))\).\\
3. Donner un nouvel intervalle de confiance pour \(J\) au niveau de confiance \(95 \%\), basé sur cette méthode.\\
On note \(\ell_{n}\) la longueur de l'intervalle de confiance obtenu dans la partie 3.1 pour une valeur fixée de \(n\).\\
Avec cette nouvelle méthode, combien de tirages \(N\) de la variable aléatoire uniforme suffit-il de faire pour obtenir la même longueur \(\ell_{n}\) d'intervalle de confiance?

\subsection*{3.3. Réduction de la variance par stratification.}
\subsection*{3.3.1. Etude d'une fonction de plusieurs variables.}
On considère la fonction \(f\) définie sur \(] 0,+\infty\left[{ }^{3}\right.\) par :

\[
\text { pour tout } \left.\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in\right] 0,+\infty\left[{ }^{3}, \quad f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{1}{4 x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{9 x_{3}}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \(] 0,+\infty\left[{ }^{3}\right.\). Calculer ses dérivées partielles d'ordre 1 et 2 .
  \item On note :
\end{enumerate}

\[
\nabla^{2} f(A)=\left[\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(A)\right]_{1 \leqslant i, j \leqslant 3}
\]

la matrice hessienne de \(f\) en \(A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)\).\\
Justifier que, pour tout \(A \in] 0,+\infty\left[{ }^{3}\right.\), pour toute matrice colonne \(H\) à trois lignes, non nulle, on a :

\[
{ }^{t} H \nabla^{2} f(A) H>0 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item \(f\) admet-elle des extremums sur \(] 0,+\infty\left[{ }^{3}\right.\) ?
  \item On cherche désormais les extremums de \(f\) sous la contrainte \(x_{1}+x_{2}+x_{3}=110\).
\end{enumerate}

Montrer que \(f\) admet un unique point critique sous cette contrainte, que l'on déterminera.\\
En écrivant l'égalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 1, montrer qu'il s'agit d'un minimum global sous contrainte.

\subsection*{3.3.2. Méthode de stratification.}
Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0<a<b<1\). On définit les trois intervalles \(I_{1}, I_{2}\) et \(I_{3}\) par

\[
I_{1}=\left[0, a\left[, \quad I_{2}=\left[a, b\left[, \quad I_{3}=[b, 1]\right.\right.\right.\right.
\]

et on considère quatre variables aléatoires indépendantes \(U_{1}, U_{2}, U_{3}\) et \(T\), de lois uniformes respectivement sur \(I_{1}, I_{2}, I_{3}\) et \([0,1]\).\\
On définit la variable aléatoire \(\tilde{U}\) par \(\tilde{U}=U_{1} 1_{\left[T \in I_{1}\right]}+U_{2} 1_{\left[T \in I_{2}\right]}+U_{3} 1_{\left[T \in I_{3}\right]}\) où \(1_{A}\) désigne la fonction indicatrice d'un événement \(A . \tilde{U}\) est donc la variable aléatoire définie, pour tout élément \(\omega\) de l'univers \(\Omega\) par :

\[
\tilde{U}(\omega)=\left\{\begin{array}{l}
U_{1}(\omega) \text { si } T(\omega) \in I_{1} \\
U_{2}(\omega) \text { si } T(\omega) \in I_{2} \\
U_{3}(\omega) \text { si } T(\omega) \in I_{3}
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item A l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que pour tout réel \(x\),
\end{enumerate}

\[
P(g(\tilde{U}) \leqslant x)=a P\left(g\left(U_{1}\right) \leqslant x\right)+(b-a) P\left(g\left(U_{2}\right) \leqslant x\right)+(1-b) P\left(g\left(U_{3}\right) \leqslant x\right) .
\]

En admettant que \(g\left(U_{1}\right), g\left(U_{2}\right), g\left(U_{3}\right)\) sont des variables aléatoires à densité, montrer que \(g(\tilde{U})\) est elle-même une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité \(f_{g(\widetilde{U})}\) en fonction de densités de \(g\left(U_{1}\right), g\left(U_{2}\right), g\left(U_{3}\right)\), que l'on pourra noter\\
\(f_{g\left(U_{1}\right)}, f_{g\left(U_{2}\right)}\) et \(f_{g\left(U_{3}\right)}\).\\
Vérifier, en prenant la fonction identité pour \(g\), que \(\widetilde{U}\) suit une loi uniforme sur \([0,1]\).\\
2. Déduire de ce qui précède que:

\[
E(g(\widetilde{U}))=a E\left(g\left(U_{1}\right)\right)+(b-a) E\left(g\left(U_{2}\right)\right)+(1-b) E\left(g\left(U_{3}\right)\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item On tire de façon indépendante, uniforme sur chacun des intervalles, \(n_{1}\) points dans \(I_{1}, n_{2}\) points dans \(I_{2}, n_{3}\) points dans \(I_{3}\). On considère donc la famille de variables aléatoires indépendantes \(\left(U_{1,1}, \ldots, U_{1, n_{1}}, U_{2,1}, \ldots, U_{2, n_{2}}, U_{3,1}, \ldots, U_{3, n_{3}}\right)\) telles que :
\end{enumerate}

\begin{itemize}
  \item \(U_{1,1}, \ldots, U_{1, n_{1}}\) ont même loi que \(U_{1}\),
  \item \(U_{2,1}, \ldots, U_{2, n_{2}}\) ont même loi que \(U_{2}\),
  \item \(U_{3,1}, \ldots, U_{3, n_{3}}\) ont même loi que \(U_{3}\),\\
et on note \(Z\) la variable aléatoire définie par:
\end{itemize}

\[
Z=a \frac{1}{n_{1}} \sum_{i=1}^{n_{1}} g\left(U_{1, i}\right)+(b-a) \frac{1}{n_{2}} \sum_{j=1}^{n_{2}} g\left(U_{2, j}\right)+(1-b) \frac{1}{n_{3}} \sum_{k=1}^{n_{3}} g\left(U_{3, k}\right) .
\]

Montrer que :

\[
V(Z)=a^{2} \frac{1}{n_{1}} V\left(g\left(U_{1}\right)\right)+(b-a)^{2} \frac{1}{n_{2}} V\left(g\left(U_{2}\right)\right)+(1-b)^{2} \frac{1}{n_{3}} V\left(g\left(U_{3}\right)\right)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Application numérique :
\end{enumerate}

On suppose que, pour un certain choix de la fonction \(g\) et des réels \(a\) et \(b\), on a

\[
a^{2} V\left(g\left(U_{1}\right)\right)=\frac{1}{4}, \quad(b-a)^{2} V\left(g\left(U_{2}\right)\right)=1, \quad(1-b)^{2} V\left(g\left(U_{3}\right)\right)=\frac{1}{9}
\]

On suppose que l'on tire 110 points, de façon indépendante, uniforme sur chacun des intervalles ( \(n_{1}\) points dans \(I_{1}, n_{2}\) points dans \(I_{2}, n_{3}\) points dans \(I_{3}\) ). Quelles valeurs faut-il donner à \(n_{1}, n_{2}, n_{3}\) pour que \(E(Z)\) fournisse une estimation de \(J\) avec le plus petit risque d'erreur possible suivant cette méthode?


\end{document}