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\begin{document}
Cericome

CONCOURS D'ADMISSION 2009

\section*{Mathématiques}
\section*{Option Scientifique}
\section*{Jeudi 14 mai 2009 de 8 h 00 à 12 h 00}
\section*{Durée : 4 heures}
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":\\
\(8 h 00-13 h 20\)

Aucun document n'est autorisé.\\
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
L'énoncé comporte 6 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

\section*{EXERCICE 1}
\(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre \(n\) à coefficients réels.\\
Pour tout élément \(A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), on appelle «trace de \(A\) », et on note \(\operatorname{Tr}(A)\), la somme des éléments diagonaux, c'est-à-dire :

\[
\operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} .
\]

On admet que \(\operatorname{Tr}\) est une application linéaire de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\) telle que :

\[
\forall A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \forall B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad \operatorname{Tr}(A B)=\operatorname{Tr}(B A) .
\]

On note \({ }^{t} A\) la transposée de la matrice \(A\).\\
Pour toutes matrices \(M, N\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), on pose :

\[
\langle M \mid N\rangle=\operatorname{Tr}\left({ }^{t} M N\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} m_{i, j} n_{i, j}
\]

où \(m_{i, j}\) (resp. \(n_{i, j}\) ) désigne le coefficient de \(M\) (resp. \(N\) ) situé à l'intersection de la \(i\)-ième ligne et de la \(j\)-ième colonne.

Soit \(A\) une matrice symétrique, on considère

\begin{itemize}
  \item l'application \(\Phi_{A}\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dans \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) définie par : \(\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad \Phi_{A}(M)=A M-M A\)
  \item l'ensemble \(\operatorname{Sp}(A)\) formé des valeurs propres de \(A\),
  \item l'ensemble \(\mathrm{Sp}\left(\Phi_{A}\right)\) formé des valeurs de \(\Phi_{A}\),
  \item l'ensemble \(\Gamma=\left\{\lambda-\mu, \quad(\lambda, \mu) \in(\operatorname{Sp}(A))^{2}\right\}\) formé des différences de deux valeurs propres quelconques de \(A\).
\end{itemize}

Le but de cet exercice est d'établir que les deux propriétés suivantes sont valables pour toute matrice symétrique à coefficients réels \(A\) :

★ \(\Phi_{A}\) est un endomorphisme diagonalisable.\\
★ les valeurs propres de \(\Phi_{A}\) forment l'ensemble \(\Gamma\) c'est-à-dire que \(\operatorname{Sp}\left(\Phi_{A}\right)=\Gamma\).

\section*{PARTIE I : Etude d'un cas particulier}
Dans cette partie uniquement, on suppose que \(n=2, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\) et on admet les deux propriétés suivantes:

\begin{itemize}
  \item \(\Phi_{A}\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\),
  \item la famille \(\left(V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}\right)\) est une base de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) où l'on a posé :
\end{itemize}

\[
V_{1}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad V_{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad V_{3}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad V_{4}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \item Justifier que la matrice \(T\) de l'endomorphisme \(\Phi_{A}\) dans la base ( \(V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}\) ) s'écrit :
\end{enumerate}

\[
T=\left(\begin{array}{cccc}
0 & -1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 0
\end{array}\right)
\]

En déduire la diagonalisabilité de \(T\).\\
2. Vérifier que \(T^{3}=4 T\). Qu'en déduit-on sur les valeurs propres de \(T\) ?\\
3. Déterminer une base de l'espace propre associée à 0 de la matrice \(T\).\\
4. Calculer \(T X_{1}\) et \(T X_{2}\) où \(X_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)\) et \(X_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)\).\\
5. Expliciter alors une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(T=P D P^{-1}\) (on ne demande pas le calcul de \(P^{-1}\) ).

\section*{PARTIE II : Réduction de \(\Phi_{A}\) dans le cas général}
On revient désormais au cas général, \(A\) étant une matrice symétrique quelconque de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que \(\Phi_{A}\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
  \item Prouver que l'application \((M, N) \in\left(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\right)^{2} \mapsto\langle M \mid N\rangle\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
  \item Etablir que, pour toutes matrices \(M, N\) appartenant à \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), on a :
\end{enumerate}

\[
\left\langle\Phi_{A}(M) \mid N\right\rangle=\left\langle M \mid \Phi_{A}(N)\right\rangle .
\]

En déduire que \(\Phi_{A}\) est un endomorphisme diagonalisable.\\
4. Soient

\begin{itemize}
  \item \(X \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\),
  \item \(Y \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\mu\).
\end{itemize}

On pose alors :

\[
M_{X, Y}=X^{t} Y \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})
\]

(a) Justifier que \(M_{X, Y} \neq 0\) puis que \({ }^{t} Y A=\mu^{t} Y\).\\
(b) Etablir que \(\Phi_{A}\left(M_{X, Y}\right)=(\lambda-\mu) M_{X, Y}\) puis que \(\Gamma \subset \operatorname{Sp}\left(\Phi_{A}\right)\).\\
5. Soit \(M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) un vecteur propre de \(\Phi_{A}\) associé à la valeur propre \(\alpha\).\\
(a) On suppose que pour tout vecteur propre \(Z\) de \(A\), on a \(M Z=0\).

Montrer alors que \(M=0\).\\
En déduire qu'il existe au moins un vecteur propre \(Z_{0}\) de \(A\) tel que \(M Z_{0} \neq 0\).\\
On note \(\mu\) la valeur propre associée à \(Z_{0}\).\\
(b) En revenant à l'expression de \(\Phi_{A}(M)\), justifier que \(M Z_{0}\) est un vecteur propre de \(A\) pour une valeur propre dont on précisera l'expression à l'aide de \(\alpha\) et \(\mu\).\\
(c) Conclure.

\section*{EXERCICE 2}
Le but de l'exercice est l'étude de la fonction \(f\) définie par la formule suivante :

\[
f(x)=\int_{0}^{+\infty} e^{-2 t} \sqrt{1+x^{2} e^{2 t}} d t
\]

\begin{enumerate}
  \item Domaine de définition de \(f\) :\\
(a) Justifier que pour tout réel \(a>0\), l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} e^{-a t} d t\) est convergente et donner sa valeur.\\
(b) Soit \(x\) un réel fixé. Etablir la convergence de l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} e^{-2 t} \sqrt{1+x^{2} e^{2 t}} d t\).
\end{enumerate}

Par conséquent, \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et elle est clairement paire. On va donc l'étudier sur \(0 .-\infty[\).\\
2. Branche infinie de la courbe représentative de \(f\) :\\
(a) Vérifier l'encadrement suivant, pour tout réel \(x\) strictement positif et pour tout réel \(t\) positif ou nul :

\[
x e^{t} \leqslant \sqrt{1+x^{2} e^{2 t}} \leqslant x e^{t}+\frac{e^{-t}}{2 x} .
\]

(b) Prouver que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on a :

\[
x \leqslant f(x) \leqslant x+\frac{1}{6 x}
\]

(c) Préciser alors la nature de la branche infinie de la courbe représentative de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).\\
3. Dérivabilité et monotonie de \(f\) :\\
(a) A l'aide du changement de variable \(u=x e^{t}\), que l'on justifiera, prouver la formule suivante lorsque \(x\) est un réel strictement positif :

\[
f(x)=x^{2} \int_{x}^{+\infty} \frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u^{3}} d u
\]

(b) Montrer que la fonction \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(] 0,+\infty[\) et que sa dérivée est donnée, pour tout réel \(x\) strictement positif, par :

\[
f^{\prime}(x)=\frac{2 f(x)-\sqrt{1+x^{2}}}{x} .
\]

(c) Justifier, pour tout réel \(x\) strictement positif, l'égalité suivante :

\[
2 f(x)=\sqrt{1+x^{2}}+x^{2} \int_{x}^{+\infty} \frac{d u}{u \sqrt{1+u^{2}}}
\]

En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \(] 0,+\infty[\).\\
4. Etude locale de \(f\) et \(f^{\prime}\) en 0 :\\
(a) Justifier que la formule suivante est valable pour tout réel \(x\) strictement positif:

\[
\int_{x}^{+\infty} \frac{d u}{u \sqrt{1+u^{2}}}=-\frac{\ln (x)}{\sqrt{1+x^{2}}}+\int_{x}^{+\infty} \frac{u \ln (u)}{\left(1+u^{2}\right)^{3 / 2}} d u
\]

et que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} \frac{u \ln (u)}{\left(1+u^{2}\right)^{3 / 2}} d u\) est convergente.\\
(b) A l'aide des questions précédentes, démontrer alors que l'on a:

\[
f^{\prime}(x) \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\sim}-x \ln (x) \quad \text { et } \quad f(x)-\frac{1}{2} \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\sim}-\frac{x^{2} \ln (x)}{2} .
\]

(c) En déduire que \(f\) est une fonction de classe \(C^{1}\) sur \(\left[0,+\infty\left[\right.\right.\) et préciser la valeur de \(f^{\prime}(0)\).

\section*{PROBLEME}
Dans tout le problème, \(a\) et \(b\) désignent des entiers naturels tous deux non nuls et l'on note \(N=a+b\).\\
On considère une urne contenant initialement \(a\) boules blanches et \(b\) boules noires, dans laquelle on effectue des tirages successifs, au «hasard» et « avec remise» d'une boule, en procédant de la façon suivante :

\begin{itemize}
  \item lorsque la boule tirée est blanche, elle est remise dans l'urne avant de procéder au tirage suivant,
  \item lorsque la boule tirée est noire, elle n'est pas remise dans l'urne, mais remplacée dans cette urne par une boule blanche et l'on procède alors au tirage suivant.
\end{itemize}

\section*{PARTIE I}
Soient ( \(\Omega, \mathcal{A}, p\) ) un espace probabilisé et \(Y: \Omega \mapsto \mathbb{R}\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l'obtention d'une première boule blanche.

\begin{enumerate}
  \item Préciser soigneusement l'ensemble des valeurs prises par la variable \(Y\).
  \item Pour tout entier \(k\) compris entre 1 et \(b+1\), calculer la valeur de la probabilité \(P(Y=k)\).
  \item Vérifier que
\end{enumerate}

\[
P(Y=b+1)=\frac{b!}{N^{b}}
\]

et que, pour tout entier \(k\) compris entre 1 et \(b\), la formule suivante est vraie:

\[
P(Y=k)=\frac{b!}{(b-(k-1))!N^{k-1}}-\frac{b!}{(b-k)!N^{k}} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Soient \(M\) un entier naturel non nul et \(a_{0}, a_{1}, ., a_{M}\) une famille de réels. Etablir que :
\end{enumerate}

\[
\sum_{k=1}^{M} k\left(a_{k-1}-a_{k}\right)=\left(\sum_{k=0}^{M-1} a_{k}\right)-M a_{M} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item En déduire que \(E(Y)=\sum_{k=0}^{b} \frac{b!}{(b-k)!N^{k}}\).
\end{enumerate}

PARTIE II

Dans cette partie on note :

\begin{itemize}
  \item pour tout entier \(n \geqslant 1, q_{n}\) la probabilité de l'événement, noté \(N_{n}\) : « la \(n\)-ième boule tirée est noire ».
  \item pour tout entier \(n \geqslant 0, X_{n}\) le nombre aléatoire de boules noires obtenues au cours des \(n\) premiers tirages. Par convention \(X_{0}=0\).
  \item pour tous entiers \(n \geqslant 0\) et \(k \geqslant 0, p_{n, k}\) la probabilité de l'événement : « au cours des \(n\) premiers tirages, on a obtenu exactement \(k\) boules noires ».
\end{itemize}

On remarquera que \(p_{0,0}=1\) et que \(p_{n, k}=0\) si \(k>n\) ou si \(k>b\).\\
1 Shit \(n \in \mathbb{N}\) salculer \(n_{\text {n n nit }}\) nuis \(n_{\text {m } .}\). Que vaut. la somme \(\sum^{n} n_{m}\) ?


\end{document}