\documentclass[10pt]{article}
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\title{Mathématiques \\
 Option Scientifique }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
CONCOURS D'ADMISSION 2010

Mercredi 21 avril 2010 de 8h00 à 12h00\\
Durée : 4 heures\\
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":\\
\(8 h 00-13 h 20\)

Aucun document n'est autorisé.\\
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
L'énoncé comporte 9 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

EXERCICE 1\\
Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on considère les intégrales :

\[
u_{n}=\int_{0}^{1} \frac{d t}{1+t+t^{2}+\cdots+t^{n-1}} \quad \text { et } \quad v_{n}=\int_{0}^{1} \frac{u^{1 / n}-u^{2 / n}}{1-u} d u
\]

\begin{enumerate}
  \item Convergence de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\).\\
(a) Vérifier que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \geqslant 1, \quad \forall t \in\left[0,1\left[, \quad \frac{1}{1+t+t^{2}+\cdots+t^{n-1}}-(1-t)=\frac{(1-t) t^{n}}{1-t^{n}} .\right.\right.
\]

En déduire que : \(\forall n \geqslant 1, \quad 0 \leqslant u_{n}-\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{n+1}\).\\
Quelle est la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) ?\\
(b) En utilisant le changement de variable \(u=t^{n}\), établir que :

\[
\forall n \geqslant 1, \quad u_{n}-\frac{1}{2}=\frac{v_{n}}{n} .
\]

\section*{2. Résultats intermédiaires.}
(a) Pour tout entier \(k \geqslant 1\), calculer la limite suivante : \(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(\ln (x))^{k}}{x-1}\).\\
(b) Soit \(k\) un entier naturel non nul.

Prouver la convergence de l'intégrale \(\int_{0}^{1} \frac{(\ln (x))^{k}}{x-1} d x\).\\
(c) On introduit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)=e^{x}-e^{2 x}\).

A l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange en 0 à l'ordre 1 appliquée à la fonction \(f\), montrer que :

\[
\forall x \in]-\infty, 0], \quad\left|e^{x}-e^{2 x}+x\right| \leqslant \frac{3 x^{2}}{2} .
\]

\section*{3. Application.}
(a) En utilisant la question 2, démontrer que :

\[
\forall n \geqslant 1, \quad\left|v_{n}+\frac{1}{n} \int_{0}^{1} \frac{\ln (u)}{1-u} d u\right| \leqslant \frac{3}{2 n^{2}} \int_{0}^{1} \frac{(\ln (u))^{2}}{1-u} d u .
\]

(b) On considère l'intégrale \(I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (u)}{1-u} d u\) que l'on ne cherchera pas à calculer.

Donner alors un équivalent de \(v_{n}\) puis un équivalent de \(u_{n}-\frac{1}{2}\) en fonction de \(I\).

\section*{EXERCICE 2}
Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathbb{R}_{n}[X]\) l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus \(n\). On considère l'application \(f\) qui à un polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_{n}[X]\) associe le polynôme :

\[
f(P)=P^{\prime \prime}-4 X P^{\prime} .
\]

\begin{enumerate}
  \item Etude de \(f\). Soit \(n\) un entier naturel fixé uniquement dans cette question.\\
(a) Justifier que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_{n}[X]\).\\
(b) Calculer \(f(1), f(X)\) puis \(f\left(X^{k}\right)\) pour \(k \in\{2, . ., n\}\).
\end{enumerate}

Etablir alors que la matrice \(A_{n}\) de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}_{n}[X]\) est triangulaire.\\
(c) Prouver que \(f\) est diagonalisable et que chacun de ses espaces propres est de dimension 1.\\
(d) Soit \(P\) un vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\).

Etablir que : \(\lambda=-4 \operatorname{deg}(P)\).\\
En déduire qu'il existe un unique polynôme unitaire \(H_{n}\) de degré \(n\) tel que

\[
\left(\mathcal{E}_{n}\right): f\left(H_{n}\right)=-4 n H_{n} .
\]

Rappel : un polynôme unitaire est un polynôme dont le coefficient dominant vaut 1 .\\
2. Etude de la suite \(\left(H_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).\\
(a) En dérivant la relation \(\left(\mathcal{E}_{n}\right)\), démontrer que :

\[
\forall n \geqslant 1, \quad f\left(H_{n}^{\prime}\right)=-4(n-1) H_{n}^{\prime} .
\]

En déduire que :

\[
\forall n \geqslant 1, \quad H_{n}^{\prime}=n H_{n-1} \quad \text { et } \quad \forall n \geqslant 2, \quad H_{n}-X H_{n-1}+\frac{(n-1) H_{n-2}}{4}=0 .
\]

(b) Pourquoi peut-on affirmer que \(H_{0}=1\) et \(H_{1}=X\) ?

Calculer alors \(H_{2}\) et \(H_{3}\).\\
(c) D'après ce qui précède, la suite \(u_{n}=H_{n}(1)\) satisfait à la relation de récurrence :

\[
u_{0}=1, \quad u_{1}=1, \quad \forall n \geqslant 2, \quad u_{n}=u_{n-1}-\frac{(n-1) u_{n-2}}{4} .
\]

Ecrire un programme en Pascal calculant \(u_{2010}\).\\
3. Application aux points critiques d'une fonction à trois variables.

On note \(U\) l'ouvert de \(\mathbb{R}^{3}\) défini par :

\[
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \quad \text { tel que } \quad x \neq y \text { et } y \neq z \text { et } z \neq x\right\}
\]

ainsi que la fonction \(V\) définie sur \(U\) par :\\
\(\forall(x, y, z) \in U, \quad V(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\ln |x-y|-\ln |y-z|-\ln |z-x|\). Soit \((\alpha, \beta, \gamma) \in U\).\\
(a) Etablir que \((\alpha, \beta, \gamma)\) est un point critique de \(V\) si et seulement si \((\alpha, \beta, \gamma)\) est solution du système :

\[
(\mathcal{S}):\left\{\begin{array}{l}
2 \alpha(\alpha-\gamma)(\alpha-\beta)=2 \alpha-\beta-\gamma \\
2 \beta(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)=2 \beta-\alpha-\gamma \\
2 \gamma(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)=2 \gamma-\alpha-\beta
\end{array}\right.
\]

(b) On introduit le polynôme \(Q(X)=(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma)\).

Montrer que \((\alpha, \beta, \gamma)\) est solution de \((\mathcal{S})\) si et seulement si \(Q^{\prime \prime}-4 X Q^{\prime}\) admet pour racines \(\alpha, \beta, \gamma\).\\
(c) Prouver que si \((\alpha, \beta, \gamma)\) est un point critique de \(V\) alors

\[
Q^{\prime \prime}-4 X Q^{\prime}=-12 Q
\]

puis que \(Q=H_{3}\) (cf. question 2.b).\\
Donner alors les points critiques de \(V\).

PROBLEME\\
Soit \(r\) un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Une urne contient \(r\) boules numérotées \(1,2, . ., r\). On pioche indéfiniment les boules avec remise, chaque boule pouvant être piochée de façon équiprobable.\\
Pour tout entier \(i \in\{1,2, . ., r\}\), on note \(Y_{i}\) la variable aléatoire égale au « nombre de pioches nécessaires pour obtenir \(i\) boules distinctes ». On convient que \(Y_{1}=1\). On désigne par \(X_{r}\) la variable aléatoire égale au « nombre de pioches nécessaires pour obtenir les \(r\) boules numérotées \(1,2, . ., r »\). Il est immédiat que \(X_{r}=Y_{r}\).\\
Par exemple, en supposant que \(r=4\), si les boules piochées successivement portent les numéros:

\[
3, \quad 3, \quad 3, \quad 1, \quad 1, \quad 1, \quad 1, \quad 2, \quad 3, \quad 2, \quad 4, \quad 1, \quad \ldots
\]

alors on a: \(Y_{1}=1, \quad Y_{2}=4, \quad Y_{3}=8, \quad Y_{4}=X_{4}=11\).\\
La partie \(\mathbf{I}\) établit certains résultats préliminaires qui seront utilisés dans d'autres parties.\\
La partie II se consacre à l'étude de la loi des variables discrètes \(Y_{i+1}-Y_{i}\) afin d'en déduire l'espérance et la variance de la variable discrète \(X_{r}\).\\
La partie III détermine la loi de la variable \(X_{r}\) puis étudie la distribution asymptotique de la variable \(X_{r}\) autour de sa moyenne.

On note exp la fonction exponentielle définie par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad \exp (x)=e^{x} .
\]

\section*{PARTIE I : Résultats préliminaires.}
\begin{enumerate}
  \item Etude d'une suite.
\end{enumerate}

On introduit la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) définie par : \(\forall n \geqslant 1, \quad u_{n}=\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}\right)-\ln (n)\).\\
(a) Ecrire un programme Pascal permettant de calculer \(u_{n}\) pour un entier \(n \geqslant 1\) donné.\\
(b) A l'aide d'un développement limité, justifier que \(u_{n}-u_{n+1} \underset{n \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{1}{2 n^{2}}\). En déduire la nature de la série \(\sum_{n \geqslant 1}\left(u_{n}-u_{n+1}\right)\) puis démontrer la convergence de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\).\\
(c) Montrer que la suite \(\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^{2}}\right)_{n \geqslant 1}\) converge (on ne demande pas le calcul de la limite).

\section*{2. Loi de Gumbel.}
Soit \(Z\) une variable aléatoire continue. On suppose que \(Z\) suit la loi de Gumbel, c'est-à-dire que sa fonction de répartition \(F_{Z}\) est définie par :

\[
\forall t \in \mathbb{R}, \quad F_{Z}(t)=\exp (-\exp (-t)) .
\]

(a) Vérifier que la fonction \(F_{Z}\) est bien une fonction de répartition puis que \(Z\) possède une densité que l'on précisera.\\
(b) On considère la variable aléatoire \(W=\exp (-Z)\).

Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(W\).\\
En déduire que la variable aléatoire \(W\) suit une loi usuelle dont on précisera le ou les paramètres.\\
(c) Pour tout entier \(k\), montrer que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty}(\ln (x))^{k} e^{-x} d x\) est absolument convergente.\\
(d) En justifiant le changement de variable \(x=\exp (-t)\), démontrer que la variable \(Z\) admet un moment d'ordre \(k\) valant:

\[
E\left(Z^{k}\right)=\int_{0}^{+\infty}(-\ln (x))^{k} e^{-x} d x
\]

\section*{PARTIE II : Etude de la variable \(X_{r}\)}
\begin{enumerate}
  \item Etude du cas \(r=3\).
\end{enumerate}

On suppose uniquement dans cette question que \(r=3\), c'est-à-dire que l'urne ne contient que trois boules numérotées respectivement \(1,2,3\) chacune pouvant être piochée avec la probabilité \(\frac{1}{3}\).\\
(a) Soit \(n\) un entier naturel non nul.

Comparer les événements \(\left(Y_{2}>n\right)\) et \(C_{n}\) : «les \(n\) premières pioches fournissent des boules portant toutes le même numéro».\\
Calculer la probabilité \(P\left(C_{n}\right)\). En déduire la probabilité \(P\left(Y_{2}>n\right)\) puis donner la loi de la variable \(Y_{2}\).\\
(b) Justifier que :

\[
\forall n \geqslant 1, \quad P\left(Y_{3}-Y_{2}=n\right)=\sum_{k=2}^{+\infty} P\left(\left[Y_{3}=n+k\right] \cap\left[Y_{2}=k\right]\right)
\]

puis que :

\[
\forall n \geqslant 1, \quad \forall k \geqslant 2, \quad P\left(\left[Y_{3}=n+k\right] \cap\left[Y_{2}=k\right]\right)=\frac{1}{3^{k-1}}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} .
\]

En déduire la loi de la variable \(Y_{3}-Y_{2}\).\\
Dans toute la suite du problème, \(r\) désignera un entier supérieur ou égal à 2.\\
2. Loi de \(Y_{i+1}-Y_{i}\) pour \(i \in\{1,2, . ., r-1\}\).\\
(a) Justifier que :

\[
Y_{i}(\Omega)=\{i, i+1, i+2, . .\}=\mathbb{N} \backslash\{0,1,2, . ., i-1\} \quad \text { et } \quad\left(Y_{i+1}-Y_{i}\right)(\Omega)=\mathbb{N} \backslash\{0\} .
\]

(b) Démontrer que :

\[
\forall n \geqslant 1, \quad \forall k \geqslant i, \quad P_{\left(Y_{i}=k\right)}\left(Y_{i+1}-Y_{i}=n\right)=\left(\frac{i}{r}\right)^{n-1}\left(1-\frac{i}{r}\right) .
\]

(c) En déduire que \(Y_{i+1}-Y_{i}\) suit une loi usuelle dont on précisera le ou les paramètres puis établir que :

\[
E\left(Y_{i+1}-Y_{i}\right)=\frac{r}{r-i} \quad \text { et } \quad V\left(Y_{i+1}-Y_{i}\right)=\frac{r . i}{(r-i)^{2}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Espérance et variance de \(X_{r}\).\\
(a) Justifier que : \(X_{r}=1+\sum_{i=1}^{r-1}\left(Y_{r-i+1}-Y_{r-i}\right)\).
\end{enumerate}

En admettant que les variables \(Y_{2}-Y_{1}, Y_{3}-Y_{2}, \ldots, Y_{r}-Y_{r-1}\) sont indépendantes, vérifier que :

\[
E\left(X_{r}\right)=r \sum_{i=1}^{r} \frac{1}{i} \quad \text { et } \quad V\left(X_{r}\right)=r^{2} \sum_{i=1}^{r} \frac{1}{i^{2}}-r \sum_{i=1}^{r} \frac{1}{i} .
\]

(b) A l'aide de la question I.1, prouver l'existence de deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que :

\[
E\left(X_{r}\right) \underset{r \rightarrow+\infty}{=} r \ln (r)+\alpha r+o(r) \quad \text { et } \quad V\left(X_{r}\right) \underset{r \rightarrow+\infty}{\sim} \beta r^{2} .
\]

\section*{PARTIE III : Loi de \(X_{r}\) et de sa déviation asymptotique par rapport à sa moyenne.}
Pour tout entier \(k \in\{1,2, . ., r\}\) et tout entier naturel \(m \geqslant 1\), on considère l'événement \(A_{k, m}\) : «le numéro \(k\) n'a pas été pioché durant les \(m\) premières pioches».

\begin{enumerate}
  \item Loi de \(X_{r}\).
\end{enumerate}

Soit \(m\) un entier naturel non nul.\\
(a) Pour tout entier \(k \in\{1,2, \ldots, r\}\), calculer successivement :

\begin{itemize}
  \item la probabilité de l'événement \(A_{k, m}\),
  \item la probabilité de l'événement « \(k\) numéros n'ont pas été piochés au cours des \(m\) premières pioches».\\
(b) Justifier que :
\end{itemize}

\[
P\left(X_{r}>m\right)=P\left(A_{1, m} \cup A_{2, m} \cup \cdots \cup A_{r, m}\right)
\]

puis, en utilisant la formule du crible de Poincaré, démontrer que :

\[
\begin{aligned}
P\left(X_{r}>m\right) & =\binom{r}{1}\left(1-\frac{1}{r}\right)^{m}-\binom{r}{2}\left(1-\frac{2}{r}\right)^{m}+\cdots+(-1)^{r-1}\binom{r}{r}\left(1-\frac{r}{r}\right)^{m} \\
& =\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k-1}\binom{r}{k}\left(1-\frac{k}{r}\right)^{m} .
\end{aligned}
\]

En déduire la loi de \(X_{r}\).\\
2. Comportement de \(X_{r}\) au delà de sa moyenne.\\
(a) A l'aide d'une récurrence sur \(m\), montrer que, pour toute famille ( \(D_{1}, . ., D_{m}\) ) d'événements, on a :

\[
P\left(D_{1} \cup D_{2} \cup \cdots \cup D_{m}\right) \leqslant P\left(D_{1}\right)+P\left(D_{2}\right)+\cdots+P\left(D_{m}\right) .
\]

(b) Démontrer que pour tout réel \(x\), on a : \(\exp (x) \geqslant 1+x\). En déduire que :

\[
\forall m \in \mathbb{N} \backslash\{0\}, \quad \forall k \in\{1, . ., r\}, \quad P\left(A_{k, m}\right) \leqslant \exp \left(-\frac{m}{r}\right) .
\]

(c) Soit \(\varepsilon>0\), on note \(M_{r}\) la partie entière de \((1+\varepsilon) r \ln (r)\), c'est-à-dire l'unique entier relatif tel que :

\[
M_{r} \leqslant(1+\varepsilon) r \ln (r)<M_{r}+1 .
\]

Comparer les événements « \(\left(X_{r}>M_{r}\right)\) » et « \(\left(X_{r}>(1+\varepsilon) r \ln (r)\right)\) ». En déduire que :

\[
P\left(X_{r}>(1+\varepsilon) r \ln (r)\right) \leqslant \frac{\mathrm{e}}{r^{\varepsilon}} .
\]

Ainsi on vient d'établir que :

\[
\forall \varepsilon>0, \quad \lim _{r \rightarrow+\infty} P\left(X_{r}>(1+\varepsilon) r \ln (r)\right)=0
\]

qui peut se traduire ainsi : l'événement « \(X_{r}\) est significativement supérieur à sa moyenne » est un événement asymptotiquement rare.\\
3. Distribution de \(X_{r}\) autour de sa moyenne.

On introduit la suite \(\left(Z_{r}\right)_{r \geqslant 2}\) de variables aléatoires définie par :

\[
\forall r \geqslant 2, \quad Z_{r}=\frac{X_{r}-r \ln (r)}{r} .
\]

Soit \(t\) un réel fixé, on note \(m_{r}\) la partie entière du réel \(r \ln (r)+r t\), c'est-à-dire l'unique entier relatif tel que :

\[
m_{r} \leqslant r \ln (r)+r t<m_{r}+1 .
\]

(a) Justifier l'existence d'un rang \(r_{0}(t)\) tel que :

\[
\forall r \geqslant r_{0}(t), \quad m_{r} \geqslant 1
\]

puis prouver l'égalité :

\[
\forall r \geqslant r_{0}(t), \quad P\left(Z_{r}>t\right)=P\left(X_{r}>m_{r}\right) .
\]

(b) Soit \(k\) un entier naturel. A l'aide d'un développement limité, établir que :

\[
m_{r} \ln \left(1-\frac{k}{r}\right) \underset{r \rightarrow+\infty}{=}-k \ln (r)-k t+o(1)
\]

(c) Démontrer que, pour tout entier \(k\), on a : \(\binom{r}{k} \underset{r \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{r^{k}}{k!}\).

En déduire que :

\[
\forall k \in \mathbb{N}, \quad \lim _{r \rightarrow+\infty}\binom{r}{k}\left(1-\frac{k}{r}\right)^{m_{r}}=\frac{\exp (-k t)}{k!} .
\]

(d) En admettant que l'on a :

\[
\lim _{r \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{r-1}(-1)^{k-1}\binom{r}{k}\left(1-\frac{k}{r}\right)^{m_{r}}=\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1} \frac{\exp (-k t)}{k!},
\]

exprimer la valeur de la limite \(\lim _{r \rightarrow+\infty} P\left(Z_{r} \leqslant t\right)\) en fonction de \(F_{Z}(t)\) (définie à la question I.2).\\
Quel résultat vient-on d'établir sur la suite de variables aléatoires \(\left(Z_{r}\right)_{r \geqslant 2}\) ?


\end{document}