\documentclass[10pt]{article}
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\title{Mathématiques \\
 Option Scientifique }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{Mercredi 20 avril 2011 de 8h00 à 12h00 }
\section*{Durée : 4 heures}
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps" :\\
8h00-13h20

Aucun document n'est autorisé.\\
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.\\
L'énoncé comporte 8 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

\section*{Ecricome Option Scientifique sujet principal}
\section*{EXERCICE 1.}
Soit \(n\) un entier naturel non nul, on considère \(E=\mathbb{R}_{n}[X]\) l'espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\) des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\).\\
Pour tout entier naturel \(j\), on note \(P^{(j)}\) la dérivée \(j\)-ième de \(P\).\\
On définit la famille de polynômes \(\left(P_{k}\right)_{0 \leqslant k \leqslant n}\) par :

\[
P_{0}(X)=1 \text { et } \forall k \in\{1, \ldots, n\}, \quad P_{k}(X)=\frac{X(X-k)^{k-1}}{k!} .
\]

\begin{enumerate}
  \item (a) Prouver que la famille ( \(P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n}\) ) est une base de \(E\).\\
(b) Montrer que pour tout entier \(k\) appartenant à \(\{1, \ldots n\}\), on a :
\end{enumerate}

\[
P_{k}^{\prime}(X+1)=P_{k-1}(X)
\]

puis, pour tous les entiers \(k . j\) vérifiant \(1 \leqslant j \leqslant k \leqslant n\). donner une relation entre \(P_{k}^{(j)}(X)\) et \(P_{k-j}(X-j)\).\\
(c) Soit \(P \in E\). justifier l'existence d'un \((n+1)\)-uplet \(\left(a_{0} . a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n-1}\) tel que :

\[
P=a_{0} P_{0}+a_{1} P_{1}+\cdots+a_{n} P_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k} P_{k}
\]

puis établir que :

\[
\forall j \in\{0,1, \ldots, n\}, \quad P^{(j)}(j)=a_{j} .
\]

Ainsi on a établi la relation :

\[
\forall P \in E, \quad P=\sum_{l=0}^{n} P^{(k)}(k) P_{k} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item On considère l'application \(u\) définie sur \(E\) par :
\end{enumerate}

\[
\forall P \in E, \quad u(P)(X)=P^{\prime}(X+1) .
\]

(a) Etablir que \(u\) est un endomorphisme de \(E\).\\
(b) Ecrire la matrice \(A\) de l'endomorphisme \(u\) dans la base ( \(P_{0}, P_{1}, \ldots P_{n}\) ) de \(E\).\\
(c) Déterminer le rang de \(A\) ainsi que ses valeurs propres.\\
(d) La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? (Une réponse argumentée est attendue)\\
3. On définit sur \(E \times E\) l'application \(\langle.,\).\(\rangle par :\)

\[
\forall(P: Q) \in E \times E . \quad\langle P, Q\rangle=\sum_{k=0}^{n} P^{(k)}(k) Q^{(k)}(k)
\]

(a) Démontrer que \(\langle,\).\(\rangle définit un produit scalaire sur E\).\\
(b) Justifier que la famille ( \(P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n}\) ) est une base orthonormale de \(E\).

\section*{EXERCICE 2.}
On considère :

\begin{itemize}
  \item la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par :
\end{itemize}

\[
\forall t \in \mathbb{R}_{+}^{*} . \quad \hat{\varphi}(t)=\frac{\exp (t)-1}{t}-t\left(\exp \left(\frac{1}{t}\right)-1\right) .
\]

\begin{itemize}
  \item la fonction \(\psi\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par :
\end{itemize}

\[
\forall t \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad \psi(t)=t-\frac{1}{t}-\ln (t) .
\]

\begin{itemize}
  \item \(U\) l'ouvert de \(\mathbb{R}^{2}\) défini par :
\end{itemize}

\[
U=10,+\infty\left[{ }^{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / x>0 \text { et } y>0\right\} .\right.
\]

\begin{itemize}
  \item \(f: U \rightarrow \mathbb{R}\) la fonction définie sur l'ouvert \(U\) et à valeurs réelles par :
\end{itemize}

\[
\forall(x, y) \in U, \quad f(x, y)=x^{y}-y^{x}=\exp (y \ln (x))-\exp (x \ln (y)) .
\]

où \(\exp (s)\) désigne l'exponentielle du réel \(s\) c'est-à-dire que \(\exp (s)=e^{s}\). On admet que \(f\) est de classe \(C^{2}\) sur \(U\).

L'objectif de cet exercice est de prouver que la fonction \(f\) n'admet aucun extremum sur \(U\).

\begin{enumerate}
  \item Etudier les variations de \(\psi\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\), calculer \(\psi(1)\) et préciser le signe de \(\psi\).
  \item Prouver la convergence de la série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{n-1}{n!}\) et calculer sa somme.
  \item Soit \(t \in \mathbb{R}_{+}^{*}\). Exprimer la somme \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\psi\left(t^{n-1}\right)}{n!}\) en fonction de \(\varphi(t)\) et \(\ln (t)\). On admettra la convergence de cette série.
  \item Justifier que :
\end{enumerate}

\[
\forall t \in] 0,1[. \quad \varphi(t)<\ln (t), \quad \forall t \in] 1,+\infty[, \quad \varphi(t)>\ln (t) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item Soit \((x . y) \in U\). Montrer que ( \(x, y\) ) est un point critique de \(f\) si et seulement si :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{c}
x>1, \quad y>1 ; \\
\ln (x) \ln (y)=1 ; \\
y^{x-1}=x^{y-1} \ln (x)
\end{array} .\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Soit \((x, y) \in U\) un point critique de \(f\). Justifier l'existence d'un réel \(t \in \mathbb{R}_{+}^{*}\) tel que :
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
x=\exp (t) . \quad y=\exp \left(\frac{1}{t}\right) ; \\
\varphi(t)=\ln (t) .
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Prouver que (e.e) est l'unique point critique de \(f\).
  \item En comparant les signes des fonctions \(t \mapsto f(e, e+t)\) et \(t \mapsto f(e+t . e)\). justifier que \(f\) n'admet aucun extremum sur \(U\).
\end{enumerate}

\section*{PROBLEME}
La partie \(\mathbf{I}\) consiste à justifier que les variables \(Y_{n}=\max \left(X_{1} \ldots X_{n}\right)\) et \(Z_{n}= \sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{i}\) possèdent la même loi lorsque \(\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)\) est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètre 1.

La partie II a pour objectif d'établir que, pour chaque variable aléatoire \(X\) possédant une densité \(f\) avec \(f\) continue sur \(\mathbb{R}_{+}\)et \(f\) nulle sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\). il n'existe aucune variable aléatoire \(Y\) à densité dérivable \(g\) sur \(\mathbb{R}^{*}\), nulle sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\) et vérifiant \(g-g^{\prime}=f\).

La partie III consistera à étudier les valeurs propres et vecteurs propres de l'application\\
linéaire introduite à la partie II..\\
Les parties I, II et III sont largement indépendantes.

\section*{PARTIE I. Etude des variables \(Y_{n}\) et \(Z_{n}\).}
Toutes les variables aléatoires considérées ici sont définies sur un même espace probabilisé ( \(\Omega . \mathcal{A} . P\) ).\\
Soit \(X\) une variable aléatoire, rappelons que :

\begin{itemize}
  \item \(F_{X}\) désigne sa fonction de répartition définie par : \(\forall t \in \mathbb{R} . \quad F_{X}(t)=P(X \leqslant t)\).
  \item \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(a \in] 0 .+\infty[\) si et seulement si sa fonction de répartition est définie par :
\end{itemize}

\[
F_{X}(t)=\left\{\begin{array}{cl}
0 & \text { si } t<0 ; \\
1-\exp (-a t) & \text { si } t \geqslant 0 .
\end{array}\right.
\]

où \(\exp (y)\) désigne l'exponentielle du réel \(y\) c'est-à-dire que : \(\exp (y)=e^{y}\).

On considère une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètre 1. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(Y_{n}\) et \(Z_{n}\) les deux variables aléatoires définies respectivement par:

\[
\begin{aligned}
Y_{n} & =\max \left(X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n}\right)=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} X_{i} . \\
Z_{n} & =\frac{X_{1}}{1}+\frac{X_{2}}{2}+\cdots+\frac{X_{n}}{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{i} .
\end{aligned}
\]

où \(\max \left(X_{1} \ldots X_{n}\right)\) désigne le maximum des valeurs de \(X_{1}, \ldots X_{n}\).\\
Pour finir, on désigne par \(f_{n}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[
\left\{\begin{array}{l}
f_{n}(t)=0 \text { si } t<0 \\
f_{n}(t)=n \cdot \exp (-t)(1-\exp (-t))^{n-1} \text { si } t \geqslant 0 .
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \item On considère un tableau \(X\) de nombres récls de taille 2011 (c'est-à-dire «X \(=\) array[1...2011] of real>>) préalablement rempli.\\
(a) Ecrire un programme en Pascal calculant et affichant les réels :
\end{enumerate}

\[
\max (X[1], X[2]) \quad \text { et } \quad \max (X[1], X[2], X[3]) .
\]

(b) Ecrire un programme en Pascal calculant et affichant le réel :

\[
\max (X[1], X[2], \ldots X[2011])=\max _{1 \leqslant i \leqslant 2011}(X[i j) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item (a) Pour tout réel \(t\), exprimer le réel \(F_{Y_{n}}(t)\) à l'aide des réels \(F_{X_{1}}(t), \ldots\). \(F_{X_{n}}(t)\).\\
(b) Pour tout réel \(t\), donner alors l'expression de \(F_{Y_{n}}(t)\) en fonction de \(n\) et \(t\) en distinguant le cas \(t<0\) et le cas \(t \geqslant 0\).\\
(c) Vérifier alors que la fonction \(f_{n}\) est une densité de probabilité de la variable aléatoire \(Y_{n}\).
  \item (a) Préciser la fonction de répartition de la variable aléatoire \(\frac{\mathrm{N}_{n+1}}{n+1}\).\\
(b) Démontrer que \(\frac{X_{n+1}}{n+1}\) est une variable aléatoire à densité et proposer une densité \(d_{n+1}\).
  \item Pour tout réel \(x\). vérifier que : \(\int_{0}^{r} n \cdot \exp (n t)(1-\exp (-t))^{n-1} d t=(\exp (r)-1)^{n}\).
  \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul. \(Z_{\|}\)est une variable aléatoire à densité dont \(f_{n}\) est une densité. Indication : Pour l'hérédité, on remarquera que \(Z_{n+1}=Z_{n}+\frac{X_{n+1}}{n+1}\).
\end{enumerate}

\section*{PARTIE II. Existence et unicité de la solution d'une équation différentielle.}
On désigne par \(E\) l'ensemble des fonctions \(f\) continues de [ \(0 .+\infty\) [ dans \(\mathbb{R}\) telles que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty}|f(t)| d t\) converge. On admet que \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.\\
Pour toute fonction \(f\) appartenant à \(E\). on considère l'équation différentielle

\[
\left(\mathcal{D}_{f}\right): y-y^{\prime}=f
\]

dont l'inconnue est la fonction \(y: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}\) qui est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}\). On fixe dans cette partie une fonction \(f\) appartenant à \(E\). Pour tout réel positif \(x\). on note :

\[
k_{f}(x)=\exp (x) \int_{x}^{+\infty} \exp (-t) f(t) d t
\]

\begin{enumerate}
  \item Soient \(\varphi, \psi\) deux fonctions appartenant à \(E\), dérivables sur \(\mathbb{R}_{+}\)et vérifiant l'équation ( \(\mathcal{D}_{f}\) ). On introduit la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}\)par:
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbb{R}_{+} . \quad h(x)=(\varphi(x)-v(x)) \exp (-x)
\]

(a) Prouver que la fonction \(h\) est constante sur \(\mathbb{R}_{+}\).\\
(b) En utilisant le fait que la fonction \(\varphi-\psi\) appartient à \(E\), montrer que \(\rho=\psi\).\\
Nous avons ainsi établi qu'il existe au plus une solution dans \(E\) à P'équation ( \(\mathcal{D}_{j}\) ) lorsque \(f \in E\).\\
2. Pour tout réel positif \(x\). justifier la convergence de l'intégrale \(\int_{x}^{+\infty} \exp (-t) f(t) d t\).\\
3. Etablir que la fonction \(k_{f}: x \mapsto \exp (x) \int_{x}^{+\infty} \exp (-t) f(t) d t\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}\)et que :

\[
\forall x \in \mathbb{R}_{+} . \quad k_{f}(x)-k_{f}^{\prime}(x)=f(x) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item On suppose uniquement dans cette question que \(f\) est à valeurs dans \(\mathbb{R}_{+}\) c'est-à-dire que :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \quad f(x) \geqslant 0 .
\]

(a) Vérifier les relations suivantes:

\[
\begin{aligned}
(\alpha): & \forall x \in \mathbb{R}_{+}, \\
(\beta): & \forall A \in k_{f}(x) \leqslant \mathbb{R}_{+}^{+\infty} f(t) d t \\
& \int_{0}^{A} k_{f}(x) d x=k_{f}(A)-k_{f}(0)+\int_{0}^{A} f(x) d x
\end{aligned}
\]

(b) Prouver que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty} k_{f}(x) d x\) converge et que:

\[
\int_{0}^{+\infty} k_{f}(x) d x=\int_{0}^{+\infty}(1-\exp (-x)) f(x) d x
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item On revient au cas général où \(f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}\) prend des valeurs non nécessairement positives.\\
Montrer que l'intégrale \(\int_{0}^{+\infty}\left|k_{f}(x)\right| d x\) converge.
  \item Soit \(X\) une variable aléatoire possédant une densité \(f\) avec \(f\) continue sur \(\mathbb{R}_{+}\)et \(f\) nulle sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\).\\
Justifier qu'il n'existe aucune densité \(g\) dérivable sur \(\mathbb{R}^{*}\), nulle sur \(\mathbb{R}_{-}^{*}\) et vérifiant \(g-g^{\prime}=f\) sur \(\mathbb{R}_{+}\).
\end{enumerate}

\section*{PARTIE III. Etude de l'application \(f \mapsto k_{f}\).}
A la partie II, on a établi que si \(f\) appartient à \(E\). il existe une unique fonction

\[
k_{f}: x \mapsto \exp (x) \int_{x}^{+\infty} \exp (-t) f(t) d t
\]

appartenant à \(E\) telle que :

\[
k_{f}-k_{f}^{\prime}=f .
\]

On considère alors l'application \(\varphi\) définie sur \(E\) par :

\[
\forall f \in E . \quad p(f)=k_{f} .
\]

\begin{enumerate}
  \item Etablir que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(E\).
\end{enumerate}

Définition : On dit que le réel \(\lambda\) est valeur propre de \(\bar{r}\) s'll existe une fonction \(f\) de \(E\) non identiquement nulle telle que \(\tau(f)=\lambda f\). On dit que \(f\) est un vecteur propre de \(\varphi\) associé à la valeur propre \(\lambda\) et on appelle sousespace propre de \(\varphi\) associé à \(\lambda\) l'espace vectoriel

\[
E_{\lambda}(\varphi)=\{f \in E \quad \text { telle que } \quad \gamma(f)=\lambda f\}
\]

La suite de cette partie est consacrée à la détermination des valeurs propres et des vecteurs propres de \(\varphi\).\\
2. Pour tout réel \(a>0\). on considère la fonction \(f_{a}\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}\)par :

\[
\forall x \in \mathbb{R}_{+} ; \quad f_{a}(x)=\exp (-a x) .
\]

Vérifier que \(f_{a}\) appartient à \(E\), que \(f_{a}\) est un vecteur propre de \(\varphi\) et préciser la valeur propre associée.\\
3. Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(p\) et \(f \in E\) un vecteur propre associé à la valeur propre \(\lambda\).\\
(a) Montrer que \(\lambda\) est nécessairement non nul.\\
(b) Etablir que \(f\) est dérivable et vérifie l'équation différentielle : \(f^{\prime}= \left(1-\frac{1}{\lambda}\right) f\).\\
(c) Pour tout réel positif \(x\). donner l'expression de \(f(x)\) en fonction de \(\lambda\). \(x\) et dune certaine constante.\\
(d) Montrer que \(\lambda \in] 0,1[\).\\
4. Préciser l'ensemble \(\mathrm{Sp}(\varphi)\) des valeurs propres de \(\varphi\) et, pour chaque valeur propre \(\lambda\) de \(\varphi\). proposer une base de l'espace propre \(E_{\lambda}(\varphi)\).


\end{document}