\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\section*{EXERCICE 1.}
Soient \(x \in \mathbb{R}_{+}\)et \(a \in \mathbb{R}_{+}^{*}\), on pose :

\[
f(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{d t}{x+e^{t}}, \quad g(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{d t}{\left(x+e^{t}\right)^{2}}, \quad I_{a}=\int_{0}^{+\infty} e^{-a t} d t
\]

\begin{enumerate}
  \item Soit \(a \in \mathbb{R}_{+}^{*}\). Justifier que l'intégrale \(I_{a}\) converge et donner sa valeur.
\end{enumerate}

Soit \(x \in \mathbb{R}_{+}\). Justifier que l'intégrale \(f(x)\) converge.\\
Dans la suite de l'exercice, on admettra que l'intégrale \(g(x)\) converge.\\
2. Etablir que: \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \quad \forall t \in \mathbb{R}_{+}, \quad 2 \sqrt{x e^{t}} \leqslant x+e^{t}\) puis que :

\[
\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad 0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{\sqrt{x}}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Soient \(x, y \in \mathbb{R}_{+}\)tels que \(x<y\). Etablir que : \(0<f(x)-f(y) \leqslant \frac{y-x}{2}\).
  \item Montrer que \(f\) réalise une bijection continue strictement décroissante de \(\mathbb{R}_{+}\) sur \(] 0,1]\).
  \item Prouver que l'équation \(f(x)=x\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}_{+}\). On note \(\alpha\) cette solution. Justifier que \(\alpha \in] 0,1]\).
  \item On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) définie par : \(u_{0}=0, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\).\\
(a) Etablir que: \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad\left|\alpha-u_{n}\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}\). En déduire la limite de \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\).\\
(b) On suppose qu'une fonction ECRICOME est déjà écrite en TurboPascal qui à un réel \(x\) donné renvoie le réel \(f(x)\).\\
A l'aide de la fonction ECRICOME, écrire une fonction (ou procédure) SUITE en Turbo-Pascal qui, à un réel \(\varepsilon>0\) fourni par l'utilisateur, calcule le premier entier \(N\) tel que \(\frac{1}{2^{N}} \leqslant \varepsilon\) et renvoie la valeur de \(u_{N}\) correspondante.
  \item Soient \(x \in \mathbb{R}_{+}^{*}\) et \(h \in \mathbb{R}\) tel que \(x+h \in \mathbb{R}_{+}^{*}\). Démontrer que :
\end{enumerate}

\[
|f(x+h)-f(x)+h g(x)| \leqslant \frac{h^{2}}{3}
\]

Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) avec:

\[
\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad f^{\prime}(x)=-g(x)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{7}
  \item On considère la fonction \(T\) définie sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par : \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad T(x)=x f(x)\). Justifier que :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad T^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x} \quad \text { puis que : } \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \quad T(x)=\ln (1+x) .
\]

\section*{EXERCICE 2.}
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note :

\begin{itemize}
  \item \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) l'ensemble des matrices carrées de taille \(n\) à coefficients réels;
  \item \(I_{n}\) la matrice identité de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(0_{n}\) la matrice nulle de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\).
\end{itemize}

Une matrice \(W \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) est dite nilpotente s'il existe \(q \in \mathbb{N}^{*}\) tel que \(W^{q}=0_{n}\).\\
On admettra que si \(U, V\) sont deux matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) qui commutent alors :

\begin{itemize}
  \item \(U^{k}\) et \(V^{q}\) commutent pour tous entiers \(k\) et \(q\);
  \item \(U^{-1}\) commute avec \(V\) lorsque \(U\) est inversible.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Deux résultats préliminaires.\\
(a) Soit \(U \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(q \in \mathbb{N}^{*}\) tel que \(U^{q}=0_{n}\).
\end{enumerate}

Prouver que \(I_{n}-U\) est inversible et que \(\left(I_{n}-U\right)^{-1}=\sum_{k=0}^{q-1} U^{k}\).\\
(b) Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) telle que \(A\left(A-I_{n}\right)=0_{n}\). On désigne par \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\) est \(A\).

Soit \(x \in \mathbb{R}^{n}\). Vérifier que \(x-f(x) \in \operatorname{ker}(f)\) et \(f(x) \in \operatorname{ker}(f-\mathrm{Id})\) puis établir que \(\mathbb{R}^{n}=\operatorname{ker}(f) \oplus \operatorname{ker}(f-\mathrm{Id})\). L'endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable?\\
2. Etude d'une suite de matrices. Soient \(B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(N \in \mathbb{N}^{*}\) tels que :

\[
\left(B\left(B-I_{n}\right)\right)^{N}=0_{n} .
\]

On introduit la suite \(\left(B_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) de matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) définie par :

\[
B_{0}=B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R}) \quad \text { et } \quad \forall k \in \mathbb{N}, \quad B_{k+1}=\left(B_{k}\right)^{2}\left(2 B_{k}-I_{n}\right)^{-1} .
\]

On considère pour tout entier \(k \geqslant 0\) la proposition

\begin{displayquote}
\(\left(\mathcal{H}_{k}\right): \ll 2 B_{k}-I_{n}\) est inversible, il existe \(C_{k}, D_{k} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) tels que \(B_{k}-B=\left[B\left(B-I_{n}\right)\right] C_{k}\), et \(B_{k}\left(B_{k}-I_{n}\right)=\left[B\left(B-I_{n}\right)\right]^{2^{k}} D_{k}\) avec \(B_{k} B=B B_{k}, C_{k} B=B C_{k}\) et \(D_{k} B=B D_{k}\) »\\
(a) Justifier que \(I_{n}-\left(2 B-I_{n}\right)^{2}\) est nilpotente et que \(2 B-I_{n}\) est inversible. En déduire que la propriété ( \(\mathcal{H}_{0}\) ) est vraie.\\
(b) On suppose la propriété \(\left(\mathcal{H}_{k}\right)\) vraie pour un entier \(k \geqslant 0\). Montrer que:
\end{displayquote}

\[
\begin{aligned}
2 B_{k+1}-I_{n} & =\left[I_{n}+2 B_{k}\left(B_{k}-I_{n}\right)\right] \times\left[2 B_{k}-I_{n}\right]^{-1} \\
B_{k+1}-B & =\left[\left(B_{k}-B\right)^{2}-\left(B^{2}-B\right)\right] \times\left[2 B_{k}-I_{n}\right]^{-1} \\
B_{k+1}\left(B_{k+1}-I\right) & =\left[B_{k}\left(B_{k}-I_{n}\right)\left(2 B_{k}-I\right)^{-1}\right]^{2}
\end{aligned}
\]

En déduire que la propriété ( \(\mathcal{H}_{k+1}\) ) est vraie.\\
(c) Prouver l'existence d'un entier \(p\) tel que : \(B_{p}\left(B_{p}-I_{n}\right)=0_{n}\).

Etablir que la matrice \(B_{p}\) est diagonalisable, que la matrice \(B-B_{p}\) est nilpotente et que : \(\forall k \geqslant p, \quad B_{k+1}=B_{k}\).

\section*{PROBLEME.}
L'objectif du problème est d'étudier une suite de variables aléatoires \(\left(Z_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\). Les deux premières parties sont indépendantes et la troisième utilise certains résultats obtenus dans les deux premières parties. La partie \(\mathbf{I}\) est consacrée à l'étude de deux endomorphismes sur \(\mathbb{R}_{n}[X]\). La partie II consiste à calculer l'espérance et la variance de \(Z_{k}\) ainsi qu'à calculer la somme \(\sum_{k=0}^{+\infty} P\left(Z_{k}=r\right)\) sous réserve de convergence. La partie III fournira la loi de \(Z_{k}\) ainsi que l'étude de la convergence de la série \(\sum_{k \geqslant 0} P\left(Z_{k}=r\right)\).

\section*{Partie I: Etude de deux endomorphismes.}
Soit \(n\) un entier naturel. On note \(\mathbb{R}_{n}[X]\) l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus \(n\). Pour tout entier \(k \in\{0,1, \ldots n\}\), on désigne par \(e_{k}\) le polynôme de \(\mathbb{R}_{n}[X]\) défini par :

\[
e_{k}=X^{k}
\]

Rappelons que ( \(e_{0}, e_{1}, \ldots, e_{n}\) ) est une base de \(\mathbb{R}_{n}[X]\). Si \(P \in \mathbb{R}_{n}[X]\), on définit les fonctions \(f(P)\) et \(g(P)\) par:

\[
\begin{aligned}
& \forall x \in \mathbb{R} \backslash\{1\}, \quad f(P)(x)=\frac{1}{x-1} \int_{1}^{x} P(t) d t \text { et } f(P)(1)=P(1) \\
& \forall x \in \mathbb{R}, \quad g(P)(x)=[(X-1) P]^{\prime}(x)=(x-1) P^{\prime}(x)+P(x)
\end{aligned}
\]

\begin{enumerate}
  \item Prouver que \(g\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_{n}[X]\).
  \item Soit \(P \in \mathbb{R}_{n}[X]\). Calculer \(f(g(P))\) puis justifier que \(\operatorname{ker}(g)=\{0\}\).
  \item Démontrer que \(g\) est un isomorphisme, que \(g^{-1}=f\) et que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_{n}[X]\).
  \item Ecrire la matrice \(A\) de \(f\) dans la base ( \(e_{0}, e_{1}, \ldots, e_{n}\) ) ainsi que la matrice \(B\) de \(g\) dans cette même base.
  \item Montrer que \(f\) et \(g\) sont diagonalisables.
\end{enumerate}

\section*{Partie II : Etude d'une suite de variables aléatoires.}
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On dispose de \(n+1\) urnes notées \(U_{0}, U_{1} \ldots, U_{n}\) et on suppose que \(\forall i \in\{0, . ., n\}\), l'urne \(U_{i}\) contient \(i+1\) boules numérotées \(0,1, \ldots, i\). On s'intéresse au jeu suivant :

\begin{itemize}
  \item au premier tirage, on pioche une boule dans l'urne \(U_{n}\). Si la boule porte le numéro \(r\) alors on repose la boule dans l'urne \(U_{n}\) puis le tirage suivant seffectue dans l'urne \(U_{r}\).
  \item Plus généralement, pour tout entier \(k\) non nul, si la boule numéro \(s\) a été piochée au \(k\)-ième tirage dans une certaine urne, on repose cette boule dans la même urne puis on effectue le ( \(k+1\) )-ième tirage dans l'urne \(U_{s}\).\\
Pour tout entier naturel \(k\), on note:
  \item \(Z_{k}\) est la variable aléatoire égale au numéro de la boule piochée au \(k\)-ième tirage. On convient que \(Z_{0}=n\).
  \item \(F_{k}\) est le polynôme de \(\mathbb{R}_{n}[X]\) défini par: \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad F_{k}(x)=\sum_{r=0}^{n} P\left(Z_{k}=r\right) x^{r}\).
  \item \(E\left(Z_{k}\right)\) l'espérance de la variable \(Z_{k}\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item A l'aide de la formule des probabilités totales, prouver que :
\end{enumerate}

\[
\forall k \in \mathbb{N}, \quad \forall r \in\{0,1, \ldots, n\}, \quad P\left(Z_{k+1}=r\right)=\sum_{i=r}^{n} \frac{P\left(Z_{k}=i\right)}{i+1} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item Etablir les deux formules suivantes valables pour tous entiers \(k \in \mathbb{N}\) et \(r \in \{0,1, . ., n-1\}\)
\end{enumerate}

\[
\left\{\begin{array}{l}
\left(\mathcal{R}_{1}\right):(n+1) P\left(Z_{k+1}=n\right)=P\left(Z_{k}=n\right) \\
\left(\mathcal{R}_{2}\right):(r+1) P\left(Z_{k+1}=r\right)-(r+1) P\left(Z_{k+1}=r+1\right)=P\left(Z_{k}=r\right)
\end{array}\right.
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item On admet dans cette question que la série \(\sum_{k \geqslant 0} P\left(Z_{k}=r\right)\) converge pour tout \(r \in\{1, . ., n\}\) et on pose \(S_{r}=\sum_{k=0}^{+\infty} P\left(Z_{k}=r\right)\).
\end{enumerate}

En sommant les relations ( \(\mathcal{R}_{1}\) ) sur tous les entiers \(k \in \mathbb{N}\), donner la valeur de \(S_{n}\).\\
En sommant les relations \(\left(\mathcal{R}_{2}\right)\) sur tous les entiers \(k \in \mathbb{N}\), donner la valeur de \(S_{n-1}\) et montrer que la suite \(\left(r S_{r}\right)_{1 \leqslant r \leqslant n-1}\) est constante.\\
4. Soit \(k \in \mathbb{N}\). Démontrer la relation

\[
(\mathcal{S}): \forall x \in \mathbb{R}, \quad(x-1) F_{k+1}^{\prime}(x)+F_{k+1}(x)=F_{k}(x)
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item (a) Soit \(k \in \mathbb{N}\). Etablir que \(F_{k}^{\prime}(1)=E\left(Z_{k}\right)\) et \(F_{k}^{\prime \prime}(1)=E\left(Z_{k}\left(Z_{k}-1\right)\right)\).\\
(b) En dérivant une fois puis deux fois la relation \((\mathcal{S})\), donner la relation de récurrence vérifiée par la suite \(\left(F_{k}^{\prime}(1)\right)_{k \in \mathbb{N}}\) ainsi que la relation de récurrence vérifiée par la suite \(\left(F_{k}^{\prime \prime}(1)\right)_{k \in \mathbb{N}}\).\\
(c) Donner la valeur de \(F_{k}^{\prime}(1)\) et de \(F_{k}^{\prime \prime}(1)\) en fonction de \(k\) et \(n\). Expliciter alors la variance \(V\left(Z_{k}\right)\) de \(Z_{k}\) en fonction de \(k\) et \(n\).
\end{enumerate}

\section*{Partie III : Loi de chacune de ces variables aléatoires.}
On reprend toutes les notations des parties \(\mathbf{I}\) et \(\mathbf{I I}\) et on pourra admettre tous les résultats établis dans ces deux parties. Rappelons également qu'à la question II. 4 la relation ( \(\mathcal{S}\) ) est démontrée ce qui revient à écrire :

\[
\forall k \in \mathbb{N}, \quad g\left(F_{k+1}\right)=F_{k} .
\]

Pour finir, pour tout entier \(k \in\{0,1, . ., n\}\) on désigne par \(u_{k}\) le polynôme de \(\mathbb{R}_{n}[X]\) définie par :

\[
u_{k}=(X-1)^{k} .
\]

\begin{enumerate}
  \item Montrer que: \(\forall k \in \mathbb{N}, \quad \sum_{r=0}^{n} P\left(Z_{k}=r\right) e_{r}=F_{k}=f^{k}\left(e_{n}\right)\).
  \item Prouver que ( \(u_{0}, u_{1}, . ., u_{n}\) ) est une base de \(\mathbb{R}_{n}[X]\).
  \item Calculer \(f\left(u_{r}\right)\) pour \(r \in\{0,1, \ldots, n\}\). Retrouver ainsi que \(f\) est diagonalisable.
  \item Justifier que : \(e_{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} u_{r}\) et que: \(\forall r \in\{0.1 \ldots n\} . \quad u_{r}=\sum_{j=0}^{r}(-1)^{r-j}\binom{r}{j} e_{j}\).
  \item Démontrer que : \(\forall k \in \mathbb{N}, \quad f^{k}\left(e_{n}\right)=\sum_{r=0}^{n} \frac{\binom{n}{r}}{(r+1)^{k}} u_{r}\).
  \item Soient \(k \in \mathbb{N}\) et \(j \in\{0,1, . ., n\}\). A l'aide des questions précédentes, établir que :
\end{enumerate}

\[
P\left(Z_{k}=j\right)=\sum_{r=j}^{n}(-1)^{r-j} \frac{\binom{n}{r}\binom{r}{j}}{(r+1)^{k}} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{6}
  \item Application.\\
(a) Soit \(j \in\{0,1, \ldots, n\}\). Déterminer un réel \(M_{j, n}\) tel que :
\end{enumerate}

\[
\forall k \in \mathbb{N}, \quad\left|P\left(Z_{k}=j\right)\right| \leqslant \frac{M_{n, j}}{(j+1)^{k}}
\]

puis justifier que la série \(\sum_{k \geqslant 0} P\left(Z_{k}=j\right)\) converge lorsque \(j \in\{1, . ., n\}\).\\
(b) Déterminer un réel \(C_{n}\) tel que: \(\forall k \in \mathbb{N}, \quad\left|P\left(Z_{k}=0\right)-1\right| \leqslant \frac{C_{n}}{2^{k}}\).

La série \(\sum_{k \geqslant 0} P\left(Z_{k}=0\right)\) est-elle convergente?


\end{document}