Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte.

Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Les parties du problème sont indépendantes.

1 feuille de papier millimétré à rendre non-pliée avec les copies en fin d'épreuve.

Dans cette partie, l'espace est rapporté à un repère orthonormé direct ( ). On considère les quadriques d'équations cartésiennes respectives :

En déduire la nature de et déterminer son axe de révolution.

Le plan euclidien orienté est rapporté au repère orthonormé direct ( ). Soit la courbe ayant pour représentation paramétrique :

Tracer proprement la courbe et ses asymptotes.
3. Déterminer le repère de Frenet au point de la courbe .
4. Déterminer le rayon de courbure au point de la courbe .
5. On définit le centre de courbure au point par la relation :

Déterminer les coordonnées du centre de courbure .
On note la courbe ayant pour représentation paramétrique :

(b) Calculer la longueur de l'arc de correspondant à .

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , on considère l'hyperbole équilatère d'équation .
On considère le point de d'abscisse 2 et le point , symétrique de par rapport au point .

On désignera par et ses racines, éventuellement confondues.
Exprimer et en fonction de et .
2. Déterminer l'excentricité de .
3. Donner les coordonnées des points et et vérifier que appartient à .
4. Former une équation cartésienne du cercle de centre , passant par .
5. Former l'équation aux abscisses (d'inconnue ) traduisant la condition nécessaire et suffisante pour qu'un point de appartienne à .
6. Vérifier que l'on peut factoriser l'équation polynomiale d'inconnue précédente sous la forme : , où désigne un polynôme de degré 3 que l'on déterminera.
7. Calculer et . En déduire que le polynôme possède 3 racines réelles distinctes deux à deux distinctes que l'on ne calculera pas. On les notera .
8. En déduire que le cercle rencontre en trois points deux à deux distincts et . Exprimer les coordonnées de ces points en fonction des réels . Vérifier qu'ils sont distincts de .
9. On considère le triangle . Déterminer les coordonnées de son centre de gravité. Qu'en déduisez-vous?