Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

è é

Dans tout le problème,

est un entier strictement positif,

désigne un espace vectoriel réel de dimension finie

l'ensemble des endomorphismes de

l'identité dans

l'endomorphisme nul sur

PARTIE A

Dans cette question, est de dimension 2 . On considère la base de . On considère l'application linéaire ayant pour matrice, dans la base :

(a) Montrer que

est un projecteur. Quel est son rang?
(b) Déterminer le noyau et l'image de

.
2. Dans cette question,

est de dimension 3 . On considère la base

désigne la droite vectorielle engendrée par le vecteur

le plan engendré par les vecteurs

. Déterminer la matrice, dans la base

, du projecteur sur

parallèlement à

.
3. Dans cette question et jusqu'à la fin de cette partie,

désignera un projecteur de

, où

est un espace vectoriel de dimension

. Montrer que

sont supplémentaires dans

; on pourra écrire, pour

.
4. Soit

l'endomorphisme défini par :

. Montrer que

est un projecteur de

. Déterminer le noyau et l'image de

. Calculer

.
5. Soient

deux projecteurs de

.
(a) Montrer que si

alors

est un projecteur de

.
(b)

que

.
(c) Montrer alors que

.
6. L'espace vectoriel

est désormais muni d'un produit scalaire

. La norme du vecteur

est notée

. Enfin, le sous-espace orthogonal d'un sous-espace vectoriel

, sera noté

. On rappelle qu'un projecteur de

est dit orthogonal lorsque son noyau et son image sont orthogonaux. Soit

un projecteur de

.
(a) Montrer que si

est un projecteur orthogonal alors :

(b) Montrer que si la condition

est vérifiée alors

est un projecteur orthogonal.

PARTIE B

Soit

un endomorphisme de

qui commute avec tous les endomorphismes de

, c'est-à-dire :

Soit . Montrer que la droite vectorielle Vect( ) possède un supplémentaire dans que l'on notera . On précisera la dimension de .
Montrer qu'il existe un réel tel que . (On utilisera le fait que le projecteur sur parallèlement à , noté , et commutent.)
Soit , non colinéaire au vecteur ; on note le réel tel que . Montrer que .
Reprendre la question précédente lorsque est non nul et colinéaire au vecteur .
En déduire quels sont les endomorphismes de qui commutent avec tous les endomorphismes de .

PARTIE C

On considère ici l'espace vectoriel

des matrices carrées d'ordre

.
Soit

, on note

la somme des coefficients de la diagonale de

la matrice transposée de

.
On définit l'application

dans

par :

Montrer que est un produit scalaire sur .
Soit , montrer que

On note l'ensemble des matrices antisymétriques de et l'ensemble des matrices symétriques de . Montrer que et sont deux sous-espaces orthogonaux de .
On note la norme associée au produit scalaire .

Soit

une matrice orthogonale de

, et

une matrice de

.
Exprimer

en fonction de

.
5. On considère dans cette question uniquement que

. On désigne par

le sousespace vectoriel de

défini par :

(a) Donner une base de

.
(b) Déterminer la matrice

, image de

, par la projection orthogonale sur

PARTIE D

On définit l'application

dans

par :

Montrer que est un produit scalaire sur .
Soit muni de sa base canonique .
(a) Calculer et .
(b) On note la base orthonormale de telle que:

Déterminer explicitement les polynômes

.
3 . Soit

.
On considère l'ensemble des sommes

(a) Montrer qu'il existe un polynôme

, et un seul, de

tel que :

(b) Déterminer le projeté orthogonal du polynôme

sur le sous-espace vectoriel

.
(c) Montrer alors que l'ensemble

possède un minimum atteint pour un polynôme

et un seul. Déterminer ce minimum.