Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Ce problème propose l'étude mathématique de quelques solutions des équations différentielles du mouvement de certains pendules et de certains systèmes masse-ressort.

PARTIE I

Soit une constante réelle donnée dans le segment . Quel est, en fonction de , le domaine de définition de la fonction de la variable réelle où

Donner la parité éventuelle de

et son sens de variation.
Pour

de valeur absolue strictement inférieure à 1 , exprimer

en fonction de

et de la constante

.
2. Pour tout

entier positif ou nul, calculer par récurrence les intégrales

Donner un développement de la constante

en série entière de la variable

. Quel est le rayon de convergence de ce développement en série entière?
3. Montrer que la fonction

est injective sur son domaine de définition. On note

sa fonction réciproque.

Quels sont le domaine de définition de

, sa parité éventuelle et son sens de variation?
Pour

de valeur absolue strictement inférieure à 1 , exprimer

en fonction de

.
4. On définit les trois fonctions

de la variable réelle

par les relations

Donner leurs domaines de définition et leur parité éventuelle.
Exprimer la dérivée de chacune des trois fonctions

en fonction de

.
5. Exprimer les fonctions

à l'aide des fonctions trigonométriques circulaires.
6. Exprimer les fonctions

à l'aide des fonctions hyperboliques.

PARTIE II

Soit

un repère orthonormé direct du plan euclidien orienté

. On note

la courbe d'équation paramétrique de point générique

défini par

où

décrit le segment

et où

est une constante réelle donnée strictement positive.

Représenter graphiquement la courbe en précisant ses éventuels éléments de symétrie ainsi que sa tangente aux points et .
Calculer l'abscisse curviligne du point , lorsque est choisie de telle façon que ce soit une fonction croissante de s'annulant en . Quelle est la longueur de ?
On désigne par l'angle entre la tangente en à et l'axe . On suppose désormais que le paramètre est lui-même une fonction, à valeurs dans , d'une variable réelle . On pose .

On suppose que la fonction

vérifie le problème

où

est une constante réelle strictement positive donnée.

Déterminer la fonction

. La période de

dépend-elle de

PARTIE III

Pour et réels vérifiant , démontrer la convergence de l'intégrale

En mettant le polynôme

sous la forme

puis en effectuant un ou plusieurs judicieux changement(s) de variable(s), calculer la valeur de cette intégrale.
2. Soit

donné vérifiant

et soit l'intégrale

Utiliser la valeur de

pour calculer la limite de

lorsque

tend vers 0 : on pourra utiliser

comme nouvelle variable.
3. Soit

un réel donné strictement positif. Etudier la convergence de l'intégrale

Quelle est la valeur de

?
4. On désigne par

une fonction à valeurs réelles définie et continue sur

En se ramenant à un système autonome de deux équations différentielles du premier ordre en

, où l'on a posé

, donner une condition suffisante sur

pour que le problème

admette une solution maximale unique.
On admettra sans chercher à donner des conditions sur

que tout problème de cette forme rencontré dans la suite de cette épreuve admet, pour toutes constantes données

, une solution et une seule de classe

sur

.
5. On note

la primitive de

qui s'annule en

, autrement

. On pose

Montrer que, si

est non nul et si

est suffisamment petit pour que la dérivée

de la solution

du problème (1) garde un signe constant sur

, cette solution est solution du problème

où l'équation différentielle écrite est alors équivalente à une équation à variables séparables.
On admettra que, dans les cas particuliers rencontrés ci-dessous, toute solution de classe

de (2) est solution de (1).
6. On suppose dans cette question que la constante

n'est pas nulle et on pose

. Montrer qu'il existe un intervalle

contenant

tel que l'unique solution

du problème (1) soit injective sur

Montrer que pour tout

dans

on a

Soit une constante réelle donnée strictement positive et soit une constante réelle donnée strictement supérieure à 2 . Soit dans cette question l'unique solution du problème

Montrer qu'il existe

, que l'on précisera, tel que la fonction

puisse être exprimée à l'aide de la fonction

: on pourra prendre

comme nouvelle variable.
8. On suppose dans cette question 8 que

, donc que

est nul, que

est non nul, qu'il existe

tel que

et tel que

est non nul, et enfin que

est strictement positif sur

.
a) Montrer la convergence de l'intégrale

.
b) On note

la valeur de cette intégrale. Comment varie alors la solution

du problème (1) sur l'intervalle

?
c) Comment varie alors la solution

du problème (1) sur l'intervalle

?
d) En déduire que cette solution est périodique de période

.
9. Soit

une constante réelle strictement positive donnée. Dans cette question 9 on choisit

Montrer que la solution

du problème (1) est alors une fonction périodique.
Donner la valeur de sa période sous une forme intégrale.
Quelle est la limite de cette période lorsque

tend vers 0 ?
10. Soit

une constante réelle strictement positive donnée. Dans cette question 10 on choisit

Montrer que la solution

du problème (1) est encore une fonction périodique.
Déterminer sa période en fonction de

et de

pour une valeur de

que l'on précisera.