Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit

A rendre avec la copie :

3 feuilles de papier millimétré.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte.
Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Dans tout ce problème, le corps de base est celui des nombres réels.
Le plan euclidien orienté usuel

est rapporté à un repère orthonormé direct (

désignant deux points quelconques du plan, leur distance euclidienne est notée

Notations

Soit

un arc birégulier du plan

.
On notera

le repère de Frenet de l'arc

au point

.
L'arc

étant paramétré par l'abscisse curviligne :

la courbure de au point sera notée ;
le rayon de courbure de au point est le réel ;
le centre de courbure de au point est le point , défini par : .

On rappelle les formules de Frenet :

Les trois parties du problème sont indépendantes.

PARTIE A

Soient

les deux points du plan

de coordonnées respectives

. On désigne par

l'ensemble des points

du plan tels que :

Quelle est la nature de l'ensemble ? Précisez ses éléments caractéristiques.
Former une équation cartésienne (sans radicaux) de .

On choisit désormais de considérer le paramétrage de

défini sur [

[ par :

Déterminer le repère de Frenet de cet arc au point , puis le rayon de courbure en ce point.
En déduire les coordonnées du centre de courbure de associé au point .
On désigne par l'arc paramétré comme suit :

est l'arc de

correspondant à

.
En étudiant les fonctions

, construire avec soin

; on précisera les tangentes aux extrémités de

.
6. Par quelles transformations géométriques déduit-on la construction de

de celle de

? Construire

sur la même figure.
7. Calculer l'aire

intérieure à la courbe fermée

.
8. Calculer la longueur de l'arc

puis celle de l'arc

PARTIE B

Soient

les deux points du plan

de coordonnées respectives

. On considère l'arc paramétré

ayant pour équation polaire :

On oriente

dans le sens des

croissants et on prend pour origine des arcs le point

de coordonnées cartésiennes (

Étudier et construire avec soin . On précisera notamment les tangentes aux points de paramètres 0 et . (unité graphique : 4 cm )
Soit un point de , montrer que .
On désigne par l'arc paramétré comme suit :

Étudier les fonctions

, préciser l'allure de la branche infinie de l'arc

puis le construire sur la même figure que

.
4. Déterminer l'aire

du domaine plan délimité par

et le segment

PARTIE C

Dans cette partie, on désigne par

les points du plan

de coordonnées respectives

désignant un réel strictement positif, on note

l'ensemble des points

du plan tels que

Former une équation cartésienne de (on éliminera les radicaux).
Déterminer le nombre de points d'intersection de avec l'axe des abscisses.
Soit un point quelconque du plan.
(a) Montrer que : .
(b) Montrer que : .
(c) En déduire que pour tout point de on a : .
Déterminer les éléments de symétrie de .
On désigne par l'arc de situé dans le quart de plan .

Montrer que la courbe

admet une équation cartésienne de la forme

, où

désigne une fonction de la variable réelle positive que l'on déterminera.
6. On se propose d'étudier la fonction définie par

(a) Déterminer le domaine de définition

de la fonction proposée.
(b) Déterminer la dérivée

. Étudier la dérivabilité de

aux bornes de

.
(c) Étudier le signe de

.
(d) Dresser le tableau de variation de

.
7. Tracer avec soin les courbes

pour