Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit

A rendre avec la copie :

4 feuilles de papier millimétré.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultat non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Partie I

On se place dans l'espace euclidien

muni d'un repère orthonormé direct (

). Soit

un réel.

Soit la surface d'équation

(a) Quelle est la nature de

?
(b) Quelle est la nature de l'intersection entre

et un plan d'équation

? (on pourra séparer plusieurs cas en fonction des valeurs du paramètre

).
Dessiner la courbe obtenue pour

(on précisera les points d'intersection entre la courbe et les axes de coordonnées).
(c) Quelle est la nature de l'intersection entre

et un plan d'équation

? Dessiner la courbe obtenue pour

(on précisera les éléments caractéristiques de la courbe : sommets, asymptotes, ...).
2. Soit

la forme quadratique définie par

(a) Pour tout couple de réels

, donner une relation entre

, et

.
(b) Ecrire

comme combinaison linéaire de trois carrés.
(c) Déterminer une transformation orthogonale

telle que

où

sont des constantes positives que l'on précisera. Quelle est la nature de l'application

?
3. On considère la quadrique

d'équation

Quelle est la nature de

? Préciser le centre de cette quadrique.
4. On note

l'intersection entre

et le plan

. Quelle est la nature de

?
5. Donner une équation cartésienne du cône

ayant pour sommet le point de coordonnées

, s'appuyant sur la courbe

.
6. Soit

le point de coordonnées

. On désigne par

le cône de sommet

et s'appuyant sur

.
(a) Donner une équation cartésienne de

.
(b) A quelle condition sur

le point

de coordonnées

appartient-il à

?
(c) Déterminer l'ensemble des sommets des cônes de

contenant

et le point

Partie II

On considère l'espace euclidien

muni d'un repère orthonormé direct (

). On note

les surfaces d'équations respectives

(a) Quelle est la nature des surfaces et ?
(b) Vérifier que et sont des surfaces de révolution, et déterminer, pour chacune d'elles, leur axe.
(c) Donner l'allure de et sur un même dessin.
On appelle méridienne de une courbe obtenue comme intersection de avec un plan contenant l'axe ( ).
(a) Déterminer la nature de la méridienne contenue dans le plan d'équation .
(b) En utilisant les symétries du problème, déterminer la nature de toutes les méridiennes.
(a) Soit un réel strictement positif. Déterminer l'équation de la tangente à la méridienne de passant par le point ( ).
(b) Déterminer l'intersection de cette tangente avec le plan d'équation .
(c) En déduire que l'intersection de cette tangente avec est réduite à deux points.
(d) Montrer que l'intersection avec de toute tangente à une méridienne de , distincte de la tangente à l'origine, est réduite à deux points.
On considère, pour un angle fixé, les vecteurs et définis par

Quelles sont les équations cartésiennes des surfaces

dans le repère

?
5 . Tout point

est repéré par la donnée des paramètres (

) (coordonnées cylindriques) tels que

Donner une équation paramétrique de la surface

en fonction des paramètres

.
6. Soit

la courbe paramétrée définie, dans le repère (

), par

où

est une fonction de

. Vérifier que tout point de

appartient à

.
7. On suppose que la fonction

de la question précédente est de classe

. On considère le vecteur

.
Donner, en fonction de

, les coordonnées du vecteur

dans la base

, puis dans la base

.
A quelle condition la courbe précédente est-elle régulière ? On supposera dorénavant cette condition vérifiée.
8. Donner, dans le repère

, une représentation paramétrique de la tangente

à la courbe

au point de paramètre

.
9. Montrer que la droite

et la surface

ont au plus deux points d'intersection.
10. Montrer que

est tangente à

si et seulement si

Partie III

Dans le plan

muni d'un repère orthonormé direct (

), on considère la courbe

dont une équation en coordonnées polaires est donnée par :

Donner la pente de la tangente à la courbe au point de paramètre .
Calculer et .

Qu'en déduisez-vous quant à l'allure de la courbe

?
3. Calculer la longueur de l'arc compris entre les points d'angle polaire 0 et

.
4. Calculer l'aire de la portion de plan comprise entre l'arc précédent et l'axe des abscisses.
5. Déterminer le repère de Frenet associé à

au point de paramètre

.
6. Déterminer le rayon de courbure de

au point de paramètre

.
7. (a) Rappeler la définition de la développée d'une courbe.
(b) Quelle est la développée de la courbe

?
8. Dessiner sur un même dessin la courbe

et sa développée.

Les deux premières parties de ce problème étudient des lieux de points de l'espace satisfaisant une même propriété géométrique. On obtient une surface dans le premier cas, une courbe tracée sur une surface dans le second cas. La troisième partie étudie certaines propriétés caractéristiques de la spirale logarithmique (une des courbes solution du problème de la partie II).