Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultat non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Soit

un espace vectoriel et

un endomorphisme de

. Un sous-espace vectoriel

est dit stable par

si et seulement si

ce qui s'écrit également

Préliminaire

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice carrée d'ordre

à coefficients réels soit diagonalisable.

Partie I

Dans l'espace vectoriel

, on considère l'endomorphisme

dont la matrice dans la base canonique est donnée par

Montrer que la matrice est diagonalisable.
Calculer le polynôme caractéristique de la matrice .

Déterminer les valeurs propres de cette matrice.
Quelle est la dimension des sous-espaces propres?
3. Déterminer une base (

) de vecteurs propres de

.
4. On pose

. Montrer que

est stable par

.
5. On pose

. Montrer que

est stable par

Partie II

Dans l'espace vectoriel

, on considère les endomorphismes

dont les matrices dans la base canonique sont respectivement

Montrer que les matrices et sont diagonalisables.
Vérifier que les endomorphismes et commutent.
Déterminer tous les vecteurs propres de associés à la valeur propre 1.

Vérifier que ces vecteurs sont aussi vecteurs propres de

.
4. Déterminer le sous-espace propre de

associé à la valeur propre -1 .

Vérifier que ce sous-espace propre est stable par

Partie III

Dans l'espace vectoriel

, on considère l'endomorphisme

dont la matrice dans la base canonique est donnée par

Déterminer le polynôme caractéristique de .
La matrice est-elle diagonalisable?
Montrer qu'une droite vectorielle est stable par si et seulement si est un vecteur propre de .
En déduire toutes les droites vectorielles stables par .
Montrer que est bijectif.
Montrer que, si est un sous-espace vectoriel de .
Montrer qu'un sous-espace vectoriel de est stable par si et seulement si .
Soient des réels non tous nuls et

Soit

la forme linéaire sur

définie par

(a) Donner la matrice de

dans la base canonique de

.
(b) Vérifier que

.
(c) Montrer que

est stable par

si et seulement si

.
(d) Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel

de dimension 1 tel que

(e) Montrer que, si

sont deux applications linéaires non identiquement nulles de

dans

, alors il existe un réel

tel que

(f) En déduire que

est stable par

si et seulement si il existe un réel

tel que

(g) En écrivant la relation précédente sous forme matricielle, montrer que

est stable par

si et seulement si le vecteur

est un vecteur propre

.
(h) En déduire tous les plans vectoriels stables par

Partie IV

Soit

un espace euclidien de dimension finie. On suppose

. On note

le produit scalaire des vecteurs

la norme du vecteur

. On se donne un vecteur

de norme 1 et, pour tout réel

, on pose, pour tout

Vérifier que est un endomorphisme de .
Montrer que pour tous réels non nuls .
Montrer que pour tous vecteurs et , on a .
Vérifier que est un vecteur propre de .
Montrer que 1 est valeur propre de .

Quel est le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 ?
L'endomorphisme

est-il diagonalisable?
6. Pour quelles valeurs de

l'endomorphisme

est-il inversible ? Calculer dans ce cas son inverse.
7. Pour quelles valeurs de

l'endomorphisme

est-il une isométrie (i.e., pour tout

? Caractériser dans ce cas cet endomorphisme.
8. En utilisant la question 3 , montrer que si

est un sous-espace vectoriel stable par

, alors

est également stable par