Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Le sujet comporte un problème en deux parties et un exercice indépendants

PROBLÈME

Partie I

Dans le plan euclidien rapporté au repère orthonormé direct (

), on considère la conique

d'équation :

é é

On désigne par

le point de coordonnées (

) avec

réel non nul et par

le point de coordonnées

Dans cette question, on suppose .
(a) Préciser alors la nature et les éléments caractéristiques de .
(b) Former les équations des tangentes à menées par . On désigne par la tangente non verticale.
(c) Former les équations des tangentes à menées par . On désigne par ( ) la tangente non verticale.
(d) Déterminer les coordonnées du point , intersection des droites ( ) et ( ).
(e) On note l'ensemble des points lorsque décrit . Déterminer la nature de .
Déterminer, suivant les valeurs du réel , la nature de .
Donner les vecteurs directeurs des axes ainsi que le centre , lorsqu'il existe, de .

Partie II

Dans l'espace euclidien rapporté au repère orthonormé (

), on considère les points

. On désigne par

la droite

; par

la droite d'équations

; par

la droite d'équations

;

la droite d'équations

; par

la droite d'équations

Donner une représentation paramétrique de .
On considère le point de d'abscisse et le point de d'abscisse ; donner une représentation paramétrique de la droite ( ).
A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur et la droite ( ) a-t-elle une intersection non vide avec ?
On suppose dans cette question que la droite ( ) a une intersection non vide avec . Donner une représentation paramétrique de ( ), on veillera à ce que le paramètre n'apparaisse plus.
Soit une droite qui rencontre les droites et ; montrer qu'elle est incluse dans la quadrique d'équation .
Déterminer la nature de cette quadrique dont le centre a pour coordonnées .
Vérifier que les droites et ne sont pas coplanaires.
Donner un système d'équations cartésiennes de la perpendiculaire commune aux droites et .
On désigne par la surface de révolution engendrée par la rotation de la droite autour de la droite .
(a) Donner une équation de la surface .

On écrira cette équation sous la forme

.
(b) Les coordonnées

du centre

de cette surface sont les solutions du système :

Déterminer les coordonnées de

.
(c) Donner une équation réduite de la surface

dans le repère (

En déduire la nature de

EXERCICE

Dans cette partie,

désigne un espace vectoriel de dimension

. On dit qu'un endomorphisme

est cyclique si, et seulement s'il existe un vecteur

tel que

On rappelle que

et que, pour tout entier

strictement positif

Dans cette question, . On considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est

(a) Montrer que

est cyclique.
(b) Déterminer les valeurs propres de

.
(c) Donner une base de

dans laquelle

a une matrice diagonale.
2. Dans cette question,

. On considère l'endomorphisme

dont la matrice dans la base canonique de

est

(a) Montrer que

est cyclique.
(b) Déterminer les valeurs propres de

.
(c) Donner une base de

dans laquelle

a une matrice triangulaire supérieure.
3. On se replace dans le cas où

est un entier quelconque supérieur ou égal à 2 . On considère un endomorphisme

ayant

valeurs propres distinctes

, associées respectivement aux vecteurs propres

; à l'aide du vecteur

, montrer que

est cyclique.