J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Banque PT Mathématiques B PT 2016

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
GéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesRéductionEquations différentielles
Logo banque-pt
🔗 Explorer
Banque
Banque PT
Année
2016
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2016PT MathsMaths 2016
2025_08_29_9b8e24504278a75b9e93g

Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Dans ce sujet, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.
À rendre en fin d'épreuve avec la copie une feuille de papier millimétré

Préliminaire : Questions de cours

  1. Soit une surface dont un paramétrage de classe est . Donner la définition d'un point régulier de .
  2. (a) Donner la définition d'une matrice carrée orthogonale.
    (b) Soit une matrice orthogonale de . Quelles sont les natures possibles de l'endomorphisme canoniquement associé à ? Quels calculs peut-on effectuer pour distinguer ces différentes natures? Préciser le lien entre le résultat des calculs et la nature. (On ne demande pas les éléments caractéristiques.)

Partie I : 2 surfaces

Dans l'espace euclidien rapporté au repère orthonormé direct ( ), on considère la surface d'équation cartésienne
ainsi que la surface de représentation paramétrique
On note le point de de paramètres et .
  1. A propos de .
    (a) Quelle est la nature de l'intersection de avec un plan d'équation , où ? Qu'en déduit-on pour ?
    (b) Quelle est la nature de l'intersection de avec un plan d'équation , où ?
    (c) i. Quelle est la nature de l'intersection de avec un plan d'équation , où ? Distinguer différents cas suivant les valeurs de .
    ii. On note le point de coordonnées . Tracer les courbes dans le repère ( ) pour .
    On pourra confondre les points et tracer les 3 courbes dans le même repère.
    (d) Déterminer une équation cartésienne du plan tangent à en un point de de coordonnées . Cette équation ne devra pas dépendre de .
    (e) Dans le cas particulier où est le point , préciser la position relative de et du plan tangent.
  2. Comparaison de et .
    (a) Vérifier que .
    (b) A-t-on ?
  3. A propos de .
    (a) Déterminer la nature géométrique de l'ensemble des points non réguliers de .
    (b) Soit un point régulier de . Déterminer, en fonction des paramètres et , une équation cartésienne du plan tangent à au point .

Partie II : Une famille de courbes

Soit un réel distinct de 1 et -1 . On note le point de et l'ensemble des points lorsque parcourt .
  1. Donner une représentation paramétrique de .
  2. (a) Justifier que les vecteurs et engendrent un plan.
On note alors le plan passant par et dirigé par les vecteurs et .
(b) Justifier, à l'aide de la partie I, l'existence de la normale à en tout point de .
(c) Déterminer pour qu'en tout point de , la normale à en soit incluse dans .
On donne, si nécessaire, .

Partie III : Autour de

Dans cette partie, nous allons étudier le cas particulier des courbes définies dans la partie II.
  1. On considère les vecteurs et .
    (a) Déterminer un vecteur tel que ( ) forme une base orthonormée directe de .
    (b) Ecrire la matrice de passage de la base ( ) à la base ( ) et la matrice de passage de la base ( ) à la base ( ).
    (c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'endomorphisme de canoniquement associé à la matrice .
    (d) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'endomorphisme de canoniquement associé à la matrice .
  2. Les coordonnées d'un point dans le repère ( ) sont ( ) et ses coordonnées dans ( ) sont ( ). Quelle relation existe-t-il entre la matrice et les vecteurs et ?
  3. En déduire une représentation paramétrique de dans le repère ( ). Quelle est la nature de ?
On se place à nouveau dans le repère ( ), et on considère le système différentiel
ù
On appelle courbe intégrale du système différentiel toute courbe dont une représentation paramétrique est , où est une solution de .
4. Soit et , trois réels donnés. Que peut-on dire du nombre de solutions de vérifiant ?
5. (a) Justifier que est diagonalisable et la diagonaliser. On donnera une matrice diagonale semblable à , la matrice de passage retenue, ainsi que la relation liant et (le calcul de n'est pas demandé).
(b) En déduire les solutions de .
(c) Démontrer que toutes les courbes intégrales de sont planes.
(d) La courbe est-elle une courbe intégrale de ?
6. On suppose dans cette question uniquement que est à nouveau un réel quelconque. Proposer une matrice telle que soit une courbe intégrale du système différentiel linéaire à coefficients constants .
La surface s'appelle paraboloïde hyperbolique ... ainsi que peuvent le suggérer les différentes courbes rencontrées dans ce problème. Elle ressemble à une selle de cheval. Quant au plan , il s'agit du plan osculateur à au point .
Banque PT Mathématiques B PT 2016 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa