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Banque PT Mathématiques B PT 2020

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Banque
Banque PT
Année
2020
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2020PT MathsMaths 2020
2025_08_29_9bcd446b77662fa5b4d4g

Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.
Le sujet est composé de 4 parties. La troisième et la quatrième partie sont indépendantes entre elles et indépendantes du reste du sujet.
Àééé

Notations.

Dans tout le sujet, l'espace est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct ( ).
On note , l'espace vectoriel des fonctions de classe sur à valeurs dans et , l'espace vectoriel des fonctions continues sur à valeurs dans .
Pour toute fonction de , on note son gradient.
On définit la fonction sur par :
Pour tout vecteur de , on définit la fonction par

Première Partie.

  1. Démontrer que est une application linéaire à valeurs dans .
  2. Déterminer le noyau de . Qu'en déduit-on pour ?
  3. (a) Enoncer le théorème de Schwarz pour les fonctions à plusieurs variables.
    (b) Soit une fonction de classe appartenant à l'image de . Démontrer que :
  1. On pose, pour tout de .
    (a) Justifier qu'il n'existe pas de fonction telle que . Qu'en déduit-on pour la fonction ?
    (b) Déterminer toutes les fonctions telles que .

Deuxième Partie.

Soient les fonctions de définies par :
On considère alors l'espace vectoriel engendré par les fonctions et . Dans cette partie, désigne le vecteur et est la restriction de la fonction à .
  1. Démontrer que ( ) est une base notée de .
  2. Démontrer que est un endomorphisme de .
  3. (a) Déterminer la matrice de dans la base , puis calculer .
    (b) Sans calcul, donner les valeurs propres de et dire si est diagonalisable dans . Qu'en est-il de ?
    (c) De quelle(s) équation(s) aux dérivées partielles les vecteurs propres de sont-ils solutions?
    (d) Déterminer l'ensemble des fonctions solutions de l'équation

Troisième Partie.

Dans cette partie, désigne toujours le vecteur .
Soit une fonction non nulle de . On note la surface d'équation . On suppose que les fonctions choisies dans la suite sont telles que la surface est non vide et qu'au moins un point de est régulier.
Nous allons nous intéresser à quelques fonctions de telles que en tout point régulier de , le vecteur normal au plan tangent à en est orthogonal au vecteur .
  1. (a) Donner la définition d'un point régulier de puis donner une équation du plan tangent à en ce point . On notera les coordonnées de .
    (b) Lorsque est définie par et est le point de coordonnées , donner une équation du plan tangent à au point . Cette fonction répond-t-elle au problème?
  2. (a) Soit la fonction définie par où . La fonction répond-elle au problème? Décrire la surface associée.
    (b) Soit une fonction non nulle de classe sur à valeurs dans . Vérifier que la fonction , définie par répond au problème.
    (c) La fonction est-elle de la forme précédente?
  3. Soit la surface réglée engendrée par les droites dirigées par le vecteur et passant par un point du cercle , inclus dans le plan d'équation , de centre et de rayon 1.
    (a) Sans calcul, justifier que la normale au plan tangent en tout point régulier de est orthogonale au vecteur .
    (b) Démontrer qu'une équation cartésienne de est : .
    (c) Donner la nature et les éléments caractéristiques de l'intersection de avec le plan d'équation où .
    (d) La réponse à la question précédente permet-elle de dire que est une surface de révolution? Justifier soigneusement la réponse.
    (e) Soit où est le plan d'équation .
On considère les vecteurs et . On note la matrice de passage de à .
i. Sans calcul, donner la nature de l'endomorphisme de canoniquement associé à . On ne demande pas les éléments caractéristiques.
ii. Démontrer qu'un système d'équations de la courbe dans le repère ( ) est où ( ) désignent les coordonnées d'un point dans le repère ( ).
iii. Faire rapidement l'étude de et préciser sa nature.
iv. Tracer dans le repère ( ) sur la feuille de papier millimétré fournie. On prendra une unité égale à 6 cm .

Quatrième partie.

Dans cette partie, désigne le vecteur de égal à .
  1. Déterminer tous les plans dont la normale est orthogonale au vecteur . On donnera une équation cartésienne de ces plans.
    Dans la suite de cette partie, est une fonction de classe sur à valeurs dans et est la surface d'équation .
    L'objectif de cette partie est de déterminer les fonctions telles que en tout point régulier de , la normale à est orthogonale au vecteur puis on s'intéressera à l'une de ces fonctions en particulier.
  2. Démontrer que tous les points de sont réguliers.
  3. Démontrer que si est une fonction de classe sur , alors la fonction définie par est solution du problème.
  4. (a) Démontrer que si une fonction répond au problème alors est solution de l'équation aux dérivées partielles:
(b) On considère la fonction définie de dans par :
Démontrer que est une bijection de dans . Justifier que et sont de classe sur .
(c) Soit une solution au problème posé. Justifiez qu'il existe une fonction de classe sur telle que .
(d) Calculer les dérivées partielles de en fonction de celles de .
(e) Démontrer que est solution de si et seulement si est solution d'une équation aux dérivées partielles simple ( ) à préciser.
(f) Résoudre .
(g) A l'aide des questions précédentes, en particulier la question (c), en déduire les solutions de .
5. Dans cette question, est la fonction définie par :
(a) Cette fonction répond-elle au problème proposé dans cette partie?
(b) Démontrer que la surface est une surface réglée et que ses génératrices sont toutes parallèles.
(c) Déterminer les coordonnées des points de en lesquels le plan tangent à est horizontal (c'est à dire parallèle au plan d'équation ).
(d) Soit et le point de de coordonnées ( ). Déterminer la position relative de et du plan tangent à en au voisinage de .
Les surfaces rencontrées dans ce sujet sont toutes des cylindres, c'est à dire une surface engendrée par une famille de droites toutes paralléles (et dirigées par le vecteur ). L'intersection de cette surface avec un plan perpendiculaire aux génératrices - comme s'appelle une base (ou section) droite du cylindre.

Fin de l'épreuve

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