Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

I. Première partie

Pour tout entier positif

, on pose :

Calculer .
En développant par la formule du binôme de Newton, calculer (on montrera que est une somme de fractions rationnelles).
Pour tout entier positif , on pose :

Calculer

, et

.
4. Montrer que, tout entier

, le calcul de

peut se ramener au calcul de

, où

est un entier dont on donnera la valeur en fonction de

.
5. Montrer que, pour tout entier

Pour tout entier positif , exprimer, à l'aide de la relation de récurrence obtenue en 5 ., et en fonction de .
Montrer que, pour tout entier strictement positif , et tout de :

Quelle inégalité portant sur

peut-on en déduire?
8. Calculer, pour tout entier

, et en déduire la valeur de la limite

.
9. Exprimer, pour tout entier

.
10. En remarquant que:

en déduire que :

a. Montrer que, lorsque tend vers est équivalent à .
b. Montrer que, lorsque tend vers est équivalent à .
c. En déduire un équivalent de lorsque tend vers . .

II. Deuxième partie

On considère la suite

définie pour tout entier positif

par :

où

désigne la base du logarithme népérien.

Exprimer, pour tout entier positif en fonction de .
a. Rappeler le développement limité à l'ordre 3 lorsque tend vers zéro de .
b. En déduire un équivalent de lorsque tend vers .
La série de terme général est-elle convergente ?
Que peut-on en déduire pour la convergence de la suite ? On désignera, dans ce qui suit, et sous réserve d'existence, par la limite de la suite .
Donner, en fonction de et , un équivalent de lorsque tend vers .
A l'aide des résultats obtenus en I. 10, donner la valeur de .

III. Troisième partie

On considère l'équation différentielle

Soit une série entière à coefficients réels, de rayon de convergence . On suppose que la fonction est solution de sur , et n'est pas identiquement nulle. Montrer que, pour :

Quelle est la valeur du rayon de convergence de la série ?
On suppose, dans ce qui suit, que . Exprimer, pour tout entier strictement positif , en fonction de .
Déterminer, à l'aide des résultats des parties précédentes, un équivalent de lorsque tend vers .

Les intégrales

sont les intégrales de Wallis, elles ont de nombreuses applications en géométrie et en mécanique, classique ou relativiste.