Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit

A rendre avec la copie :

2 feuilles de papier millimétré.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Les trois parties du problème peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Soit

un réel strictement positif. On considère l'application

-périodique, continue par morceaux, telle que, pour tout réel

L'application

-périodique, continue par morceaux, est définie pour tout réel

par :

I. Première partie

Pour cette question uniquement, on prend .
a. Tracer le graphe de la fonction sur .
b. Tracer le graphe de la fonction sur .
(on fera deux figures distinctes)
Rappeler la définition des coefficients de Fourier trigonométriques d'une fonction -périodique, définie de dans , et continue par morceaux.
a. Calculer : et .
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul :

c. Calculer, pour tout entier naturel

, les coefficients de Fourier trigonométriques de

.
d. Calculer, pour tout entier naturel

, les coefficients de Fourier trigonométriques de

.
4. a. Rappeler la définition d'une fonction de classe

par morceaux.

sont-elles

par morceaux?

sont-elles continues sur

?
b. Justifier que, pour tout réel

Que valent :
a. ?
b. ?

Deuxième partie

On considère l'application

, définie pour tout réel

par :

a. On considère la fonction , définie par : . est-elle continue sur ?
Montrer que, pour tout .
b. est-elle continue sur ? (on énoncera le théorème utilisé)
a. Montrer que, pour tout réel , et tout entier naturel strictement positif :

b. En déduire que, pour tout réel

, et tout entier naturel strictement positif

c. Montrer que, pour tout réel

, et tout entier naturel strictement positif

Dans ce qui suit, on notera :

a. Montrer que la fonction , définie par : est bornée sur .
b. Déterminer la limite de lorsque tend vers .
désignant un entier naturel non nul, calculer, pour tout entier de :

Montrer que, pour tout réel peut s'exprimer comme la somme d'une série :

et donner, pour tout entier

, une expression de

Troisième partie

Pour tout entier naturel non nul

, on considère la fonction

définie sur

par :

Pour tout réel , montrer que :

a. Montrer que la fonction est prolongeable par continuité sur en une fonction .
b. Montrer que la fonction est -périodique.
c. Montrer que la fonction est bornée.
étant le réel introduit en début de problème, on considère l'intégrale :

Montrer que l'intégrale

est convergente.
4. Montrer que :

puis que :

On désigne par l'application, -périodique, continue par morceaux, définie par :

a. Vérifier que, pour tout

.
b. On désigne par

les coefficients de Fourier de

. Montrer que :

c. Que vaut

?
6. Montrer que

converge lorsque

tend vers

, et déterminer sa limite, lorsque

tend vers

Ce problème présente des résultats concernant des fonctions exponentielles, très utilisées en traitement du signal.