Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Les deux premières parties du problème peuvent être traitées indépendamment des autres.

I. Première partie

Soit

une fonction définie sur

, continue par morceaux, et bornée.
Pour tout réel strictement positif

, on pose :

a. Calculer .
b. Montrer la convergence de l'intégrale .
On considère un réel , et deux réels strictement positifs et , tels que . Dans cette question uniquement, on suppose que :

Que vaut

dans ce cas ?
3. Dans cette question uniquement, on considère une suite

de réels strictement positifs et vérifiant, pour tout entier naturel

.
On suppose aussi, dans cette question uniquement, que

est définie par :

i. Soit

un entier naturel non nul. Montrer que:

ii. Montrer que la série de terme général

converge.
iii. En déduire que

peut s'écrire comme somme d'une série, dont on donnera l'expression du terme général en fonction du réel

.
b. On suppose, que pour tout entier naturel

, et :

.
i. Etudier le signe de la différence

pour tout entier naturel

. (on pourra distinguer le cas où

est pair de celui où

est impair)
ii. La série de terme général

est-elle convergente?
iii. Déterminer deux réels

tels que, pour

tendant vers

où

est une constante positive que l'on ne cherchera pas à déterminer.
iv. En déduire la convergence de la série de terme général

.
4. Dans cette question uniquement, on suppose que la fonction

est continue et bornée sur

Soit

un entier naturel non nul.
a. Montrer que :

.
b. Soit

un réel strictement positif.

Montrer qu'il existe un réel positif, que l'on notera

, indépendant de

, tel que :

c. Quelle est la limite de

lorsque

tend vers

II. Deuxième partie

Dans cette partie,

désigne un entier naturel non nul.

Résoudre dans l'équation . On désignera par et ses racines, avec .
Montrer que la fonction est de classe sur privé de et .
Rappeler la formule de Leibniz donnant la dérivée $è$ du produit de deux fonctions et de classe .
On suppose, uniquement dans cette question : .

En utilisant la relation

, montrer que, pour tout

privé de

On pose, pour tout entier naturel .
a. Que valent et ?
b. On suppose, uniquement dans cette question : . Montrer que : .
c. En remarquant que est une suite récurrente d'ordre 2 , exprimer, pour tout entier naturel en fonction de et .
Exprimer, en utilisant la formule de Taylor-Young, le développement limité de à l'ordre au voisinage de 0 .
a. Déterminer deux réels et tels que :

b. Exprimer, en fonction de

, la dérivée

è

de la fonction

Donner, de même, en fonction de

, la dérivée

è

de la fonction

.
c. Retrouver alors le résultat du 5. c.
8. On s'intéresse maintenant à la série de terme général

.
a. Cette série est-elle convergente?
b. Que vaut

III. Troisième partie

a. Soit un réel strictement positif, tel que . Que vaut: ?
b. En déduire, pour tout réel strictement positif :

(On justifiera avec soin toutes les étapes du calcul)

On introduit la suite définie par :

a. Exprimer, pour tout entier naturel

en fonction de

Quel est le rayon de convergence de la série entière

?
b. Montrer que, pour des valeurs du réel

convenables :

c. En déduire, pour des valeurs du réel

que l'on précisera :

IV. Quatrième partie

Un quadrillage a une longueur de

carreaux et une hauteur de 2 carreaux.
Quel est le nombre de manières de paver complètement ce quadrillage par des rectangles de côtés de longueurs respectives 1 et 2 (les dominos recouvrent deux cases ayant un côté commun) ? (on exprimera le résultat à l'aide d'une suite

, en supposant

et on donnera la relation de récurrence qu'elle vérifie pour tout entier naturel

Au cours de ce problème, on a, successivement, étudié quelques propriétés de la Transformation de Laplace, et de la transformée en

, qui n'est autre que la Transformée de Laplace d'un signal discret, et permet de ce fait un traitement des signaux et systèmes. En première partie, on s'est intéressé à diverses propriétés de la transformée de Laplace, dont, notamment, celle d'un signal discret. En deuxième partie, on a étudié quelques propriétés de la suite de Fibonacci. La troisième partie a conduit à la transformée en

de celle-ci. En repassant à la Transformation inverse, on retrouve l'expression analytique des termes de la suite de Fibonacci obtenue en deuxième partie. La quatrième partie est une application amusante.