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Banque PT Mathématiques C PT 2010

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)

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Banque PT PT Banque PT 2010 PT Maths Maths 2010

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Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

A rendre avec la copie une feuille de papier millimétré

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Les deux premières parties du problème peuvent être traitées indépendamment du reste.

I. Première partie

a. Etudier les variations de la fonction définie sur par : .
b. Montrer que réalise une bijection de sur .
c. i. Montrer que est dérivable sur .
ii. Donner, pour tout réel de , l'expression de en fonction de .
iii. Montrer que est de classe sur .

On posera, pour tout réel

.
d. Donner, sur un graphe, dans un repère orthonormé direct, l'allure des courbes représentatives de

.
2. Soit

un réel non nul.

On pose, pour tout réel

.
a. Montrer que

est de classe

sur

.
b. Donner, pour tout réel

, l'expression de

en fonction de

.
c. Donner, pour tout réel

, l'expression de

en fonction de

.
d. Montrer que

est solution sur

de l'équation différentielle :

e. On recherche une solution de (

) développable sur ] - 1,1 [ en série entière sous la forme :

et telle que :

i. Exprimer, pour tout entier naturel

en fonction de

.
ii. Donner, pour tout entier naturel

, la valeur de

.
iii. Exprimer, pour tout entier naturel

en fonction de

(on ne cherchera pas à simplifier le numérateur) de

.
iv. Quel est le rayon de convergence de la série ainsi obtenue?
f. Déterminer les valeurs du paramètre

pour lesquelles (

) admet des solutions polynomiales (dans cette question, les valeurs de

ne sont pas fixées).
3. Dans cette question uniquement, on se place dans le cas où

Pour tout réel

, donner une expression simplifiée de

.
4. Dans cette question uniquement, on se place dans le cas où

.
a. Donner, pour tout réel

, une expression simplifiée de

en fonction de

.
b. Donner le développement en série entière de

.
5. Pour tout entier naturel non nul

, et tout réel

, on pose :

a. Montrer que, pour tout réel

est une fonction polynomiale de

, dont on précisera le degré. On désignera par

le coefficient du terme de plus haut degré de

.
b.

étant le coefficient du terme de plus haut degré de

, donner une relation entre

.
c. Pour tout entier naturel non nul

, et tout réel

, on introduit la grandeur

, dont on admettra l'existence, par la propriété :

i. Pour tout réel

, exprimer

en fonction de

.
ii. Démontrer que, pour tout réel

iii. Déduire des résultats précédents que, pour tout réel

est un polynôme en

, dont on précisera le degré et le coefficient dominant.
iv. En remarquant que, pour tout réel

exprimer alors

en fonction de

II. Deuxième partie

Dans cette partie, on considère la fonction

, définie sur

, périodique de période 2 , et telle que, pour tout réel

a. Donner, pour tout réel de , une expression plus simple de .
b. est-elle continue?
Donner, pour tout entier naturel , l'expression des coefficients de Fourier trigonométriques de .
Pour tout réel de , justifier la convergence des sommes partielles de la série de Fourier de en .
Donner la valeur des sommes suivantes:
i. .
ii. .

III. Troisième partie

Soit

un réel strictement positif. On pose :

Montrer que, pour , l'intégrale diverge.
On se place désormais dans le cas où .

Pour tout entier naturel naturel

, on pose :

a. Comparer la convergence de la série

et de l'intégrale

.
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul

c. Soit

un réel non nul. On pose :

A l'aide du changement de variable

calculer

.
d. Pour quelles valeurs de

l'intégrale

est-elle convergente ?

En Mécanique, on a souvent besoin, pour résoudre simplement et formellement des problèmes, d'approximer les quantités considérées (déplacement, ... ) . Pour cela, on utilise le panel des outils proposés à cet effet par l'analyse mathématique : séries, séries entières, séries de Fourier, ...