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Banque PT Mathématiques C PT 2014
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)
Epreuve de Mathématiques C
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
À rendre en fin d'épreuve avec la copie une feuille de papier millimétré
Partie I
Dans cette partie, on pose, pour
- (a) Montrer que
est une solution sur de l'équation différentielle
(b) Donner la solution générale de l'équation sans second membre (
(c) Résoudre
(d) En déduire une expression de
(e) Montrer que, pour tout réel positif
(c) Résoudre
(d) En déduire une expression de
(e) Montrer que, pour tout réel positif
(f) Retrouver, à l'aide de ce qui précède, le développement en série entière en 0 de la fonction exponentielle, en précisant son rayon de convergence. Tous les résultats devront être justifiés.
2. On considère les suites
2. On considère les suites
(a) Montrer que les suites
(b) Montrer que les suites
(c) En déduire que, pour tout entier naturel non nul
(b) Montrer que les suites
(c) En déduire que, pour tout entier naturel non nul
(d) On cherche à montrer que
En multipliant la double inégalité précédente par
(e) On considère la suite
(e) On considère la suite
i. Soit
ii. Montrer qu'il existe un rang
iii. Quelle est la limite de la suite
3. On considère la suite
3. On considère la suite
Quelle est sa limite lorsque
Partie II
On considère la fonction
- Etudier la continuité et les variations de la fonction
, puis tracer sa courbe représentative sur sur le papier millimétré joint, en prenant pour unité 10 cm sur l'axe des abscisses comme sur l'axe des ordonnées. - En déduire que
existe, et donner sa valeur. - On définit la suite
par et, pour tout entier naturel :
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
- Rappeler l'inégalité de Taylor-Lagrange.
- Montrer que, pour tout réel
de :
- En déduire que, pour tout entier naturel non nul
:
- Quelle est la limite de la suite
? - On pose :
(a) Montrer que
(b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul
(b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul
où on exprimera
(c) Montrer que, pour tout entier naturel
(c) Montrer que, pour tout entier naturel
(d) Pour tout couple d'entiers naturels (
i. Montrer que
ii. Montrer que, pour tout couple d'entiers
ii. Montrer que, pour tout couple d'entiers
(e) Montrer que
Partie III
- Rappeler le résultat permettant l'approximation de l'intégrale d'une fonction
continue sur un intervalle par les sommes de Riemann. - Déterminer :
- Déterminer la limite, lorsque
tend vers , de .
Ce problème met en œuvre des techniques usuelles d'analyse, qui montrent que le nombre transcendant e (aussi appelé Nombre d'Euler, ou constante de Neper), qui n'est donc solution d'aucune équation algébrique, peut s'exprimer soit comme limite de suites convergentes, ou bien comme somme d'une série.