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CCINP Mathématiques 1 MP 2013

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries entières (et Fourier)Polynômes et fractions
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CCINP
Année
2013
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2013MP MathsMaths 2013
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

Exercice 1 : une série de Fourier

On considère la fonction de dans , -périodique, impaire, vérifiant : pour tout réel et .
  1. Représenter graphiquement la fonction sur , puis déterminer la série de Fourier de la fonction .
  2. Justifier l'existence des sommes suivantes et utiliser la question précédente, en énonçant les théorèmes utilisés, pour donner leur valeur :
    (a)
    (b) .

Exercice 2 : un système différentiel

On considère le système différentiel de fonctions inconnues et de variable :
  1. On considère la matrice . Calculer le polynôme caractéristique de la matrice et en déduire que la matrice est nilpotente.
    En utilisant sans démonstration l'égalité , valable pour tout réel , donner l'expression de la matrice .
  2. En utilisant ce qui précède, ou à l'aide de toute autre méthode, trouver la solution du système différentiel vérifiant .

Problème : séries de Taylor et développement en série entière

Dans ce problème, toutes les fonctions considérées sont définies sur un intervalle de et à valeurs réelles.

Partie préliminaire

Dans cette partie, les questions sont indépendantes les unes des autres et leurs résultats peuvent être admis dans la suite du problème.
  1. Justifier, pour tout réel , l'existence de et donner sa valeur.
  2. On rappelle que la fonction est définie pour tout réel par :
Démontrer que pour tout réel et en déduire, pour tout entier naturel non nul, la valeur de .
3. Démontrer la formule de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral) :
si est un intervalle contenant le réel , si est une fonction de dans de classe sur , alors pour tout réel et pour tout entier naturel , on a :

On rappelle le theoreme suivant :

Si une fonction admet un développement en série entière sur l'intervalle , alors :
  • la fonction est de classe sur ,
  • son développement en série entière est unique et est donné par la série de Taylor de la fonction à l'origine :
é

I. Quelques exemples d'utilisation de ce théorème

  1. On considère la fonction définie sur par :
é
Démontrer que la fonction est de classe sur .
5. Expliciter une fonction de classe sur un voisinage de 0 et vérifiant, pour tout entier naturel , l'égalité !
6. Un théorème des moments
Soit une fonction développable en série entière sur avec :
On suppose, que pour tout entier naturel .
L'objectif de cette question est de montrer que est identiquement nulle sur .
(a) Démontrer que la série converge normalement sur l'intervalle .
(b) A l'aide du calcul de , démontrer que la fonction est nulle sur l'intervalle .
(c) Démontrer que est la fonction nulle sur l'intervalle .

II. Contre-exemples

  1. Donner un exemple de fonction à la fois de classe sur un intervalle et développable en série entière au voisinage de l'origine, mais qui ne coïncide pas avec sa série de Taylor en 0 sur tout entier.
  2. Un exemple de fonction ne coïncidant avec sa série de Taylor en 0 sur aucun voisinage de 0
    On considère la fonction définie sur par : pour tout réel et .
    (a) Donner, à l'aide de la calculatrice (sans étude), l'allure de la courbe de la fonction .
    (b) Par les théorèmes généraux, la fonction est de classe sur .
Démontrer que pour tout entier naturel , il existe un polynôme tel que, pour tout .
(c) Démontrer que la fonction est de classe sur avec pour tout entier naturel .
Par parité, la fonction ainsi définie est de classe sur .
(d) La fonction est-elle développable en série entière sur un intervalle ?
9. Un exemple où la série de Taylor de la fonction en 0 a un rayon nul Pour tout réel, on pose : .
(a) Justifier que, pour tout réel , la fonction est bien intégrable sur , puis démontrer que la fonction est de classe sur .
On admettra que la fonction est de classe sur et que l'on obtient les dérivées successives en dérivant sous le signe intégrale.
(b) Pour , calculer, au moyen d'une série entière, les dérivées successives en zéro de la fonction pour en déduire l'expression de pour tout entier naturel .
(c) Quel est le rayon de la série entière ?
La fonction est-elle développable en série entière à l'origine?

III. Condition suffisante

On se propose, dans cette partie, d'étudier une condition suffisante pour qu'une fonction de classe sur un intervalle centré en 0 soit développable en série entière au voisinage de 0 .
10. Soient un réel strictement positif et une fonction de classe sur l'intervalle . On suppose qu'il existe un réel tel que, pour tout réel [ et pour tout entier naturel .
(a) Démontrer que la fonction est développable en série entière au voisinage de l'origine.
(b) Donner un exemple simple de fonction pour laquelle ce résultat s'applique.

Fin de l'énoncé

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