CCINP Mathématiques 1 PC 2007

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Soit un entier supérieur ou égal à 1 . On note :

Le but du problème est d'introduire et d'étudier la notion de racine carrée d'une matrice de : si est une matrice de , on dit que est une racine carrée de si .

La première partie propose de montrer qu'une matrice donnée peut admettre une infinité de racines carrées ou n'en n'avoir aucune. La seconde partie montre l'existence et l'unicité d'une racine carrée symétrique positive de lorsque est symétrique positive et introduit la notion de valeur absolue d'une matrice symétrique réelle. Enfin la dernière partie est consacrée à l'étude d'un algorithme de calcul de la racine carrée d'une matrice symétrique définie positive.

Pour réel, soit la matrice de donnée par :

et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est .
I. 1 Déterminer suivant les valeurs de , le rang de la matrice . Quelle valeur propre de a-t-on ainsi mise en évidence ? Préciser la dimension du sous-espace propre associé.
I. 2 Montrer que est vecteur propre de , puis déterminer les valeurs propres de .
I. 3 a) Montrer que pour tout réel, est trigonalisable.
b) Déterminer l'ensemble des valeurs de pour lesquelles est diagonalisable.
I. 4 Dans cette question, on suppose .
a) Déterminer inversible et diagonale dans telles que , puis déterminer une racine carrée de .
b) Montrer que la matrice admet une infinité de racines carrées dans . En déduire que admet une infinité de racines carrées dans .
I. 5 Dans cette question, on suppose et on pose . Calculer et en déduire l'existence de et réels tels que soit une racine carrée de dans .
I. 6 Dans cette question, on suppose et on note .
a) Déterminer tous les éléments de tels que .
b) Déterminer une base de telle que la matrice de dans cette base soit

c) Déterminer les matrices commutant avec . En déduire que ne possède pas de racine carrée dans .
d) La matrice possède-t-elle une racine carrée dans ?

II. 1 Soit réels distincts deux à deux et l'application de dans définie par :

a) Montrer que est une application linéaire injective.
b) En déduire que quels que soient les réels , il existe un unique polynôme de vérifiant :

II. 2 Soit et deux endomorphismes de diagonalisables et vérifiant .
a) Démontrer, sans se contenter d'énoncer le résultat du cours, que tout sous-espace propre de est stable par .
b) Soit les valeurs propres distinctes de et les sousespaces propres de respectivement associés. Pour tout , on note l'endomorphisme de induit par . Montrer que pour tout il existe une base de formée de vecteurs propres de . En déduire qu'il existe une base de telle que les matrices de et dans cette base soient toutes deux diagonales.
II. 3 Soit et deux matrices de diagonalisables et vérifiant . Montrer qu'il existe telle que et soient toutes deux diagonales.
II. 4 Soit .
a) Montrer que est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.
b) Montrer de même que est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
II. 5 Soit . On note , les valeurs propres deux à deux distinctes de .
a) Montrer qu'il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à vérifiant :

b) Montrer que est symétrique positive.
c) Montrer que .
d) On souhaite montrer l'unicité d'une matrice symétrique positive qui soit une racine carrée de . Soit donc telle que .

Montrer que commute avec puis avec et conclure.
L'unique matrice symétrique positive racine carrée de est alors notée .
e) Dans cette question, on suppose que admet seulement deux valeurs propres distinctes et . Montrer que:

II. 6 Soit .
a) Montrer que . On note alors et cette matrice est appelée valeur absolue de la matrice .
b) Montrer que les matrices et sont dans .
c) Soit et . Calculer et .

Soit un réel strictement positif. On considère les deux suites réelles et définies par leurs premiers termes et les relations de récurrence :

III. 1 Montrer que pour tout et .
III. 2 On définit les suites et en posant pour tout et .
a) Etudier la suite .
b) Etablir une relation de récurrence vérifiée par les termes de la suite .
c) Montrer que pour tout entier supérieur ou égal à .
d) Etudier la convergence de la suite .
III. 3 Déduire des questions précédentes que les suites et convergent et préciser leurs limites respectives.
III. 4 a) Montrer que toute matrice symétrique définie positive est inversible.
b) Montrer que l'inverse d'une matrice symétrique définie positive est symétrique et définie positive.
c) Montrer que la somme de deux matrices symétriques définies positives est symétrique définie positive.
III. 5 Soit une matrice symétrique définie positive d'ordre . On considère les deux suites de matrices et définies par leurs premiers termes et les relations de récurrence :

Montrer que pour tout et sont symétriques définies positives.
III. 6 Soit diagonale et orthogonale telle que .
a) Montrer que est symétrique définie positive.
b) On pose pour tout et . Montrer que les matrices et sont des matrices diagonales inversibles vérifiant:

c) Montrer que les suites et sont toutes deux convergentes dans vers une même limite que l'on précisera.
III. 7 a) Montrer que l'application de dans lui-même qui à associe est continue.
b) En déduire que les suites et sont aussi convergentes dans et préciser leur limite.