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CCINP Mathématiques 2 MP 2009
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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsAlgèbre généraleRéduction
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
MATHEMATIQUES 2
Les calculatrices sont autorisées.
Abstract
NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.
Remarques:
Il n'est pas demandé le détail des calculs sur la copie lorsque le candidat aura besoin de calculer un déterminant, un produit de matrices, l'inverse d'une matrice ou tout autre calcul. Par exemple, pour un déterminant, il pourra se contenter d'écrire le déterminant à calculer et de donner la réponse.
- On rappelle que le candidat doit indiquer les théorèmes utilisés et lorsqu'il s'agira des théorèmes de Bézout et Gauss il indiquera leur nom.
Premier exercice
Soit
- Si
est une valeur propre de , démontrer que est une valeur propre de l'endomorphisme de . - On suppose que
est l'endomorphisme nul : .
(a) Montrer que toute valeur propre deest racine de .
(b) Réciproquement, toute racine deest-elle valeur propre de ? - On suppose dans cette question que
est un -espace vectoriel de dimension impaire et que est un endomorphisme de vérifiant . Déterminer le spectre de .
Deuxième exercice
On munit
- Donner une base
du plan et justifier, sans calcul, que est une base de . - Écrire la matrice
de la symétrie dans la base . - En déduire la matrice
.
Problème : Résultant de deux polynômes
I. Définition et propriétés
Soit
deux polynômes de
Le résultant des polynômes
Le résultant des polynômes
C'est un déterminant
Par exemple, si
Par exemple, si
La matrice servant à définir
On note
Soit
Soit
1. Cas où
(a) Démontrer que
(b) Si on suppose que
(c) Si on suppose que
2. Matrice de
(b) Si on suppose que
(c) Si on suppose que
2. Matrice de
On note
(a) Déterminer la matrice de
(b) Démontrer que
3. Racine multiple
(a) Démontrer qu'un polynôme
(b) Application : déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme
(a) Déterminer la matrice de
(b) Démontrer que
3. Racine multiple
(a) Démontrer qu'un polynôme
(b) Application : déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme
II. Applications
4. Équation de Bézout
Dans cette question, on note
(a) Démontrer, en utilisant la première partie, que les polynômes
(b) On cherche un couple
(a) Démontrer, en utilisant la première partie, que les polynômes
(b) On cherche un couple
Expliquer comment on peut trouver un tel couple en utilisant la matrice de
(c) Déterminer tous les couples
(c) Déterminer tous les couples
On pourra commencer par remarquer que, si (
5. Équation d'une courbe
(a) On considère la courbe
Étudier et construire la courbe
(b) On se donne deux polynômes
(b) On se donne deux polynômes
alors les fonctions polynômes
En déduire qu'un point
En déduire qu'un point
(c) Expliquer brièvement et sans calcul, à partir de la matrice de la forme quadratique définie sur
6. Nombre algébrique
En utilisant les polynômes
déterminer un polynôme à coefficients entiers de degré 4 ayant comme racine