CCINP Mathématiques 2 PSI 2010

Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On désigne par l'ensemble des nombres réels, par l'ensemble des nombres entiers naturels et par l'ensemble privé de 0 .
Étant donné un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, on note son déterminant, sa trace et son polynôme caractéristique. En notant id l'endomorphisme identité, on définit et, pour tout dans .
On note l'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans ou .

Étant donné un vecteur non nul et un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, on définit un entier à partir des itérés du vecteur par l'endomorphisme. Le problème porte sur l'étude de propriétés de l'endomorphisme, liées à la valeur de l'entier .
Dans la première partie, on traite un exemple dans le cas relativement élémentaire de l'espace vectoriel . Une première structure euclidienne permet d'obtenir les coordonnées des itérés d'un vecteur par l'endomorphisme; une deuxième structure euclidienne permet de montrer que des points du plan, déduits des vecteurs précédents, sont sur une ellipse.
Dans la deuxième partie, on fait établir des résultats généraux sur les endomorphismes étudiés.
Les deux parties sont indépendantes l'une de l'autre.

Soit un nombre réel tel que et .
I.1. Dans cette question, on considère l'espace vectoriel euclidien orienté rapporté à une base orthonormale directe . Étant donné deux vecteurs et de , on note leur produit scalaire et la norme du vecteur .
On définit les vecteurs et et on considère la base de . Soit l'endomorphisme de de matrice relativement à la base .
I.1.1. Déterminer le polynôme caractéristique de . En déduire les valeurs propres réelles ou complexes de .
I.1.2. Soit un vecteur quelconque de . Calculer et . En . déduire que est un automorphisme orthogonal de .
I.1.3. Déterminer la matrice de passage de la base à la base ainsi que la matrice inverse .
On note la matrice de l'endomorphisme relativement à la base . Exprimer en fonction des matrices et . Donner l'expression de et caractériser l'endomorphisme .
I.1.4. Le vecteur vérifie . Pour , on définit les vecteurs par . Pour , on note .
I.1.4.1. En calculant de deux façons , déduire de I.1.2 une relation entre , et .
I.1.4.2. Justifier que, pour , on a ; en déduire la valeur de .
I.1.4.3. En utilisant les produits scalaires et , donner un système linéaire de deux équations à deux inconnues et .
Montrer que et .
I.2. Dans cette question, on prend la base précédente comme base canonique de l'espace vectoriel . Étant donné deux vecteurs et , on définit le produit scalaire canonique de par: .
La base est alors une base orthonormale pour ce produit scalaire.
On considère le plan euclidien muni du repère orthonormal où est un point du plan. Pour tout , on note les points du plan de coordonnées ( ) dans le repère , où et sont les réels donnés dans I.1.4.
I.2.1. On note les coordonnées d'un point du plan. Déterminer trois réels tels que la conique d'équation passe par les points et . Montrer que tous les points sont sur cette conique (on pourra utiliser I.1.4.1.).
I.2.2 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice . En déduire la nature de la conique.
On prend . Donner une équation réduite de la conique et tracer cette conique dans le plan euclidien muni du repère .

Dans cette partie, est un espace vectoriel de dimension sur le corps , avec et est un endomorphisme de .
II.1. Soit un vecteur non nul de .
II.1.1. Montrer qu'il existe un entier tel que la famille de vecteurs soit liée. Justifier qu'il existe un plus petit entier tel que la famille de vecteurs soit liée. On note ce plus petit entier.
II.1.2. Justifier l'encadrement .
II.1.3. Montrer que , si et seulement si est un vecteur propre de . Montrer que , si et seulement si la famille est une base de .

Dans cette question, on suppose et on note une base de .

On considère l'endomorphisme de représenté par la matrice relativement à la base . Calculer et .
Montrer que la famille ( ) est libre. Déterminer trois réels tels que . En déduire .

On reprend le cas général où est un espace vectoriel de dimension et un endomorphisme de . Soit u un vecteur non nul de .
II.3. On suppose . D'après II.1.3., la famille est une base de . On note .
II.3.1. Déterminer la matrice de l'endomorphisme relativement à la base . Calculer et .
II.3.2 Déterminer , le polynôme caractéristique de l'endomorphisme (on pourra calculer ce déterminant en ajoutant à la première ligne, une combinaison linéaire des autres lignes; opération codée où est la ligne d'indice i).
II.4. On note l'ensemble des polynômes tels que l'endomorphisme vérifie .
II.4.1. Montrer que l'ensemble est un idéal de . En déduire qu'il existe un unique polynôme unitaire, noté , tel que est formé de tous les polynômes produit du polynôme par un polynôme quelconque de .
II.4.2. Justifier que le polynôme divise le polynôme . Montrer que le polynôme est de degré .
II.4.3. On reprend l'exemple II.2. Déterminer le polynôme . En déduire le polynôme caractéristique de puis les valeurs propres de . Dans la question II.2. on montre que la famille ( ) est libre; en utilisant ce résultat et le spectre de , en déduire que l'endomorphisme n'est pas diagonalisable.
II.4.4. On suppose que l'endomorphisme et le vecteur vérifient les hypothèses de la question II.3. : et .
Déterminer le polynôme et retrouver ainsi l'expression du polynôme caractéristique de l'endomorphisme .
II.5. Dans cette question, on suppose qu'il existe un entier tel que .
II.5.1. Déterminer le polynôme caractéristique de .
II.5.2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(1) Il existe un vecteur non nul tel que
(2) .
II.6. On suppose que l'endomorphisme est diagonalisable. Soit une base de vecteurs propres de avec pour tout .
II.6.1. On suppose qu'il existe un vecteur non nul de tel que et on considère la base de . On note . Ecrire la matrice de passage de la base à la base . En déduire que les valeurs propres de sont toutes distinctes.
II.6.2. On suppose que les valeurs propres de sont toutes distinctes.
II.6.2.1. On considère la matrice et on note une matrice colonne telle que le produit . Montrer que le polynôme est le polynôme nul. En déduire que la matrice est inversible.
II.6.2.2. Montrer qu'il existe un vecteur de , non nul, tel que .