N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Soit la fonction définie sur par :

1 - Justifier que est de classe sur . Donner pour la valeur de la dérivée de en .
2 - Montrer que est continue à gauche en 0 .
3 - est-elle dérivable à gauche en 0 ? Dans l'affirmative, donner la valeur de la dérivée à gauche de en 0 , notée . est-elle dérivable à droite en 0 ?
4 - Donner le tableau de variations de . On fera figurer les limites en , en et en 0 (par valeurs supérieures et inférieures).
5 - Tracer la courbe représentative de . On précisera les asymptotes éventuelles.

On considère l'équation différentielle : .
1 - Résoudre sur .
2 - Montrer que pour tout réel l'intégrale converge.
On peut donc définir une fonction sur par :

3 - Soient et deux réels vérifiant . Montrer que est de classe sur et donner, pour , l'expression de la dérivée à l'aide d'une intégrale.
On vérifiera avec soin toutes les hypothèses du théorème utilisé.
4 - En déduire que est de classe sur , puis montrer que est solution sur de l'équation différentielle .
5 - En déduire à l'aide de l'ensemble des solutions de sur .

On se donne dans cette partie un réel .
1 - Justifier que pour et on a:

2 - Justifier pour tout l'existence des intégrales et .
En déduire :

3 - On pose pour .
3.1 - Calculer .
3.2 - Donner pour une relation entre et .
3.3 - En déduire que : .

4 - On pose désormais, pour :

4.1 - Prouver que : .

On suppose désormais que .
4.2 - On pose . En étudiant le rapport ,montrer que la suite est minimale pour . Donner à l'aide de votre calculatrice une évaluation numérique de .
4.3 - En déduire une valeur approchée de à près.

5 - Quel est le rayon de convergence de la série entière de la variable complexe :

Est-elle convergente pour ?
6 - Expliquer en quoi la partie III est une illustration de la citation suivante de Henri Poincaré (1854-1912) :
'II y a entre les géomètres et les astronomes une sorte de malentendu au sujet de la signification du mot convergence. Les géomètres* préoccupés de la parfaite rigueur et souvent trop indifférents à la longueur de calculs inextricables dont ils conçoivent la possibilité, sans songer à les entreprendre effectivement, disent qu'une série est convergente quand la somme des termes tend vers une limite déterminée, quand même les premiers termes diminueraient très lentement. Les astronomes, au contraire, ont coutume de dire qu'une série converge quand les 20 premiers termes, par exemple, diminuent très rapidement, quand même les termes suivants devraient croître indéfiniment.'

On considère l'algorithme suivant rédigé en français :
On affecte 0,1 à la variable .
Pour allant de 1 à 8 , calculer , puis affecter le résultat à .
Afficher .
1 - Quelle sera la valeur affichée pour à la dernière ligne?
2 - Ecrire le programme correspondant en utilisant la syntaxe de l'un des logiciels de calcul formel du programme (MAPLE ou MATHEMATICA par exemple). On précisera le logiciel utilisé.
3 - Adapter le programme précédant en introduisant une variable , de sorte qu'en sortie de boucle contienne .
On s'interdira dans cette question d'utiliser une commande de sommation (telle add ou sum) prédéfinie par le logiciel.